MATEMATIKA DISKRIT Chapter 1 Himpunan - E

Mohammad Fal Sadikin
`
Dari 40 siswa dalam kelas, terdapat 32 siswa
gemar pelajaran Matematika dan 27 siswa
gemar pelajaran fisika. Jika 4 siswa tidak
gemar dengan kedua pelajaran tersebut,
maka berapakah banyaknya siswa yang
gemar dengan kedua pelajaran tersebut?
Contoh 4:
Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5
orang tidak suka keduanya.
a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?
b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?
c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?
Jawab:
N(S) = 60
Misalnya : A = {siswa suka bakso}
B = {sisawa suka siomay}
(A ∪B)c = {tidak suka keduanya}
n(A) = 20
n(B) = 46
n((A ∪ B)c) = 5
Maka A ∩B = {suka keduanya}
n(A ∩B) = x
n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5
{siswa suka bakso saja} = 20 - x
{siswa suka siomay saja} = 46 - x
Perhatikan Diagram Venn berikut
S
A
20 - x
x
46 - x
B
5
60 = 71 - x
X = 71 – 60 = 11
a. Yang suka keduanya adalah x
= 11 orang
b. Yang suka bakso saja adalah
20-x = 20-11= 9 orang
c. Yang suka siomay saja adalah
46-x = 46-11= 35 orang
U n tu k d u a h im p u n an A d a n B :
⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐
⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ +⏐B⏐ – 2⏐A ∩ B⏐
10
`
`
`
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|- |A ∩ B| - |A ∩
C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A
∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| +|A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C
∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang
habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –
Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
Yang ditanyakan adalah ⏐A ∪ B⏐.
⏐A⏐ = ⎣100/3⎦ = 33,
⏐B⏐ = ⎣100/5⎦ = 20,
⏐A ∩ B⏐ = ⎣100/15⎦ = 6
⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
12
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
⏐A ∪ B ∪ C⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ + ⏐C⏐ – ⏐A ∩ B⏐ –
⏐A ∩ C⏐ – ⏐B ∩ C⏐ + ⏐A ∩ B ∩ C⏐
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
⏐A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ar⏐ = ∑ ⏐Ai⏐ – ∑ ⏐Ai ∩ Aj⏐ +
i
1≤i ≤ j ≤ r
∑ ⏐Ai ∩ Aj ∩ Ak⏐ + … +
1≤i ≤ j ≤ k ≤ r
(-1)r-1 ⏐A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ar⏐
13
Latihan:
Di antara bilangan bulat antara 101 – 600
(termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa
banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh
4 atau 5 namun tidak keduanya?
14
Penyelesaian:
Diketahui:
⎥ U⎥ = 500
⎥ A⎥ = ⎣600/4⎦ – ⎣100/4⎦ = 150 – 25 = 125
⎥ B⎥ = ⎣600/5⎦ – ⎣100/5⎦ = 120 – 20 = 100
⎥ A ∩ B ⎥ = ⎣600/20⎦ – ⎣100/20⎦ = 30 – 5 = 25
yang ditanyakan ⎥ A ⊕ B ⎥ = ?
Hitung terlebih dahulu
⎥ A ⊕ B⎥ = ⎥ A⎥ + ⎥ B⎥ – 2⎥ A ∩ B ⎥ = 125 + 100 – 50 = 175
untuk mendapatkan
⎥ A ⊕ B ⎥ = U –⎥ A ⊕ B⎥ = 500 – 175 = 325
15
`
Dari survei terhadap 270 orang didapatkan
hasil sbb.:
x
x
x
x
x
x
x
`
64
94
58
26
28
22
14
suka
suka
suka
suka
suka
suka
suka
brussels sprouts,
broccoli,
cauliflower,
brussels sprouts dan broccoli,
brussels sprouts dan cauliflower,
broccoli dan cauliflower,
ketiga jenis sayur tersebut.
Berapa orang tidak suka makan semua jenis
sayur yang disebutkan di atas ?
`
`
`
`
`
`
A = {orang yang suka brussels sprouts }
B = {orang yang suka broccoli }
C = {orang yang suka cauliflower }
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A
∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154
Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis
sayur tersebut ada sebanyak 270 – 154 =
116 orang
brussels sprouts
broccoli
64 suka brussels
sprouts,
94 suka broccoli,
58 suka cauliflower,
b
c
a
e
f
d
g
26 suka brussels
sprouts
& broccoli,
28 suka brussels
sprouts
&
cauliflower,
22 suka broccoli
&
cauliflower,
14 suka ketiga jenis
sayur tsb
cauliflower
brussels sprouts
a = 24
broccoli
b = 12
c = 60
e = 14
f=8
d = 14
64 suka brussels sprouts,
94 suka broccoli,
58 suka cauliflower,
26 suka brussels sprouts
& broccoli,
28 suka brussels sprouts
& cauliflower,
22 suka broccoli
& cauliflower,
14 suka ketiga jenis sayur
tsb
a + b + d + e = 64
b + c + e + f = 94
g = 22
cauliflower
d + e + f + g = 58
b + e = 26
d + e = 28
e + f = 22
yang tidak suka sayur = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116
e = 14