Linear Algebra and Matrices (Introduction) - E

KALKULUS
(Fungsi Khusus)
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Beberapa Fungsi Khusus
1. Fungsi Floor dan Ceiling
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara
dua bilangan bulat.
 Fungsi floor dari x:
x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih
kecil atau sama dengan x
 Fungsi ceiling dari x:
x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar
atau sama dengan x
Contoh
Beberapa contoh fungsi floor dan ceiling
3.5 = 3
3.5 = 4
0.5 = 0
4.8 = 4
– 0.5 = – 1
–3.5 = – 4
0.5 = 1
4.8 = 5
 – 0.5  = 0
–3.5 = – 3
Beberapa Fungsi Khusus
2. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah
bilangan bulat positif.
 a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a
dibagi dengan m
 a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r
< m.
Contoh
 Contoh . Beberapa contoh fungsi modulo
25 mod 7 = 4
16 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3(sebab –25 = 7  (–4) + 3 )
Beberapa Fungsi Khusus
3. Fungsi Faktorial
,n  0
1
n! 
1  2  .  (n  1)  n , n  0
4. Fungsi Eksponensial
,n  0
1
Untuk kasus perpangkatan negatif, a  a  a    a , n  0
 


n
n
1
a  n
a
n
Beberapa Fungsi Khusus
 Persamaan umum fungsi eksponensial :
y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1
Beberapa Fungsi Khusus
5. Fungsi Logaritmik
 Fungsi logaritmik berbentuk y  log x
y  log x  x = ay
a
a
y  log x
a
Beberapa Fungsi Khusus
6. Fungsi Rekursif
Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya
mengacu pada dirinya sendiri.
Contoh:
n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n.
,n  0
1
n! 
n  (n  1)! , n  0
Beberapa Fungsi Khusus
7. Fungsi linear
Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus.
Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan
Contoh :
 Notasinya : f(x) = mx+n
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m
dan melalui titik (0,n)
Beberapa Fungsi Khusus
8. Fungsi kuadrat
Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk
rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0
Contoh : y = x2 – 4x + 3
Fungsi Kuadrat dan Grafik
Contoh :
 Diketahui :
f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain
berupa bil riil

Menuliskan fungsi dalam tabel

X
-2
-1
0
1
2
F(X)
8
2
0
2
8
 Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :
Beberapa Fungsi Khusus
9. Fungsi Konstan
 Notasinya : f(x) = c
 Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut fungsi
konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota
B yang sama
 Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x
GRAFIK FUNGSI
 Diketahui :


f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
GRAFIK FUNGSI
 Diketahui :

f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam tabel

Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius

Beberapa Fungsi Khusus
10. Fungsi kubik : .
f ( x)  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , a3  0
Beberapa Fungsi Khusus
11. Fungsi Pecah :
Beberapa Fungsi Khusus
12. Fungsi Irasional :
Beberapa Fungsi Khusus
13. Fungsi Genap dan Ganjil
 Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f(−a) = f(a).
Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y
 Fungsi f disebut fungsi ganjil bila memenuhi f(−a) = −f(a).
Grafiknya simetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat).
Latihan
Operasi Fungsi
1.
Jumlah dan Selisih
Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
catatan :
Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah
asal f dan g
Operasi Fungsi
2.
Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat
Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal,
maka
(f • g) (x) = f(x) • g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian
berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.
Contoh soal
CONTOH ccSOAL
Diketahui
:
cccccccCCCCCCCC
CCCCCC
f(x) = 2x-4

g(x) = -3x+2
Ditanya :

1.
f+g = 2x-4-3x+2 = -x-2

2.
f–g = 2x -4 –(-3x+2) = 5x - 6

3.
f · g = (2x – 4)(-3x+2) = -6x² + 16x – 8

4.
f/g = (2x-4)/(-3x+2) = (-6x²+8x+8)/(9x²-4)

Terima Kasih