- Veny Triyana Andika Sari, M.Pd.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai
Mutlak serta Beberapa Fungsi
Oleh :
VENY TRIYANA ANDIKA SARI
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan beserta
sifat2nya.






Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …}
Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}
Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang
dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0
Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat
dinyatakan ke bentuk rasional
Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan
rasional dengan himpunan bilangan irrasional.
Sistem Bilangan
Bil Real
Bil Rasional
Bil Bulat
Bil Asli
Selang Pertidaksamaan
• Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan
Selang
{x| a < x < b}
{x| a ≤ x < b }
{x | a < x ≤ b }
{x| a ≤ x ≤ b }
{x | x ≤ b }
{x | x < b }
{x | a ≤ x }
{x | a < x }
(a,b)
[a, b)
(a, b]
[a, b]
(-∞, b]
(-∞, b)
[a, +∞)
(a, +∞)
Grafik
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
Nilai Mutlak
• Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan
sebagai berikut :
| x |

x, bila x  0
;
 x, bila x  0
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1.
Untuk setiap bilangan real x berlaku
a)
b)
c)
d)
2.
|x|  0
|x| = |- x|
- |x| ≤ x ≤ |x|
|x|2 = |x2| = x2
Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
a)
b)
|x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2
|x – y | = |y – x |
Sifat-sifat Nilai Mutlak
3.
Jika a  0, maka
a)
b)
4.
|x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a
|x|  a ↔ x  a atau x ≤ - a ↔ x2  a2
Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
a) |x + y| ≤ |x| + |y|
b) |x – y| ≤ |x| + |y|
c) |x| - |y| ≤ |x – y |
d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |
Sifat – sifat nilai mutlak
5.
Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku:
a)
b)
|xy| = |x| |y|
|x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0
FUNGSI
Definisi
 Fungsi f adalah suatu aturan korespodensi yang
menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah
asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan
kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi
tersebut.
Jenis – jenis Fungsi
Fungsi linier
Fungsi kuadrat
Fungsi trigonometri
Fungsi eksponential
Fungsi logaritma
Fungsi linier
• Fungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus.
Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan
Fungsi kuadrat
• Grafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk
rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0
Contoh : y = x2 – 4x + 3
Fungsi Eksponential
• Persamaan umum fungsi eksponen :
y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1
Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma didefinisikan dengan persamaan :
y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1
Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari
fungsi eksponen.
Operasi Fungsi
1. Jumlah dan Selisih
Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
catatan :
Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari
daerah asal f dan g
Operasi Fungsi
2. Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat
Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai
daerah asal, maka
(f • g) (x) = f(x) • g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah
perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.
Contoh soal
CONTOH ccSOAL
Diketahui
:
cccccccCCCCCCCC
CCCCCC
•
f(x) = 2x-4
•
g(x) = -3x+2
Ditanya :
•
1.
f+g = 2x-4-3x+2 = -x-2
•
2.
f–g = 2x -4 –(-3x+2) = 5x - 6
•
3.
f · g = (2x – 4)(-3x+2) = -6x² + 16x – 8
•
4.
f/g = (2x-4)/(-3x+2) = (-6x²+8x+8)/(9x²-4)
FUNGSI KONSTAN
 Notasinya : f(x) = c
 Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut fungsi
konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota
B yang sama
 Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu x
FUNGSI LINIER
 Notasinya : f(x) = mx+n
 Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m
dan melalui titik (0,n)
GRAFIK FUNGSI
 Diketahui :
•
f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil riil
•
Menuliskan fungsi dalam tabel
•
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
GRAFIK FUNGSI
 Diketahui :
•
f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riil
•
Menuliskan fungsi dalam tabel
•
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
FUNGSI KUADRAT
CONTOH FUNGSI KUADRAT
• Diketahui :
•
f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain
berupa bil riil
•
Menuliskan fungsi dalam tabel
X
-2
-1
0
1
2
F(X)
8
2
0
2
8
• Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :
FUNGSI KUBIK
•
Fungsi kubik: .
f ( x)  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , a3  0
FUNGSI PECAH
FUNGSI IRASIONAL
Fungsi Trigonometri
•
•
•
•
•
•
•
1. definisi sinus, cosinus, dan tangen dalam segitiga siku-siku;
2. fungsi sinus;
3. fungsi cosinus;
4. fungsi tangen.
5. fungsi arc sinus;
6. fungsi arc cosinus;
7. fungsi arc tangen.
Fungsi Invers Trigonometri
• Definisi
• Jika x = sin y, maka fungsi invers dari sinus
didefinisikan
• dengan y = arc sin x.
• Dengan cara yang sama, jika:
• x = cos y maka inversnya adalah y = arc sin x;
• x = tan y maka inversnya adalah y = arc tan x.
Contoh soal
1. Jika sin y = 0,5, hitunglah y, jika y < 90o!
Penyelesaian:
sin y = 0,5
y = arc sin 0,5
y = 30o
Catatan : ingat bahwa sin 30o = 0,5
Contoh soal
2. Jika cos y = 0,7071, hitunglah y jika y < 90o!
• Penyelesaian:
• cos y = 0,7071
• y = arc cos 0,7071
• y = 45o
• Catatan : ingat bahwa cos 45o = 0,7071
Contoh soal
• 3. Jika tan y = 1,7321, hitunglah y, jika y < 90o!
Penyelesaian:
• tan y = 1,7321
• y = arc tan 1,7321
• y = 60o
• Catatan : ingat bahwa tan 60o = 1,7321
Tugas 5 (Individu)
Buku Paket “PENGENALAN ALJABAR”
Halaman 33, 38 & 46