Textbook Sesi 1 Fungsi Komposisi.indd

X
Kela
s
K-13
matematika wajib
XI
FUNGSI KOMPOSISI
tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.
2. Memahami cara menentukan grafik fungsi dan bukan fungsi.
3. Memahami operasi aljabar pada fungsi.
4. Memahami definisi fungsi komposisi dan sifat-sifatnya.
(f o g
)oh
I(x) = x
Gd
iket
Misalkan
f=f
ahu
u
sat
at
se
Hui
Osisi
2. grA
er
OP
∩Dg
(f-g) (x)
(x)
-g
f(x)
(x)
f
D fg
)
g(x
f
=D
x)
(
(fg)
∩
Dg
f 
 ( x )
g
Garis vertikal
x)
= f(
Selalu 1 titik sah
Garis horizontal
Selalu 1 titik sah
> 1 titik tidak sah
i
Injektif / 1- 1
Bi
x
y
f(a) = f(b) maka a=b
je
x
kt
if
Surjektif / pada
1- 1
pada
1
p1x
> 1 titik tidak sah
gs
f (x)
g( x )
Df ∩ Dg | g ≠ o
y
setia
y
gsi
un
4.
(x)
x
)
Df −
(f+g)
sif
At
f
y
Salah
f(y
g(x)
Df + g = D
f ∩ Dg
= Df
g
3.
x
Benar
m
Diagra
Sem
ua y
x=
f(x) +
y
p
x te
fik fun
As
i
5
is
fin
e
1. D
i kOMP
. Definis
gsi
n
i fu
i
ketA
sis
g Di
F diketahui
( f o g) (x) = f(g(x))
p
tia
PO
i
6. f o
Subtitusi
h)
M
kO
At
sif
=I o
(g o
7.
foI
=fo
K
e
l
a
s
y
Ada x maka f(x) = y
A. Definisi Fungsi
Fungsi adalah aturan yang merelasikan setiap elemen himpunan domain X tepat dengan
satu elemen kodomain Y. Perhatikan diagram berikut.
X
Y
X
Y
Domain
Kodomain
Domain
Kodomain
X
Y
Domain
Kodomain
Fungsi
Fungsi
Bukan Fungsi
Gambar 1
Gambar 2
Gambar 3
Gambar 3 bukan fungsi, karena tidak setiap elemen himpunan X berelasi. Selain itu, ada
pula elemen himpunan X yang mempunyai relasi lebih dari satu dengan elemen himpunan
Y.
Contoh Soal 1
Manakah dari relasi-relasi diagram berikut yang merupakan fungsi?
X
Y
(1)
X
Y
(2)
2
X
(3)
Y
Pembahasan:
Bukan fungsi karena
ada anggota domain yang dipasangkan
dengan lebih dari 1 anggota kodomain
X
Y
X
Y
Bukan fungsi karena
tidak semua anggota domain
memiliki relasi
Fungsi karena
setiap anggota domain direlasikan
dengan tepat satu anggota kodomain
X
Y
Oleh karena setiap relasi dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan,
maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk yang sama. Perhatikan contoh berikut.
3
Contoh Soal 2
Relasi-relasi dari X ke Y dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan, dengan
X = {1,2,3,5,6} dan Y = {2,3,5,7,8}. Manakah dari relasi-relasi berikut yang merupakan
suatu fungsi?
a.
P = {(1,2) , (2,3) , (3,5) , (5,7) , (6,7) }
b.
Q = {(1,2) , (2,2) , (3,3), (5,3) , (6,7) , (6,8) }
c.
R = {(1,2) , (1,3) , (1,5) , (1,7) , (1,8) }
d.
S = {(1,3) , (3,8) , (5,2) , (6,8) }
Pembahasan:
a.
P = {(1,2) , (2,3) , (3,5) , (5,7) , (6,7) }: Fungsi, karena setiap unsur domain direlasikan
tepat satu dengan unsur kodomain.
b.
Q = {(1,2) , (2,2) , (3,3), (5,3) , (6,7) , (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain
yang direlasikan berulang.
c.
R = {(1,2) , (1,3) , (1,5) , (1,7) , (1,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain yang
direlasikan berulang.
d.
S = {(1,3) , (3,8) , (5,2) , (6,8) }: Bukan fungsi, karena ada unsur domain yang tidak
direlasikan, yaitu 2.
B.Grafik fungsi dan bukan grafik fungsi
Untuk menentukan apakah suatu grafik merupakan fungsi atau tidak, dapat digunakan
cara berikut.
1.
