MA5031 Bab 3.1 Teori Limit

MA5031 Analisis Real Lanjut
Semester I, Tahun 2015/2016
Hendra Gunawan
3. Topologi Garis Bilangan Real
3.1 Teori Limit
– Limit, supremum, dan infimum
– Titik limit
3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup
3.3 Himpunan Kompak
(c) Hendra Gunawan (2015)
2
3.1 Teori Limit
Pada bab ini kita akan mendalami sifat-sifat
bilangan real, barisan bilangan real, dan
himpunan bilangan real tertentu.
Sejak sekarang, kita dapat menganggap sistem
bilangan real sebagai suatu garis bilangan real.
Yang menjadi fokus kita adalah sifat-sifat geometris kualititatif, alias sifat-sifat topologi pada
garis bilangan real (yang kelak muncul lagi dalam
pembahasan ruang metrik).
(c) Hendra Gunawan (2015)
3
Limit
Barisan bilangan real (xk) dikatakan konvergen
ke x apabila untuk setiap bilangan asli n terdapat
m sedemikian sehingga |xk – x| < 1/n untuk
setiap k ≥ m.
Bilangan x disebut sebagai limit barisan (xk) dan
ditulis x = lim xk.
Jika (xk) konvergen, maka limitnya tunggal!
(c) Hendra Gunawan (2015)
4
Untuk setiap bilangan asli n, ketaksamaan
|xk – x| < 1/n berarti bahwa xk berada dalam
interval buka (x – 1/n, x + 1/n), yg berpusat
di x dan “berjari-jari” 1/n.
Perhatikan bahwa interval-interval buka ini
mengecil dan “bersarang”.
“Ekor” barisan (xk) yang konvergen x pada
akhirnya akan “tertangkap” dalam setiap
interval buka tersebut.
(c) Hendra Gunawan (2015)
5
Limit Tak Hingga (1)
Tidak semua barisan konvergen. Di antara
barisan yang divergen, barisan (xk) yang membesar tak terbatas menarik untuk dibahas.
Kita tuliskan lim xk = +∞ apabila untuk setiap
bilangan bulat n terdapat m sedemikian
sehingga xk > n untuk setiap k ≥ m.
Bila interval buka (x – 1/n, x + 1/n) disebut
sebagai lingkungan dari x, interval (n, +∞) =
{x : x > n} disebut lingkungan dari +∞.
(c) Hendra Gunawan (2015)
6
Limit Tak Hingga (2)
Kita tuliskan lim xk = –∞ apabila untuk setiap
bilangan bulat n terdapat m sedemikian
sehingga xk < n untuk setiap k ≥ m.
Interval (–∞, n) = {x : x < n} disebut lingkungan
dari –∞.
Kadang ada untungnya menganggap +∞ dan
–∞ sebagai bilangan, yang dengan seluruh
bilangan real membentuk sistem bilangan real
yang diperluas.
(c) Hendra Gunawan (2015)
7
Keterbatasan
Ketika kita mengamati apakah sebuah barisan
konvergen atau tidak, kadang kita selidiki
terlebih dahulu bagaimana suku-suku barisan
tersebut tersebar; apakah barisan tersebut
terbatas atau tidak. (Ingat bahwa keterbatasan
merupakan syarat perlu bagi kekonvergenan.)
Konsep keterbatasan tidak hanya didefinisikan
pada barisan, tetapi juga pada himpunan
bilangan real sembarang.
(c) Hendra Gunawan (2015)
8
Supremum dan Infimum (1)
Jika E adalah himpunan sejumlah terhingga
bilangan real, kita definisikan supremum dan
infimum E, ditulis sup E dan inf E, sebagai
bilangan terbesar dan bilangan terkecil di E,
berturut-turut.
Namun jika E adalah himpunan tak terhingga
bilangan real, bilangan terbesar atau bilangan
terkecil di E belum tentu ada. Sebagai contoh,
himpunan bilangan real positif tidak mempunyai
bilangan terbesar maupun bilangan terkecil.
(c) Hendra Gunawan (2015)
9
Supremum dan Infimum (2)
Walau demikian, bila kita bayangkan himpunan
E pada garis bilangan real, mestilah terdapat
titik paling kiri dan titik paling kanan (mungkin
–∞ atau +∞) yang berkenaan dengan di mana
anggota E berada. Kedua titik ini belum tentu
merupakan anggota E; mereka itulah yang kita
sebut sebagai inf E dan sup E.
Bagaimana persisnya kita mendefinisikan sup E
dan inf E, khususnya untuk himpunan E yang tak
kosong? (Selanjutnya E diasumsikan tak kosong.)
(c) Hendra Gunawan (2015)
10
Himpunan Terbatas di Atas & Supremum
Def. Himpunan tak kosong E dikatakan terbatas di
atas apabila terdapat bilangan real y sedemikian
sehingga x ≤ y untuk setiap x ϵ E. Bilangan y dalam
hal ini disebut sebagai batas atas dari E.
