aljabar-fungsi kuadrat

ALJABAR-FUNGSI KUADRAT
1. EKLESIA LEMPOY POKU (13531133)
2. SUSAN CICILIA (13531120 )
3. TISA D. PODOMI (13531029)
4. MONICA DWIYANI (13531090)
5. GENRY DAMASAR (13531007)
6. NOVITA LAURA (13531136)
7. FRISYE UMBOH (13531164)
8. MARIO DENGEN (13531173)
9. THEOGIVES MASAMBE (13531213)
10.RIKSON LAIRA (13531273)
11.ARIF ULAEN
12.AGNES MANGARE
13.WIDELCYA BAWULELE (13531268)
14.MARIGIA KATIANDAGHO (13531294)
15.JEIN TINDI (13531138)
[Year]
Pengertian dan Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
A. Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsu f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh rumus 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah x. Grafiknya
dinamakan parabola dan persamaannya adalah 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
B. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
A. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
1. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Sederhana
Sketsa sederhana dari grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan langkah-langkah
sebagai berikut.
Langkah 1:
Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada
grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih beberapa nilai x
bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi
f, sehingga terdapat beberapa pasangan koordinat titik (𝑥, 𝑓(𝑥)). Titik-titik pada
fungsi f itu biasanya akan lebih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tabel
atau daftar.
Langkah 2:
Gambarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah 1 pada sebuah
bidang Cartecius.
Langkah 3:
Hubungkan titik-titik yang telah digambarkan pada bidang Cartecius pada Langkah
2 dengan menggunakan kurva mulus.
2. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat secara Umum
Dengan memerhatikan tanda nilai 𝑎 dan nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐, maka
grafik fungsi kuadrat dapat dibagi dalam dua kelompok seperti pada gambar
dibawah ini.
a. 𝑎 > 0, parabola terbuka ke atas (memiliki titik puncak minimum).
i)
Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu X di dua titik yang berlainan.
ii) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu X di satu titik. Dengan kata lain,
parabola menyinggung sumbu X. Secara aljabar dapat dikatakan bahwa nilai
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 = 0, tidak pernah negatif untuk
setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
iii) Jika 𝐷 < 0, parabola tidak memotong atau menyinggung sumbu X. Secara
aljabar dapat dikatakan nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 dengan nilai 𝑎 > 0 dan 𝐷 < 0, selalu
posotif untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅atau definit positif.
b. Untuk 𝑎 < 0, parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik puncak maksimum.
i)
Jika 𝐷 > 0, parabola memotong sumbu X di dua titik yang berlainan.
ii) Jika 𝐷 = 0, parabola memotong sumbu X di satu titik. Dengan kata lain, parabola
menyinggung sumbu X. Secara aljabar dapat dikatakan bahwa nilai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 +
𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 = 0, tidak pernah positif untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.
iii) Jika 𝐷 < 0 parabola tidak memotongatau menyinggung sumbu X. Secara aljabar
dapat dikatakan nilai𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan nilai 𝑎 < 0 dan 𝐷 < 0, selalu negatif
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅 atau definit negatif.
Menyusun Fungsi Kuadrat
Sebuah fungsi kuadrat dapat disusun dengan memperhatikan ciri-ciri yang terdapat
pada grafik fungsi kuadrat itu.
a. Jika grafik fungsi kuadrat itu memotong sumbu x di titik A(Xa,0) dan B(Xb,0) dan
melalui sebuah titik lain, misalnya C(Xc , Yc), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan
rumus :
𝑓 (𝑥 ) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑎 )(𝑥 − 𝑥𝑏 )
Nilai a dapat ditentukan mensubstitusikan pasangan-pasangan absis dan orbit (koordinat)
titik C.
b. Jika grafik fungsi kuadrat itu menyinggung sumbu x di titik A(xa , 0) dan melalui sebuah
titik lain misalkan C(xc , yc), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus :
𝑓(𝑥 ) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝐴 )2
Nilai a dapat ditentukan mensubstitusikan pasangan-pasangan absis dan orbit (koordinat)
titik C.
