HOMOMORFISMA

HOMOMORFISMA
(Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar Grup)
Di Susun Oleh :
Nabilla Fazariani
(0703171007)
Sartika Dewi
(0703173091)
Rizki Gunawan Nasution
(0703172045)
Dosen Pengampu
Lidia Atuti Sembiring, S.Si, M.Pd
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA
MEDAN
2019
KATA PENGANTAR
‫ميحرلا نمحرلا هللا‬
‫بسم‬
Alhamdulillah segala puji hanya milik Allah, Tuhan sekalian alam. Atas
rahmad dan karunia-Nya yang telah memberikan kemudahan sehingga kami dapat
menyelesaikan makalah yang berjudul “Homomorfisma”. Shawalat berangkaikan
salam semoga terlimpah curahkan kepada Nabi Muhammad SAW. beserta
kerabat, sahabat, dan para pengikutnya sampai akhir zaman, sosok yang telah
membawa manusia dan seisi alam dari zaman kegelapan sampai saat ini sehingga
kita menjadi manusia beriman, berilmu, dan beramal shaleh agar menjadi manusia
yang berkahlak mulia.
Makalah ini dibuat dengan tujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah
Struktur Aljabar Grup pada program studi Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sumatera Utara. Di dalam penulisan makalah
ini tidak lepas dari beberapa referensi buku, baik tulisan dalam bentuk buku
maupun jurnal – jurnal yang sudah berintegritas. Untuk itu dalam kesempatan ini
kami menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar – besarnya kepada
semua referensi yang membantu dalam penulisan makalah ini.
Kami menyadari dalam proses penulisan makalah ini masih memiliki
kekurangan baik materi maupun cara penulisannya namun demikian kami telah
berupayah dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga
dapat selesai dengan baik. Akhir kata, kami berharap semoga makalah ini dapat
bermanfaat bagi pembaca.
Medan, 21 Desember 2019
Tim Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................... i
DAFTAR ISI .................................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ............................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 1
1.3 Tujuan Penulisan ........................................................................ 1
1.4 Batasan Masalah ......................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Definisi Homomorfisma .............................................................. 2
2.2 Jenis – Jenis Homomorfisma ...................................................... 3
2.3 Sifat-sifat Homomorfisma .......................................................... 7
BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan ................................................................................. 8
B. Saran ............................................................................................ 8
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 9
ii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Homomorfisma merupakan salah satu pokok bahasan yang terdapat dalam
matematika aljabar, yaitu sub materi dari struktur aljabar grup yang merupakan
salah satu jenis fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam
grupnya. Sifat   x * y     x    y  dinamakan mengawetkan opersi artinya peta
hasil operasi x  y  G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu
  x   y .
Sama dengan sub materi yang lainnya, homomorfisma juga memiliki ragam
dan sifat. Dengan demikian, dalam makalah ini akan dibahas secara khusus
mengenai homomorfisma, jenis serta sifat-sifatnya.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, maka di dapat rumusan masalah, yaitu :
1. Apa yang dimaksud dengan homomorfisma dan apa saja jenis
homomorfisma ?
2. Bagaimana sifat-sifat homomorfisma ?
1.3
Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penulisan, yaitu :
1. Untuk mengetahui dan memahami apa yang dimaksud dengan
homomorfisma dan jenis-jenis homomorfisma.
2. Mengetahui dan memahami apa-apa saja sifat dari homomorfisma.
1.4
Batasan Masalah
Agar tidak terjadi pembahasan di luar masalah dan lebih fokus serta terarah,
maka diperlukan adanya pembatasan masalah untuk menyederhanakan penulisan
ini. Maka penulis membatasi dengan hanya membahas mengenai homomorfisma
grup, jenis-jenis, dan sifat homomorfisma. Penulis tidak akan membahas lebih
dalam mengenai jenis-jenis homomorfisma.
1
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Definisi Homomorfisma
Misalkan  G,  dan  H ,
 merupakan dua buah grup. Didefinisikan fungsi
 :G  H
dikatakan homomorfisma grup jika  mengawetkan operasi, berlaku :
  a  b     a    b  , a, b  G .
Sifat   a  b     a    b  , dikatakan mengawetkan operasi artinya peta
hasil operasi a  b  G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H   a    b  .
Untuk lebih memahami hal ini, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1 :
Misalkan
 G,  
pemetaan  : G  H
dan
 H , 
merupakan dua buah grup. Didefinisikan
dengan   a   2a . Tunjukkan bahwa 
merupakan
homomorfisma dari G ke H.
Jawab :
Ambil sembarang a, b  G , maka a    a   2a
b    b   2b
a  b   a  b
dengan,   a  b   2a b  2a  2b    a     b 
Karena a, b  G,   a  b     a     b  ,maka
terbukti
merupakan
homomorfisma dari G ke H.
 suatu homomorfisma dari R ke R*, yang dimaksud dengan kernel atau inti
dari  , yaitu Ker   didefinisikan dengan Ker     x  R |   x   e* , e*
adalah elemen netral dari R*.
Contoh 2 :
Diberikan G adalah grup dari semua bilangan real dengan operasi perkalian
dan G  G ' dengan   x   x 2 , x  G .
2
Tunjukkan bahwa  merupakan homomorfisma dan jika merupakan
homomorfisma tentukan kernelnya.
Jawab :
Ambil sembarang x, y  G sehingga
x    x   x2
y    y   y2
x  y    x  y  x  y
2
 x2  y 2    x    y 
Jadi,   x  y     x     y 
Berarti,  homomorfisma.
Elemen identitas dari G* , yaitu e* adalah 1, sehingga kernel dari  adalah