Menguji grafik apakah termasuk fungsi y = f(x) dapat dilakukan dengan menggunakan
garis vertikal. Jika garis vertikal memotong grafik konsisten di satu titik, maka grafik
tersebut termasuk fungsi y = f(x) (baca: y sebagai fungsi dari x).
2.
Menguji grafik apakah termasuk fungsi x = f(y) dapat dilakukan dengan menggunakan
garis horizontal. Jika garis horizontal memotong grafik konsisten di satu titik, maka
grafik tersebut termasuk fungsi x = f(y) (baca: x sebagai fungsi dari y).
Contoh Soal 3
Selidikilah gambar-gambar grafik berikut, apakah termasuk fungsi dari x, fungsi dari
y, atau bukan fungsi!
4
y
y
x
x
A
B
y
y
x
x
C
D
Pembahasan:
Pilihan A
y
x
Fungsi dari x karena garis vertikal selalu memotong di satu titik.
y
x
Bukan fungsi dari y karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik.
5
Pilihan B
y
x
Bukan fungsi dari x karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik.
y
x
Fungsi dari y karena garis horizontal selalu memotong di satu titik.
Pilihan C
y
x
Fungsi dari x karena garis vertikal selalu memotong di satu titik.
y
Fungsi dari y karena garis horizontal selalu memotong di satu titik.
6
Pilihan D
y
x
Bukan fungsi dari x karena garis vertikal selalu memotong di lebih dari satu titik.
y
x
Bukan fungsi dari y karena garis horizontal selalu memotong di lebih dari satu titik.
C. Sifat-sifat Fungsi
a.Fungsi Injektif (Satu-Satu)
Fungsi yang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi injektif atau satu-satu,
jika setiap elemen himpunan X direlasikan dengan elemen himpunan Y yang berbeda.
Dengan notasi matematika, dapat dinyatakan bahwa untuk setiap f(x1) = f(x2) maka x1= x2.
Bentuk diagram dari fungsi injektif dapat diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
X
Y
X
Y
Domain
Kodomain
Domain
Kodomain
Fungsi Injektif
Bukan Fungsi Injektif
Gambar 4
Gambar 5
7
Gambar 5 bukan fungsi injektif karena ada elemen himpunan X yang direlasikan dengan
elemen yang sama pada himpunan Y.
Contoh Soal 4
Buktikanlah bahwa fungsi f : R → R, f(x) = 4x – 3 adalah fungsi injektif atau satu-satu!
Pembahasan:
Misal f(a), f(b)∈R maka:
f ( a ) = f (b )
4 a − 3 = 4b − 3
4 a = 4b → {ruas kiri dan kanan ditambah 3}
a = b → {ruas kiri dan kanan dibagi 4}
Jadi, f(x) = 4x - 3 adalah fungsi injektif.
Contoh Soal 5
Selidikilah apakah fungsi f : R → R, f(x) = x2 adalah fungsi injektif!
Pembahasan:
Misal f(a), f(b)∈R maka:
f ( a ) = f (b )
a2 = b 2
a2 = b 2
{ruas kiri dan kanan diakar pangkat dua}
a=b
Jadi, a belum tentu sama dengan b, sehingga f(x) bukan fungsi injektif.
b.Fungsi Surjektif (Fungsi Pada)
Fungsi yang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi surjektif atau pada, jika setiap
elemen himpunan Y berelasi dengan elemen himpunan X. Dengan notasi matematika, dapat
dinyatakan bahwa untuk setiap y ∈ Y, maka terdapat x ∈ X sehingga f(x) = y. Bentuk diagram
dari fungsi surjektif dapat diperlihatkan pada gambar berikut.
8
X
Y
X
Y
Domain
Kodomain
Domain
Kodomain
Fungsi Surjektif
Bukan Fungsi Surjektif
Gambar 6
Gambar 7
Contoh Soal 6
Buktikanlah bahwa fungsi g : R → R dengan g(x) = x3 adalah fungsi surjektif.
Pembahasan:
Misal y ∈ R, dan
g
( y)=( y)
g
( )
g
( y)= y
3
3
3
 1
y =  y3 
 