c. Titik puncak gradik fungsi kuadrat itu P(xp , yp) dan melalui sebuah titik lain, misalnya
C(xc , yc) , fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus :
𝑦 = 𝑓(𝑥) = = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑝)2 + 𝑦𝑝
Nilai a dapat ditentukan mensubstitusikan pasangan-pasangan absis dan orbit (koordinat)
titik C.
d. Jika grafik fungsi kuadrat itu melalui tiga titik berlainan, yaitu A(x a , ya) , B(xb , yb) dan
C (xc , yc), fungsi kuadratnya dapat disusun dengan rumus :
𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Nilai a,b dan c ditentukan dengan mensubstitusikan ketiga titik itu ke persamaan
f(x) = ax2 + bx + c sehingga aka diperoleh tiga buah persamaan dalam variabel a,b dan c
yang saling berhubungan satu dengan lainnya.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
2
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x  8 x  15 = 0
2
Jawab : x  8 x  15
=0
( x  3)( x  5)
=0
( x  3) = 0
atau
( x  5) = 0
x =3
atau
x =5
Jadi, HP = {3, 5}
2
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x  6 x
2
Jawab : x  6 x = 0
=0
x ( x  6) = 0
( x  6) = 0
x = 0 atau
x = 6
Jadi, HP = {  6 , 0}
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat x  3 
Jawab : x  3 
60
x 1
60
x 1
kalikan kedua ruas dengan ( x  1)
 ( x  1)( x  3)  60
 x 2  2 x  63  0
 ( x  7)( x  9)  0
 ( x  7) = 0 atau
x = 7 atau
( x  9) = 0
x = 9
Jadi, HP = {  9 , 7}
4. Salah satu akar persamaan ax2 – 5x + 18 = 0 adalah 6. Akar yang lain adalah …
Jawab :
x1 = 6 => ax2 – 5x + 18 = 0
a62 – 5.6 + 18 = 0
36a – 30 + 18 = 0
1
36a = 12 => a = 3
1
(3)x2 – 5x + 18 = 0
x2 – 15x + 54 = 0
(x – 6)(x – 9) = 0 =>x2 = 9
5. Jika m dan n akar-akar persamaan x2 – 4x – 7 = 0 maka nilai m2 + n2 sama dengan …
Jawab :
m + n = -b/a = 4
mn = c/a = -7
m2 + n2 = (m + n)2 – 2mn
42 – 2(-7) = 16 + 14 = 30
6. Agar persamaan x2 + 6x – k + 1 = 0 memiliki 2 akar real maka nilai k sama dengan …
Jawab :
Syarat-syarat akar real :
sehingga
7. Persamaan x2 + (t – 2) x + t + 6 =0 memiliki akar kembar. Nilai t yang memenuhi adalah
Jawab : Syarat akar kembar D = 0
b2 – 4ac = 0
(t – 2)2 – 4.1.(t + 6) = 0
t2 – 4t + 4 – 4t – 24 =0
t2 – 8t – 20 = 0
(t – 10) ( t + 2) = 0
t = 10 atau t = -2
8. Persamaan x2 + (5k – 20) – 2k = 0 memiliki akar-akar yang saling berlawanan. Nilai k
yang memenuhi adalah …
Jawab : saling berlawanan maka x1 = -x2 sehingga
x1 + x2= 0
-5k + 20 = 0
-5k = -20
k=4
9. Persamaan x2 – 8x + m – 3 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Jika nilai 3p + q = 14 maka
nilai m sama dengan ….
Jawab :
Jumlah akar-akar p + q = -b/a = 8 …………..(1)
Dari soal diketahui : 3p + q = 14 ……………..(2)
Jika persamaan (2) dikurangi persamaan (1) maka
2p = 6 sehingga p = 3
p+q=8
3+ q = 8
q=5
hasil kali akar-akar
𝑐
pq = 𝑎
3.5 = m – 3
15 = m – 3
m = 18
10. Tentukan fungsi kuadrat yang mempunyai nilai ekstrim 6 untuk x = -2 dan bernilai 2
untuk x = -4 !