Ker     x  G | x
Ker    x  G |   x   e*
2


1
Ker    1,1
Jadi, kernel dari  adalah 1,1
Contoh 3 : (sebagai latihan bagi pembaca)
Diberikan R adalah grup dari semua bilangan real dengan operasi
penjumlahan, R’ adalah grup bilangan real tanpa nol terhadap operasi perkalian
 : R  R ' dengan
  x   2 x , x  G . Tunjukkan bahwa 
merupakan
homomorfisma dan jika merupakan homomorfisma tentukan kernelnya.
2.2
Jenis – Jenis Homomorfisma
A. Monomorfisma
Suatu homomorfisma yang injektif dinamakan monomorfisma.
Diketahui fungsi  : A  B . Fungsi  dikatakan injektif jika dan hanya jika
x, y  A dengan   x     y  berlaku x = y.
Contoh 4 :
Diketahui fungsi  : R  R dengan   x   x3 . Tunjukkan bahwa fungsi
merupakan monomorfisma.
3
Jawab :
Ambil sebarang x, y  R dengan   x     y  akan ditunjukkan x = y
  x     y   x3  y 3 (definisi)
x  y Terbukti bahwa injektif
Dengan demikian terbukti bahwa  merupakan monomorfisma.
B. Epimorfisma
Suatu homomorfisma yang surjektif dinamakan epimorfisma. Diketahui
fungsi  : A  B , fungsi dikatakan surjektif jika dan hanya jika y  B
terdapat x  A sehingga y    x  .
Contoh 5 :
R1 adalah grup dari semua bilangan real positif dengan operasi perkalian, R2
adalah grup dari semua bilangan real dengan operasi penjumlahan.
Didefinisikan pemetaan  : R1  R2 dengan   x   log x . Buktikan bahwa
fungsi surjektif.
Jawab :
Akan ditunjukkan surjektif, artinya y  R2  x  R1    x   y
Ambil sebarang y  R2
berarti y  R2
sembarang, perhatikan log x  y maka x  10 y
 x  10 y  R1    x   y . Terbukti bahwa
surjektif.
Dengan demikian terbukti bahwa  merupakan epimorfisma.
C. Isomorfisma
Suatu homomorfisma yang bijektif dinamakan isomorfisma. R dan R 
merupakan grup, pemetaan  : R  R  dikatakan isomomorfisma jika dan
hanya jika memenuhi syarat :
1)  merupakan pemetaan homomrf; dan
2)  merupakan bijektif.
4
Contoh 6 :
Misalkan  R,   dan  R  ,  merupakan dua buah grup dengan pemetaan
 : R  R didefinisikan   x   e x , x  R . Tunjukkan bahwa merupakan
pemetaan isomorfisma.
Jawab :
1) Akan ditunjukkan bahwa merupakan pemetaan homomorf
Ambil sembarang x, y  R , sehingga   x   e x dan   y   e y
Perhatikan bahwa x, y  R berlaku sifat   x  y     xy   e x  y
 ex  e y
   x    y 
Sehingga,   x  y     xy     x     y 
Terbukti bahwa merupakan pemetaan homomorf.
2) Akan ditunjukkan  merupakan fungsi injektif
Ambil sembarang x, y  R dengan   x     y  , atau e x  e y dari
e x  e y maka ln e x  ln e y atau x = y
Terbukti bahwa merupakan fungsi injektif.
Akan ditunjukkan bahwa  merupakan fungsi surjektif
Ambil sembarang
y  R  , pilih
x  ln y  R    x   e x
atau
  x   eln y  y
Jadi y  R  ,  x  ln y  R    x   y
Terbukti bahwa merupakan fungsi surjektif.
Dengan dipenuhi syarat-syarat diatas maka terbukti bahwa
merupakan
pemetaan isomorfisma.
D. Endomorfisma dan Automorfisma
Suatu homomorfisma dari suatu grup ke dalam dirinya sendiri
dinamakan Endomorfisma dan suatu endomorfisma yang bijektif dinamakan
Automorfisma.
5
Contoh 7 :
B   , 2, 1, 0,1, 2,
Diberikan