3
y ∈ R maka:
3
3
3
Oleh karena ada x =
surjektif.
3
y yang membuat g(x) = y, maka fungsi g(x) = x3 adalah fungsi
Contoh Soal 7
x +1
merupakan fungsi surjektif?
x −1
Apakah fungsi g( x ) =
Pembahasan:
Fungsi g(x) bukan fungsi surjektif karena untuk g(x) = 1 tidak ada nilai x yang
memenuhi. Perhatikan penjabaran berikut!
9
x +1
=1
x −1
x + 1= x − 1
{pernyataan yang salah}
1 = −1
c.Fungsi Bijektif
Fungsi yang merelasikan elemen himpunan X ke Y disebut fungsi bijektif apabila fungsi
tersebut merupakan fungsi injektif (satu-satu) sekaligus fungsi surjektif (pada). Perhatikan
diagram berikut ini!
X
Y
X
Y
X
Y
Domain
Kodomain
Domain
Kodomain
Domain
Kodomain
Fungsi Bijektif
Bukan Fungsi Bijektif
Bukan Fungsi Bijektif
Gambar 8
Gambar 9
Gambar 10
Gambar 9 bukan fungsi bijektif karena ada elemen himpunan Y yang mempunyai dua
pasangan (bukan fungsi injektif ), sedangkan gambar 10 bukan fungsi bijektif karena ada
elemen himpunan Y yang tidak berpasangan (bukan fungsi surjektif ).
Contoh Soal 8
Buktikanlah bahwa fungsi f(x) = x3 − 1 adalah fungsi bijektif!
Pembahasan:
Langkah 1: Pembuktian f(x) adalah fungsi satu-satu
Misal
f (a) = f(b )
a3 − 1 = b 3 − 1
a3 = b 3
a=b
Dengan demikian, f(x) merupakan fungsi satu-satu.
10
Langkah 2: Pembuktian f(x) adalah fungsi surjektif
Misal y ∈ R, maka
Misal x =
(
f(
f(
f
3
3
3
3
y +1 ∈ R.
3
y +1 , maka:
) ( y + 1)
y + 1) = y + 1− 1
y + 1) = y
y +1 =
3
3
−1
Dengan demikian f(x) fungsi pada karena terdapat x =
3
y +1 sehingga f(x) = y
Oleh karena f(x) adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada, maka f(x) adalah fungsi
bijektif.
D. Operasi aljabar pada fungsi
Fungsi-fungsi yang terdefinisi dapat dioperasikan satu sama lain, baik dengan operasi
penjumlahan atau perkalian.
Contoh Soal 9
Taksi A memasang tarif awal Rp6.000,00 dengan biaya tambahan Rp600,00
setiap kilometernya, sedangkan taksi B memasang tarif awal Rp7.000,00
dengan biaya tambahan Rp400,00 setiap kilometernya. Jika Andi dan
keluarga menggunakan taksi A, sedangkan Budi dan keluarga menggunakan
taksi B untuk bersama-sama menempuh jarak x km, maka total biaya yang
dikeluarkan keluarga Andi dan Budi dapat dinyatakan dengan fungsi ....
Pembahasan
Tarif taksi A untuk x km dinyatakan dengan f(x) = 6000 + 600x.
Tarif taksi B untuk x km dapat dinyatakan dengan g(x) = 7000 + 400x.
Dengan demikian total biaya yang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah
menggunakan jasa taksi A dan taksi B untuk x km dapat dinyatakan sebagai berikut.
(f + g )( x ) = f ( x ) + g( x )
= 6000 + 600 x + 7000 + 400 x
= 13000 + 1000 x
Jadi, total biaya yang dikeluarkan keluarga Andi dan Budi setelah menggunakan jasa
taksi A dan taksi B untuk x km adalah 13000 + 1000x.
11
E.
Definisi Operasi Fungsi
Jika f suatu fungsi dengan domain Df , dan g suatu fungsi dengan domain Dg , maka pada
operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan
sebagai berikut.
1.
Jumlah f dan g ditulis f + g didefinisikan sebagai (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan domain
Df + g = Df ∩ Dg.
2. Selisih f dan g ditulis f − g didefinisikan sebagai (f − g)(x) = f(x) − g(x) dengan domain
Df − g = Df ∩ Dg.
3.
Perkalian f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan
domain Df × g = Df ∩ Dg.
4.
Pembagian f dan g ditulis
D f = Df ∩ Dg − { x | g( x ) = 0} .
f
f 
f (x)
didefinisikan sebagai   (x) =
dengan domain
g
g(x)
g
g
Contoh Soal 10
x +1
Jika f(x) = x2 − 1, g(x) = x −1 , dan h( x ) =
. Tentukan operasi-operasi fungsi
2x +1
berikut beserta domainnya!
a.
(f + g)(x)
b. (f – h)(x)
c. (g ∙ h)(x)
Pembahasan:
a.
(f + g )( x ) = f ( x ) + g( x ) = x 2 − 1+ x − 1
Df = { x | x ∈ R}
Dg = { x | x ∈ R , x − 1 ≥ 0} = { x | x ∈ R , x ≥ 1}
Df + g = Df ∩ Dg = { x | x ∈ R , x ≥ 1}
b.
(f − h)(x) = f ( x ) − h( x ) = x 2 − 1−
Df = { x | x ∈ R}
x +1
2x +1
1

Dh = { x | x ∈ R , 2 x + 1 > 0} =  x | x ∈ R , x > − 
2

1

Df − h = Df ∩ Dh =  x | x ∈ R , x > − 
2

12
c.
 x +1 
x −1 

 2x +1 
Dg = { x ∈ R | x − 1 ≥ 0} = { x ∈ R | x ≥ 1}
( g ⋅ h)( x ) = g( x ) ⋅ h( x ) =
(
)
1

Dh =  x ∈ R | x > − 
2


Dg×h = Dg ∩ Dh = { x | x ∈ R ,x ≥ 1}
F.FUNGSI KOMPOSISI
Salah satu operasi antarfungsi adalah fungsi komposisi.
Contoh Soal 11
Suatu penelitian lingkungan dalam kasus tumpahan minyak ke sungai menunjukkan
bahwa jari-jari tumpahan minyak per satuan waktu dinyatakan dengan r(t) = 10t –
0,2t2 dan luas dari tumpahan minyak dinyatakan dengan L(r) = πr2. Jika seseorang
ingin mengetahui luas tumpahan minyak per satuan waktu, maka fungsi yang tepat
adalah …
Pembahasan
r (t ) = 10t − 0 , 2t 2
r = 10t − 0 , 2t 2
Substitusikan r ke L(r), sehingga diperoleh:
L(r ) = π r 2
L(10t − 0 , 2t 2 ) = π (10t − 0 , 2t 2 )2
L(t ) = π (10t − 0 , 2t 2 )2
Masalah di atas menunjukkan proses subtitusi fungsi kedalam fungsi. Secara umum, jika
f dan g adalah dua fungsi sehingga g(x) adalah domain dari f, maka komposisi fungsi g
dilanjutkan fungsi f dapat dinotasikan dengan fg (f komposisi g atau f bulatan g) dan
dapat didefinisikan sebagai berikut.
(f  g)(x) = f(g(x))
Domain dari (f  g)(x) adalah hasil irisan dari domain fungsi hasil komposisi dengan domain
g(x).
13
Contoh Soal 12
Jika f ( x ) =
4
dan g( x ) = x − 2 , tentukanlah hasil komposisi berikut beserta
2x −1
domainnya!
a.
(f  g)(x)
b.
(g  f)(x)
Pembahasan:
(
)
4
a.
(f  g )( x ) = f ( g( x ) ) = f
Domainnya adalah {x ∈ R | x – 2 > 0} atau {x ∈ R | x > 2}, sedangkan domain dari
g(x) adalah {x ∈ R | x ≥ 2}.
Dengan demikian domain dari (fg)(x) adalah:
x −2 =
2
(
)
x − 2 −1
Df g = { x ∈ R x ≥ 2} ∩ { x ∈ R x > 2}
Df g = { x ∈ R x > 2}
b.
(gf)(x) = g(f(x))
 4 
g ( f ( x )) = g 

 2 x − 1
 4 
= 
−2
 2 x − 1
=
4 − 2(2 x − 1)
2x −1
=
−4 x + 6
2x −1
1
3
−4 x + 6



Domainnya adalah  x ∈ R
≥ 0  atau  x ∈ R < x ≤  , sedangkan
2x −1
2
2



1

domain dari f(x) adalah  x ∈ R x ≠  . Dengan demikian domain dari gf adalah
2

1
3
1
1
3
 

 
x ∈R < x ≤  ∩ x ∈R x ≠  = x ∈R < x ≤  .
2
2 
2 
2
2

14
Contoh Soal 13
x
mengubah satuan x inci ke satuan kaki. Y(x) mengubah satuan x
12
kaki ke dalam yard. Jelaskan pengertian dari (Y  F)( )!
Fungsi F ( x ) =
Pembahasan:
(Y  F)(x) = Y(F(x))
x inci dimasukkan ke F untuk mendapatkan satuan kaki, x kaki dimasukkan ke Y untuk
mendapatkan satuan yard. Dengan demikian Y(F(x)) berarti mengubah satuan inci ke
satuan yard.
Contoh Soal 14
Hukum permintaan dan penawaran menyatakan bahwa jika banyak barang yang
akan dijual meningkat, maka harga pasar akan turun. Asumsikan harga pasar p dan
banyak barang yang akan dijual x. Harga pasar dapat dinyatakan dalam fungsi:
1
p = 3000 − x
2
Asumsikan bahwa biaya produksi membuat x barang dinyatakan dengan fungsi C(x)
= 2000 + 10x dan besar pendapatan dari penjualan x unit dinyatakan dengan R(x) =
100x.
a.
Nyatakan biaya sebagai fungsi dari harga p
b.
Nyatakan pendapatan sebagai fungsi dari harga p
c.
Nyatakan keuntungan sebagai fungsi dari harga p
Pembahasan:
a.
Untuk menyatakan biaya produksi (C(x)) sebagai fungsi dari p, maka langkah
pertama adalah kita nyatakan x dalam p.
1
3000 − x = p
2
x = 6000 − 2 p
Dengan demikian diperoleh:
C (x) = 2000 + 10 x
C (6000 − 2 p ) = 2000 + 10(6000 − 2 p )
= 62000 − 20 p
15
Dengan demikian biaya produksi dalam p dapat dinyatakan C(p) = 62000 –
20p.
b. R(x) = 100x
R(6000 – 2p) = 100(6000 – 2p)
= 600000 – 200p
Jadi, jika R dinyatakan dalam p maka diperoleh R(p) = 600000 – 200p.
c.
Keuntungan (U) dapat dinyatakan sebagai berikut.
U(p)= R(p) – C(p)
= 600000 – 200p – (62000 – 20p)
= 538000 – 180p
Soal fungsi komposisi terkadang menanyakan fungsi pembentuk komposisinya. Perhatikan
contoh berikut!
Contoh Soal 15
Jika diketahui f ( x ) = x − 2 dan ( f  g )( x ) = x − 1, maka g(x) adalah ….
Pembahasan:
( f  g ) (x) = x − 1
f ( g(x) ) = x − 1
g(x) − 2 = x − 1
g(x) − 2 = ( x − 1)2
g(x) = 2 + ( x − 1)2
g(x) = x 2 − 2 x + 3
Jadi, g(x) = x2 − 2x + 3.
Contoh Soal 16
Jika diketahui (g  f)(x) = x2 + 2x dan f(x) = 3x – 1, maka g(x) adalah ….
Pembahasan:
( g  f )( x ) = x 2 + 2 x
g ( f( x ) ) = x 2 + 2 x
g(3 x − 1) = x 2 + 2 x
16
Misal 3 x − 1 = u → x =
u +1
, maka:
3
2
 u + 1
 u + 1
g(u ) = 

 + 2
 3 
 3 
Tinggal kita ubah u menjadi x
2
 x + 1
 x + 1
g( x ) = 

 + 2
 3 
 3 
2
 x + 1
 x + 1
Jadi, g( x ) = 
.
 + 2
 3 
 3 
Contoh Soal 17
Jika diketahui ( g  f )( x ) = 3 x 2 + 6 x + 9 dan f ( x ) = 4 x 2 + 8 x , maka g(x) adalah ….
Pembahasan:
( g  f )( x ) = 3 x 2 + 6 x + 9
g ( f ( x )) = 3 x 2 + 6 x + 9
g( 4 x 2 + 8 x ) = 3 x 2 + 6 x + 9
Misal 4x2 + 8x = m, maka:
4( x 2 + 2 x ) = m
m
x2 + 2x =
4
Dengan memanipulasi sedikit fungsi komposisinya, diperoleh:
g( 4 x 2 + 8 x ) = 3( x 2 + 2 x ) + 9
m
g( m) = 3   + 9
4
Dengan demikian diperoleh:
3x
+9
4
3x
+ 9.
Jadi, g( x ) =
4
g( x ) =
17
G. Sifat-sifat Komposisi
a.Sifat 1
Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh ∩ Dg ≠ ∅ ; Rg ∩ Df ≠ ∅ ; maka pada operasi
komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu sebagai berikut.
f  (g  h) = (f  g)  h
Contoh Soal 18
Jika f(x) = x2 – 1, g(x) =
a.
f  (g  h)(x)
b.
(f  g)  h(x)
x +1 , dan h(x) =
Pembahasan:
a.
 1
g ( h( x ) ) = g  
x
 1
=   +1
x
x +1
x
Dengan demikian diperoleh:
=
 x +1
f  ( g  h)( x ) = f 

x 

2
 x +1
= 
 −1
x 

x +1
=
−1
x
1
=
x
b.
f ( g( x ) ) = f
=
(
(
)
x +1
)
2
x +1 −1
=x
18
1
, maka tentukanlah:
x
Dengan demikian diperoleh:
((f  g)  h )( x ) = (f  g)( h( x ))
 1
= (f  g ) 
x
1
=
x
Jadi, kesimpulannya (f  g)  h = f  (g  h).
b.Sifat 2
Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan identitas. Jika RI ∩ Df ≠ ∅, maka terdapat sebuah
fungsi identitas yaitu: I(x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu sebagai berikut.
f I=I f=f
Contoh Soal 19
Diketahui fungsi f: R → R dengan f(x) = 5x − 7 dan fungsi I: R → R dengan I(x) = x.
a. Rumus fungsi komposisi f  I dan I  f.
b. Selidikilah apakah f  I = I  f = f.
Pembahasan:
a. (f  I )(x) = f ( I ( x ) ) = f ( x ) (I  f )(x) = I ( f ( x ) )
= I (5 x − 7)
= 5x − 7
= f (x)
b. Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa f  I = I  f = f
c.Sifat 3
Jika f dan g adalah fungsi yang yang berjenis sama (fungsi satu-satu, fungsi pada, atau
fungsi bijektif ), maka f  g dan g  f pun memiliki sifat yang sama dengan pembentuknya.
19
Contoh Soal
Diketahui f(x) = 4x − 3 dan g(x) = x3 − 1. Tunjukkan bahwa f  g fungsi bijektif!
Pembahasan:
Fungsi f(x) dan g(x) sudah terbukti bijektif pada contoh-contoh soal sebelumnya.
Menentukan (f  g)(x)
(f  g )( x ) = f ( g( x ) )
= 4 g( x ) − 3
= 4( x 3 − 1) − 3
= 4 x3 − 7
Akan dibuktikan (f  g)(x) = 4x3 – 7 adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif.
Pembuktian (f  g)(x) adalah fungsi injektif:
(f  g )( x1 ) = (f  g )( x 2 )
4 x13 − 7 = 4 x 23 − 7
4 x13 = 4 x 23
x1 = x 2
∴ Terbukti (f  g)(x) adalah fungsi injektif.
Pembuktian (f  g)(x) adalah fungsi surjektif:
Terdapat x, y ∈ R dengan x = 3
y +7
4
3
 y +7 
(f  g )( x ) = 4  3
 −7
4 

 y +7 
= 4
 −7
 4 
=y
∴ Terbukti (f  g)(x) adalah fungsi surjektif.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa (f  g)(x) merupakan fungsi bijektif, sama dengan sifat
fungsi pembentuknya.
20