Jawab:
Fungsi kuadrat y = a(x+2)2 + 6
Grafik melalui titik (-4,2), maka diperoleh:
y = a(x+2)2 + 6
2 = a(-4+2)2 + 6
2 = 4a + 6
A = -1
fungsi kuadrat yang dimaksud adalah
y = -1(x+2)2 + 6 atau y = -x2 – 4x + 2
11. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di titik (1,0) dan melalui titik (0,-4).
Tentukan fungsinya!
Jawab:
Fungsi kuadrat y = a(x-1)2
Grafik melalui titik (0,-4), maka diperoleh:
-4 = a(0-1)2
-4 = a(1)
a= -4
fungsi kuadrat yang dimaksud adalah
y = -4(x-1)2 atau y = -4x2 + 8x - 4
12.
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik A(1,0) , B(-1,-6) dan C (2,6) !
Jawab:
Bentuk umum fungsi kuadrat: y = ax2 + bx + c
Nilai a,b dan c dapat dicari sebagai berikut:
A(1,0) →
a + b + c = 0 ................................(1)
B(-1,-6) →
a – b + c = -6 ................................(2)
C(2,6) →
4a+2b+c = 6 ..................................(3)
Eliminasi a dan c dari persamaan (1) dan (2):
a+b+c
=0
a-b+c
=0
2b
=6
b
=3
Nilai b = 3 disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) , diperoleh:
a – 3 + c = -6
a + c = -3
4a + 6 +c = 6
4a + c= 0
-3a = -3
a =1
Nilai dari a = 1 dan b =3 disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh:
1+ 3 + c = 0
c = -4
fungsi kuadrat yang dimaksud adalah y = x2 + 3x -4
13. Buatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 4
Jawab a= 1 > 0 maka grafik terbuka ke atas
Titik potong pada sumbu x
𝑦=0
𝑥 2 − 2𝑥 + 4 = 0
𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = −4 + 1
(𝑥 − 1)2 = −3
𝑥 − 1 = ±√−3 (imajiner,
tidak memotong sumbu x)
Titik potong pada sumbu y
𝑥=0
𝑦 = (0)2 − 2(0) + 4
𝑦= 4
Maka titiknya (0,4)
Titik balik
𝑏
−2
𝑥 = − 2𝑎 = − 2(1) = 1
𝑦=
𝐷
=
−4𝑎
(2)2 − 4(1)(4)
−4(1)
= 3
Maka titik baliknya (1,3)
14. Buatlah sketsa grafik dari fungsi kuadrat 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 − 1
Jawab : a= -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah
Titik potong pada sumbu x
𝑦=0
−𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0
(−𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 1 (menyinggung sumbu x)
Maka titiknya (1,0)
Titik potong pada sumbu y
𝑥=0
𝑦 = −(0)2 + 2(0) − 1
𝑦 = −1
Maka titiknya (0,-1)
Titik balik
𝑏
2
𝑥 = − 2𝑎 = − 2(−1) = 1
𝑦=
𝐷
=
−4𝑎
(2)2 − 4(−1)(−1)
−4(−1)
= 0
Maka titik baliknya (1, 0)
15. Tentukan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (0,-5) dan memotong sumbu x di titik
A(-5,0) dan B(1,0) !
Jawab:
Diketahui : x1 = -5
x2 = 1
Ditanya
: grafik fungsi kuadrat
Dijawab :
Fungsi Kuadrat: y = a(x-x1) (x-x2)
y = a(x+5) (x-1)
Grafik melalui titik (0,-5), maka diperoleh:
y = a(x-x1) (x-x2)
-5 = a(0+5) (0-1)
-5 = -5a
a=1
∴ fungsi kuadrat yang dimaksud adalah:
Y = (x+5) (x-1) atau y = x2 + 4x – 5
Grafik nya: