2. limit - Staffsite STIMATA

2. LIMIT
1. Limit Barisan
Bilangan-bilangan c1, c2, c3, ..., cn disebut barisan bilangan tak hingga. Cn
disebut suku umum dari barisan dan merupakan fungsi dari n atau c n = f(n).
Bilangan n (n = 1, 2, 3, ...) adalah nomor urut atau indeks yang
menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.
Contoh :
a) Barisan 1,
suku umumnya adalah Cn =
Barisannya adalah {Cn} = { }
b) Barisan 1,
suku umumnya adalah Cn =
Barisannya adalah {Cn} = { }
Suatu barisan disebut konvergen jika barisan itu mempunyai limit dan
dalam hal lain disebut divergen. Jika barisan konvergen maka limitnya
tunggal (unik).
Contoh :
a)
Barisan {Cn} = {
} konvergen
⁄
b)
Barisan tersebut divergen
Limit yang tak sebenarnya :
1. Kalau
, dikatakan juga bahwa barisan mempunyai limit
tak sebenarnya
Contoh :
{Cn} = {
} divergen karena
2. Kalau
, dikatakan juga bahwa barisan mempunyai limit
tak sebenarnya
Contoh :
+ mulai n =2 berlaku Cn<0, n2 lebih mendekati
{Cn} = *
(
daripada 2n. Ditulis
)
3. {Cn} divergen jika {Cn} dikatakan mempunyai limit tak sebenarnya atau
tidak mempunyai limit sama sekali.
Contoh :
{Cn} = *(
) +
={
Atau : -1, 1, -1, 1, ...
Barisan ini tidak mempunyai limit sama sekali
Sifat-sifat limit barisan :
Bila
dan
(
1)
, maka :
)
, bila k sebarang bilangan riil
(
2)
)
(
)(
)
3)
Bila semua suku Cn ≠ 0 dan l ≠ 0
(
4)
)
Bila semua suku Cn ≠ 0 dan l ≠ 0
(
5)
)
(
)
Untuk sebarang p bilangan riil dan
ada
Untuk sebarang p bilangan riil dan
ada
6)
Contoh :
1.
1 + 2 + 3 + ... + n = ½ n (1 + n)
(
(
2.
)(
)
)
Dengan menggunakan perluasan sifat (2), maka :
( )
( )
= 1 . 1 . 1 ... 0 . 0 . 0 = 0
√
3.
√
√
√
√
√
Barisan-barisan yang istimewa :
1. * +
{√ }
{
2. * +
{√ }
{
3. * +
{√ ( )
} , a bilangan positif;
}
√ ( )}
{√ ( )
Berlaku
4. * +
*
√ ( ) √ ( )
√ ( )} √
+
(
(
* +
5. * +
{(
) }
*
+
{(
)
)
}
)
Contoh :
1.
( ) √ ( )
√
√
√
)
)
2.
(√
√
)
√
(√
(√
(√
)
(√
)
)
√
√
)
√
√
√
√
(√
(√
)
√
)
√
√
√
√
(√
3.
(
)
√
(
)
)
(
(
(
)
)
(
)
(
(
(
Latihan soal :
1.
(
2.
(
3.
4.
5.
6.
)
)
(
)
)
)
)
)
7.
(√
8.
(
)
√
)
9.
√
√
10.
√
2. Limit Fungsi
Sifat-sifat limit fungsi :
( )
Bila
( )
dan
, a sebarang bilangan riil, boleh -
∞ , +∞ maka :
( )
( )
1.
2.
( ( )
3.
( )
( )
4.
( )
(
5.
( ))
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
7.
√ ( )
8.
( )
( )
√
√
√
( )
( )
9.
)
( ))
( )
6.
(
( )
Contoh :
1.
( )
2.
Dapat disederhanakan (karena mempunyai faktor yang sama (x – 2))
(
3.
4.
(
)
)(
)
(
)
5.
(
)(
)
(
)(
)
Beberapa limit fungsi yang istimewa :
1.
2.
(
3.
4.
(
)
)
(
5.
)
6.
7.
| ( |)
( )
8. Jika
(
)
( ) ( )
(
)
9.
10.
11.
Contoh :
1.
2.
(
=2
3.
(
)
(
)
2.
3.
(
)( )
)
(
*(
Latihan soal :
1.
(
)
) +
)
*
(
) +
4.
√
5.
6.
(
7.
8.
)
√
(
)
9.
10.
11.
(
)
(
)
12.
13.
(
)