Bukti Teorema Sisa China Dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Bukti Teorema Sisa China Dengan
Menggunakan Ideal Maksimal
Nur Erawaty
Abstrak
Sistem perkongruenan yang dapat dicari penyelesaiannya secara teori
bilangan dasar ternyata dapat dibuktikan melalui teori-teori struktur
aljabar khususnya dengan ideal maksimal.
1 Pendahuluan
Misalkan dipunyai system perkongruenan x  r1 mod a1  , x  r2 mod a2  ,
… x  rn mod a n  . Dengan teori bilangan dapat ditentukan solusinya. Dalam
tulisan ini, solusi system perkongruenan di atas pun dapat ditentukan dengan
menggunakan konsep-konsep struktur aljabar khususnya dengan konsep ideal
maksimal pada gelanggang dengan unsur 1 dan konsep homomorfisma
gelanggang.
2 Pembahasan
Defenisi 1
Misalkan R gelanggang. I  R ideal I disebut ideal maksimal jika tidak ada
ideal J , J subgroup normal R sedemikian sehingga I  J  R .
Teorema Isomorfisma
f :RS
1. Misalkan
homomorfisma
gelanggang
maka
 : R ker f   f R terdefenisi dengan baik dan merupakan
isomorfisma.
2. Jika S  R dan I  R maka S  I  /  S / S  I .
3. Misalkan I  R maka pemetaan semua ideal R yang memuat I ke dalam
himpunan semua ideal R I merupakan bijeksi. Lebih lanjut jika
I  J  R maka R I  /J I   R J .
Proposisi berikut lebih memperjelas bagaimana ideal maksimal.
Proposisi 1
Misal R gelanggang dan I  R ideal R maka pernyataan berikut ekivalen
a. I ideal maksimal.
b. I  x  I  x  R untuk setiap x  R \ I .
c. R I gelanggang sederhana.
Bukti:
Jika x  R \ I maka I  x merupakan ideal yang lebih besar dan tidak sama
dengan I , Jika I maksimal berarti
I  x  R . Ini menunjukkan bahwa
pernyataan a mengakibatkan b . Sebaliknya, jika I  x  R untuk setiap
x  R \ I maka tidak ada ideal sejati R yang sepenuhnya memuat I . Ini berarti
I maksimal.
Terakhir ekivalensi pernyataan a dan c merupakan akibat langsung teorema
isomorfisma 3 di atas.
Pada gelanggang komutatif dengan unsur 1, I  x  I  Rx .
Contoh 1
1. Ideal maksimal dari Z adalah ideal-ideal p  pZ dengan p bilangan
prima.
2. Misal C R  gelanggang senua fungsi-fungsi kontinu f : R  R untuk
setiap
x  R , himpunan
I x  f  CR f x  0 merupakan ideal
maksimal C R  . Lebih lanjut, pemetaan f  f x
homomorfisma pada C R   R dengan kernel I x .
merupakan
Dengan demikian C R  / I x  R suatu lapangan danjuga gelanggang
sederhana yang mengakibatkan bahwa I x ideal maksimal.
Hasil berikut menjamin sumbangan besar ideal maksimal dalam gelanggang
dengan unsur 1.
Proposisi 2
Misal R gelanggang dengan unsur 1 dan I  R ideal R maka I termuat dalam
ideal maksimal R .
Bukti:
Misalkan I ideal di R dengan I  R .
Misal µ := { J subgroup normal R | J memuat I dan J subset sejati R }
   karena I   .
 merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi  .
Misal C sebarang rantai di  .
Defenisikan K   J , maka untuk setiap J  C , J  K .
J C
Akan ditunjukkan K   .
1. Untuk setiap J  C ,
demikian K   .
JK
dan
J
ideal di
R J   
dengan
2. Misalkan x, y  K dan r  R sebarang, maka dapat dicari J1 , J 2  C
sedemikian sehingga x  J1 , y  J 2 .
Karena C rantai, maka berlaku J 1  J 2 atau J 2  J 1 . Dengan demikian
terdapat J 3  maksJ 1 , J 2  C sedemikian sehingga x, y  J 3 .
Karena J 3 ideal maka x, y  J 3  K , rx  J 3  K .
Jadi K ideal di R .
3. Untuk setiap J  C , I  J  K , jadi I  K .
4. Andaikan K  R , maka I  K . Akibatnya ada J 0  C sehingga I  J 0 dan
J 0  R . Hal ini bertentangan dengan J 0   J 0  R  . Jadi K  R .
Berdasarkan 1, 2, 3, 4 disimpulkan bahwa K   . Karena untuk setiap J   ,
J  K maka K merupakan batas atas C .
Berdasarkan Lemma Zorn, maka  memiliki unsur maksimal. Misalkan J M
unsur maksimal di  . Perhatikan bahwa J M ideal di R dengan J M  R dan
I  J M . J M ideal maksimal.
Jadi I termuat dalam suatu ideal maksimal.
Defenisi 2:
Dua ideal I dan J pada gelanggang R disebut KOMAXIMAL jika I  J  R .
Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem).
Misalkan R gelanggang dan I1 , ..., I n ideal-ideal di R sedemikian sehingga
R 2  I k  R untuk setiap k . Jika I1 , ..., I n KOMAXIMAL sepasang-sepasang,
yaitu jika I r  I s  R untuk semua r  s , maka
 : R  R I1 x...x R I n
r  r  I1 ,..., r  I n 
Merupakan homomorfisma pada dengan kernel   I 1  ...  I n .
Bukti:
1. Akan ditunjukkan  homomorfisma.
Ambil x, y  R ,
 x  y   x  y  J , ..., x  I n  y  I n 
 x  I 1  y  I 1 , ..., x  I n  y  I n 
 x  I 1 , ... x  I n    y  I 1 , ... , y  I n 
  x     y 
 xy  xy  I 1 , ..., xy  I n   x  I 1  y  I 1 , ..., x  I n  y  I n 
 x  I 1 , ..., x  I n  y  I 1 , ..., y  I n    x   y 
Jadi  pemetaan homomorfisma.
2. Akan ditunjukkan ker   I1  I 2  ...  I n .
Ambil x  ker  sebarang, maka  x   0  I1 , ..., I n  padahal
 x   x  I1 , x  I 2 , ..., x  I n  sehingga
x  I1 , ..., x  I 2 , ..., x  I n   I1 , ..., I n  akibatnya x  I i untuk setiap i , atau
x  I1  I 2  ...  I n . Jadi Ker    I1  I 2  ...  I n .
Sebaliknya jika x  I1  I 2  ...  I n maka x  I i untuk setiap i . Dengan
demikian x  I i  I i untuk setiap i .
 x   x  I1 , ..., x  I n  = I1 , ..., I n   0
Jadi x  Ker  dan I1  I 2  ...  I n  Ker  
Disimpulkan bahwa Ker   I1  ...  I n .
3. Akan ditunjukkan  pada.
Klaim bahwa R  I1   I k .
k 1
Jelas
R  I 1  R 2  I 1  I 1  I 2 I 1  I 3   I 1  I 12  I 1 I 3  I 2 I 1  I 2 I 3

 
 I 1  I 2  I 3 
Tapi,
 I 2 I3
 I1
R  I 1  R 2  I 1  I 1  I 2  I 3 I 1  I 4 
 I 1  I 1 I 4  I 2  I 3 I 4  I 2  I 3 I 4
 


 I1
 I 2 I3 I 4
 I 1  I 2  I 3  I 4 
Dan seterusnya, sehingga diperoleh R  I1  I 2  I 3  ...  I n  (klaim)
Dengan cara yang sama
R  I 2   I k  I 3   I k  ...  I n   I k
k 2
k 3
k n
Misalkan r1 ,..., rn sebarang.
Dapat dicari ak  I k dan bk   I v sedemikian sehingga rk  a k  bk
vk
Maka
r : b1  ...  bn  bk  rk modulo I k
yang merupakan jalan lain untuk menyatakan
 r   r1  I1 , r2  I 2 , ..., rn  I n 
Hasil ini terlihat abstrak, tapi ketika dikhususkan untuk ideal-ideal di Z ,
diperoleh hasil penting teori bilangan dasar yang menyangkut penyelesaian dari
sistem perkongruenan.
Contoh 2:
Misalkan bahwa bilangan-bilangan asli a1 , ..., a n relatif prim.
Diberikan sebarang bilangan bulat r1 , ..., rn sehingga dapat ditentukan bilangan
bulat m sedemikian sehingga
m  r1 mod a1
m  r2 mod a 2
*
...
m  rn mod a n
Lebih jauh, jika m dan m ' dua solusi dari sistem perkongruenan di atas * maka
m  m ' mod a1 a 2 ...a n .
Bukti:
Dengan mengaplikasikan teorema sisa china dengan R  Z dan I k  a k Z untuk
mendapatkan * . Perhatikan bahwa
I1  ... I n a1 Z  a2 Z  ...  an Z  a1a2 ...an Z , karena a1 , ..., a n relatif prim.
Sehingga diperoleh m  m ' mod a1 a 2 ...a n .
Contoh 3:
Tentukan semua bilangan bulat x  Z dengan x  1 (mod 2), x  2 (mod 3) dan
x  3 (mod 5). Ideal yang terlibat I1  2Z , I 2  3Z dan I 3  5Z . Mengikuti
bukti teorema sisa china diperoleh bilangan-bilangan ai , bi  Z sedemikian
sehingga
1  a1  b1 dengan a1  I1  2Z dan b1  I 2  I 3  15Z ,
2  a2  b2 dengan a2  I 2  3Z dan b2  I 1  I 3  10Z dan
3  a3  b3 dengan a3  I 3  5Z dan b3  I1  I 2  6Z .
Ambil a1 , b1   16,  15
a2 , b2    18, 20
a3 , b3    15,18
Maka x : b1  b2  b3  23 adalah solusi,
dan semua solusi yang lain adalah 23  30k dengan k  Z .
3 Kesimpulan
1. Suatu ideal sejati dalam gelanggang dengan unsur 1 pasti termuat dalam salah
satu ideal maksimalnya.
2. Misalkan R gelanggang dan I1 , ..., I n ideal R sedemikian sehingga
R 2  I k  R untuk setiap k . Jika I 1 , ..., I n komaksimal sepasang-sepasang,
maka  : R  R I1 x...x R I n merupakan homomorfisma pada.
4 Daftar Pustaka
1. Lang, Serge, Algebra, Addison-Wesley. 1965
2. Passman, Donald S, A Course in Ring Theory, Wadsworth., Inc Belmont,
California, 1991
3. Spindler, Karlheinz, Abstract Algebra with Applications, volume II,
Marcel Dekker, Inc, 1994