Persamaan dan Fungsi Kuadrat

-1-
PERSAMAAN KUADRAT
1. PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax  bx  c  0 , dimana a  0 dan a,b,c  R .
Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian persamaan kuadrat. Himpunan dari
penyelesaian di atas disebut Himpunan Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan
kuadrat sama dengan menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan
2
penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva
y  ax 2  bx  c
dengan sumbu X.
Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu :
1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna
3. rumus kuadrat (rumus abc)
1.1 Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah
A = 0 atau B = 0. Langkah pertama untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
ax 2  bx  c  0 dengan pemfaktoran yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang
jumlahnya adalah b, misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari
koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :
Perkalian dalam
(…x + …)(…x + …) = 0
Perkalian luar
Contoh 1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x  2 x  8  0
2
Jawab
: x  2x  8  0
2
 (x - ….)(x + ….) = 0
x1  .... x2  ....
Jadi HP:{….,…..}
Contoh 2: Tentukan penyelesaian dari 6 x  x  5  0
2
Jawab
: 6x  x  5  0
2
 (…...-……)(……+……) = 0
x1  ....
x2  ....
LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !
1.
2.
3.
4.
5.
x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0
x2  9  0
 x 2  81  0
Persamaan Kuadrat
-2-
2 x 2  10  0
x2  a  0
x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0
ax 2  bx  0
2x2  x  6  0
5x2  8x  4  0
6 x 2  11x  3  0
 8 x 2  18 x  5  0
12 x 2  20 x  3  0
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
1.2
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Yaitu dengan mengubah persamaan ax  bx  c  0 menjadi bentuk
2
penyelesaiannya
x  p 2  q
x   p  q . Pertama, usahakan menjadi bentuk x 2 
sehingga
b
c
x   . Kemudian
a
a
menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas
dengan (
b 2
) .
2a
Contoh 3: Tentukan HP dari x  2 x  8  0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
2
Jawab
: x  2x  8  0
2

….
= …..
………………………….
Jadi HP : {……,…….}
Contoh 4: Tentukan HP dari 6 x  x  5  0 dengan melengkapkan kuadrat sempurna
2
Jawab
: 6x  x  5  0
2

….
= ….
:6
………………………………..
Jadi HP:{
….
}
LATIHAN SOAL
Persamaan Kuadrat
-3-
Tentukan HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :
x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0
x2  9  0
 x 2  81  0
2 x 2  10  0
x2  a  0
x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0
ax 2  bx  0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1.3
11. 2 x  x  6  0
2
12. 5 x  8 x  4  0
2
13. 6 x  11x  3  0
2
14.  8 x  18 x  5  0
2
15. 12 x  20 x  3  0
2
Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus abc)
ax 2  bx  c  0
Sehingga :
x1.2 
….
=…

:a
….
=…

….
+ …. = …. + ….

2
 ....  ....  ....
 …+… =…
 x=…

 b  b2  4ac
2a
dimana b  4ac disebut dengan diskriminan (D)
2
Jadi D = b  4ac
Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat atau sering dikenal dengan rumus abc.
2
Contoh 5: Tentukan HP dari x  2 x  8  0 dengan menggunakan rumus kuadrat
2
Jawab
:a=…
x1.2 
, b = ….
, c = ….
 b  b2  4ac
= …
2a
=…
x1  ....
x2  ....
Jadi HP:{
….
}
Contoh 6: Tentukan HP dari 5  9 x  2 x  0 dengan menggunakan rumus kuadrat
2
Persamaan Kuadrat
-4-
Jawab
:a=…
x1.2 
, b= ….
, c = ….
 b  b  4ac
= …
2a
2
Jadi HP:{
….
}
LATIHAN SOAL
Tentukan HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x 2  x  12  0
x 2  7 x  12  0
x 2  8 x  16  0
x2  9  0
 x 2  81  0
2 x 2  10  0
 5 x 2  40  0
x 2  3x  0
3 x 2  12 x  0
 6 x 2  60 x  0
11. 2 x  x  6  0
2
12. 5 x  8 x  4  0
2
13. 6 x  11x  3  0
2
14. 5  18 x  8 x  0
2
15.  20 x  3  12 x  0
2
2. JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
- Jika D < 0 maka akar-akarnya imajiner/ireal/tidak nyata
- Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama (akar kembar)
- Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan berlainan
Jika D > 0 dan
Jika D > 0 dan
D merupakan bentuk akar, maka akar-akarnya irasional dan berlainan
D bukan bentuk akar, maka akar-akarnya rasional dan berlainan
Harga a pada ax  bx  c  0 menentukan kurva parabola menghadap ke atas atau ke bawah.
- Jika a < 0 maka parabola menghadap ke bawah
- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas
2
Definit negatif dan definit positif
- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan nilai ax  bx  c yang negatif
(definit negatif)
2
- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu menghasilkan ax  bx  c yang positif
(definit positif)
2
Perhatikan gambar berikut :
Definit positif
Persamaan Kuadrat
-5-
a >0
D <0
a>0
D=0
a >0
D >0
Sb X
a<0
D>0
a<0
D=0
a<0
D<0
Definit negatif
Contoh 1: Tentukan jenis akar-akar dari 3 x  5 x  4  0
2
Jawab
:D=…
=…
Karena D … 0 maka akar-akarnya …
Contoh 2: Tentukan nilai n agar persamaan 2 x  nx  8  0 mempunyai akar kembar !
2
Jawab
: Syarat akar kembar, yaitu D …. 0
…
=0
…
=0
…
=0
( …
)( …
)=0
n = … atau n = …
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan jenis-jenis akar persamaan berikut :
x2  5x  2  0
2
b. 3 x  30 x  75  0
2
c. 4 x  5 x  3  0
a.
d.  x  5 x  3  0
2
e. 5 x  30 x  45  0
2
2. Tentukan n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar !
x 2  nx  16  0
2
b. nx  20 x  50  0
2
c. 3x  18 x  20  n  0
2
d. (n  1) x  16 x  32  0
1 2
1
x  (n  2) x  12  0
e.
2
2
a.
3. JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan Kuadrat
-6-
 b  b 2  4ac
 b  b2  4ac
Akar-akar ax  bx  c  0 adalah x1 
dan x2 
.
2a
2a
2
Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan akar-akarnya akan mendapatkan rumus :
x1  x2  
b
a
dan
x1 x2 
c
a
Contoh 1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :
a. x  10 x  25  0
b. 3 x  10 x  3  0
2
2
: a. x  10 x  25  0
a = … , b = … , dan c = …
Jawab
2
x1  x2  ......
x1x2 = …..
b. 3 x  10 x  3  0
a = … , b = …. dan c = ….
2
x1  x2  ......
x1x2 = …..
x1 dan x2 akar-akar 2 x 2  5 x  3  0 maka tentukan nilai :
1 1
2
2
3
3
a. x1  x2
b.
c. x1  x2
d. x1  x2

x1 x2
Contoh 2: Jika
Jawab
:
x1  x2  ......
x1x2 = …..
x1  x2 =  x1  x2   2 x1 x2  ....
1 1
x  x2
b.
= 1

 .....
x1 x2
x1 x2
a.
c.
d.
2
2
2
x1  x2 2  4x1x2  .....
3
3
3
x1  x2 = x1  x2   3x1 x2 x1  x2   ....
x1  x2 =
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar dari :
a. x  5 x  2  0
b. 3 x  x  6  0
2
2
x1 dan x2 akar-akar persamaan 3x 2  4 x  1  0 , maka tentukan harga :
1 1
2
2
3
3
a. x1  x2
b.
c. x1  x2
d. x1  x2

x1 x2
2. Jika
nx 2  5 x  4  0 hasil kali akar-akarnya 1 atau akar-akarnya saling
3. Tentukan n agar
berkebalikan.
4. Tentukan n agar 4 x  nx  3  0 akar-akarnya berlawanan tanda.
2
5. Tentukan n agar x  10 x  n  0 hasil kali akar-akarnya 5.
2
4. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan Kuadrat
-7-
4.1
Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya x1 dan x2 .
Digunakan rumus sebagai berikut :
x  x1 x  x2   0
atau x 2  x1  x2 x  x1x2  0
Contoh 1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3
Jawab
: Cara I :
Cara II :
4.2
x  x1 x  x2   0  .....
x 2  x1  x2 x  x1 x2  0  .....
Persamaan Kuadrat Yang
Persamaan Kuadrat Lainnya
Akar-akarnya
Berhubungan
Dengan
Akar-akar
x1 dan x2 akar-akar dari ax 2  bx  c  0 , sedangkan y1 dan y2 akar-akar persamaan
kuadrat baru, dimana y1  kx1 dan y2  kx2 , maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu
Misal
ada 2 cara, yaitu :
1.
Cara I : Substitusi y = kx atau x 
y
2
ke ax  bx  c  0 , lalu ganti y dengan x
k
2. Cara II: dengan menggunakan rumus :
x 2   y1  y2 x  y1 y2  0 dim ana y1  kx1 dan y2  kx2
Contoh 2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar x  5 x  3  0
2
Jawab
: Cara I : y = 2x maka x = ….
Substitusi x = …. ke x  5 x  3  0
….
….
Ganti y dengan x, maka diperoleh : ….
2
Cara II:
=0
=0
x 2   y1  y2 x  y1 y2  0 dim ana y1  2 x1 dan y2  2 x2
….
….
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya :
a. 3 dan 4
c. 5 dan –1/2
b. 2 dan –7
d. –3/2 dan 4/5
2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar 3 x  2 x  1  0
2
3. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar x  2 x  8  0
2
Persamaan Kuadrat
-8-
4. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar x  4 x  3  0
2
5. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar 2 x  8 x  6  0
2
Persamaan Kuadrat