dan
grup.
Jika
:BB
didefinisikan oleh   x    x, x  B . Buktikan bahwa endomorfisma
dan automorfisma.
Jawab :
Ambil sembarang x, y  B , sehingga
  x  x
  y   y
  x  y   x  y
 x   y
   x    y
Jadi,   x  y     x     y  , x, y  B
Ini berarti homomorfisma. Karena pemetannya ke dalam diri sendiri,
yaitu maka endomorfisma.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa injektif (monomorfisma)
Ambil sembarang x, y  B
Jika   x     y  ,maka diperoleh  x   y , yang ekuivalen dengan x = y
Jadi,   x     y   x  y
Ini berarti,  injektif
Kemudian akan ditunjukkan bahwa surjektif (epimorfisma)
Ambil sembarang x '  B ' . Pilih x  B sehingga,   x   x '
Ambil x   x ' , maka   x      x '  x '
Jadi, x '  B ', x  B, x   x '    x   x '
Ini berarti  surjektif.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa merupakan endomorfisma
dan automorfisma.
6
2.3
Sifat – Sifat Homomorfisma
Teorema :
Misalkan G dan G * adalah dua buah grup dan  adalah homomorfisma, e
= unsur kesatuan dari G dan e* unsur kesatuan dari G * , maka:
a.   e   e*
b.   x 1     x  x  G
1
c. Jika H subgrup dari G maka   H  subgrup dari G *
d. K * subgrup dari G * maka  1  K *  subgrup dari G
Bukti :
a. Ambil sembarang x  G maka x e  x , karena  pemetaan maka
  x e     x  , karena  pemetaan homomorf maka
  x    e     x  ,   e   G* sehingga berlaku
  x    e     x  e* dengan kanselisasi kiri diperoleh
  e   e* (Terbukti)
b. x  G terdapat x 1  G sehingga x  x 1  e,  : G  G* berlaku :
x.x 1  e
  x.x 1     e 
  x     x 1   e*
Digandakan dengan   x  , sehingga
1
  x  
1
 
1
 
1
   x    x 1    x    e*
e*   x 1    x    e*
  x 1     x  
1
(Terbukti)
Untuk pembuktian sifat c dan d diberikan kepada pembaca sebagai latihan.
7
BAB III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas maka dapat ditarik kesimpulannya, yaitu :
1.
Suatu pemetaan dari grup  G,  ke grup  H ,

disebut homomorfisma
jika: a, b  G berlaku:   a  b     a    b 
2.
Homomorfisma terbagi atas 4 jenis, yaitu :
a.
Monomorfisma yaitu suatu homomorfisma yang injektif.
b.
Epimorfisma yaitu suatu homomorfisma yang surjektif.
c.
Isomorfisma yaitu suatu homomorfisma yang bijektif.
d.
Endomorfisma yaitu suau homomorfisma yang memetakan ke
dalam dirinya sendiri. Automorfisma yaitu suatu endomorfisma
yang bijektif.
3.
3.2
Sifat – sifat homomorfisma, yaitu :
a.
  e   e*
b.
  x 1     x  x  G
c.
Jika H subgrup dari G maka   H  subgrup dari G *
d.
K * subgrup dari G * maka  1  K *  subgrup dari G
1
Saran
Disarankan kepada pembaca untuk dapat lebih memahami isi makalah ini,
silahkan membaca atau melihat sumber atau referensi yang digunakan dalam
makalah ini atau dapat juga membaca buku ilmu matematika ynag berkaitan
dengan struktur aljabar grup yang lebih lengkap. Kami juga menyadari bahwa
masih banyak kekurangan dari makalah ini sehingga kritik dan saran dari pembaca
kami butuhkan. Kepada pembaca berikanlah kritik dan saran yang membangun
bukan menjatuhkan.
8
DAFTAR PUSTAKA
Mik Salmina, M. (Sutradara). (2018). Bab VII Homomorfisma Grup [Gambar
Hidup].
Saragih, S. (2014). Struktur Aljabar. Medan: Larispa Indonesia.
Setiawan, A. (2015). Diktat Kuliah Teori Grup. Salatiga: Universitas Kristen
Satya Wacana.
Sukardi. (2017, November 12). Soal dan Pembahasan - Homomorfisma Grup dan
Kernel
(Struktur
MathCyber1997:
Aljabar).
Dipetik
Desember
18,
2019,
dari
https://mathcyber1997.com/soal-latihan-dan-
penyelesaian-homomorfisma-grup-struktur-aljabar/
UGM, M. I. (Sutradara). (2018). Struktur Aljabar [Gambar Hidup].
9