Catatan. Tidak semua himpunan terbatas di atas.
Sebagai contoh, himpunan bilangan asli tidak
terbatas di atas.
Def. Jika E terbatas di atas, maka sup E didefinisikan
sebagai batas atas terkecil. Jika E tak terbatas di
atas, kita definisikan sup E = +∞.
(c) Hendra Gunawan (2015)
11
Eksistensi Supremum (1)
Berikut adalah alasan mengapa batas atas
terkecil itu ada. Mulai dengan suatu batas atas,
sebutlah y1, kita pilih batas atas yang lebih kecil
daripadanya, sebutlah y2, sebagai berikut.
Pilih x1 ϵ E dan tinjau titik tengah antara x1 dan
y1, yaitu (x1 + y1)/2. Jika ia merupakan batas atas
E, kita tetapkan x2 = x1 dan y2 = (x1 + y1)/2; jika
bukan, berarti terdapat x2 ϵ E sedemikian
sehingga (x1 + y1)/2 < x2 dan dalam hal ini kita
tetapkan y2 = y1. [Ilustrasi di papan tulis!]
(c) Hendra Gunawan (2015)
12
Eksistensi Supremum (2)
Dengan langkah ini kita telah mengganti
pasangan awal x1 dan y1 dengan pasangan baru
x2 dan y2. Di sini x2 ϵ E dan y2 batas atas dari E.
Perhatikan juga bahwa x1 ≤ x2 dan y1 ≥ y2, serta
|x2 – y2| ≤ |x1 – y1|/2.
Ulangi langkah ini sehingga kita peroleh barisan
naik (xk) di E dan barisan turun (yk) yang sukusukunya merupakan batas atas E, dengan
|xk – yk| ≤ |x1 – y1|/2k utk setiap k = 1, 2, 3, … .
(c) Hendra Gunawan (2015)
13
Eksistensi Supremum (3)
Kedua barisan (xk) dan (yk) merupakan barisan
Cauchy yang ekuivalen, dan karenanya mereka
konvergen ke limit yang sama!
Misalkan lim yk = y. Maka dapat diperiksa bahwa:
1. y merupakan batas atas dari E.
2. Jika y’ adalah batas atas dari E, maka y ≤ y’.
(Jadi, y merupakan batas atas terkecil dari E.)
(c) Hendra Gunawan (2015)
14
Eksistensi Supremum (4)
Teorema. Untuk setiap himpunan tak kosong E
yang terbatas di atas terdapat tepat satu
bilangan real sup E dengan sifat:
1. sup E merupakan batas atas dari E.
2. Jika y adalah batas atas dari E, maka y ≥ sup E.
Ide Pembuktian. Bilangan y = sup E diperoleh
dengan cara yang dijelaskan sebelumnya. Anda
tinggal memeriksa dua sifat tersebut di atas (sila
lakukan sebagai latihan).
(c) Hendra Gunawan (2015)
15
Titik Limit (dari Barisan)
Infimum dan supremum memberi tahu kita
interval terkecil yang memuat suku-suku suatu
barisan. Selanjutnya kita ingin tahu di mana
suku-suku barisan tersebut “berkumpul”.
Sebagai contoh, suku-suku barisan 3/2, -3/2,
4/3, -4/3, 5/4, -5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, …
berkumpul di sekitar 1 dan -1. Barisan ini tidak
konvergen, tetapi kita melihat ada dua titik yang
menarik pada barisan ini, yaitu 1 dan -1.
(c) Hendra Gunawan (2015)
16
Def. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real.
Bilangan real x disebut titik limit atau titik
akumulasi dari (xk) apabila untuk setiap bilangan
asli n terdapat tak terhingga banyak xk yang
memenuhi |xk – x| < 1/n.
Jika terdapat tak terhingga xk dengan xk > n, maka
+∞ dinobatkan sebagai titik limit dari (xk).
Catatan. 1. Dapat diperiksa bahwa x merupakan
titik limit dari (xk) apabila untuk setiap bilangan asli
n dan m, terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n.
2. Dapat diperiksa bahwa +∞ merupakan titik limit
dari (xk) apabila (xk) tak terbatas di atas.
(c) Hendra Gunawan (2015)
17
Latihan
1. Buktikan bahwa barisan 1, -1, 1, -1, 1, -1, …
hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1.
2. Buktikan bahwa barisan 3/2, -3/2, 4/3, -4/3, 5/4,
-5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, … hanya mempunyai
dua titik limit, yaitu 1 dan -1.
3. Buktikan bahwa x merupakan titik limit dari (xk)
apabila untuk setiap bilangan asli n dan m,
terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n.
4. Buktikan jika (xk) konvergen ke x, maka x merupakan satu-satunya titik akumulasi dari (xk).
(c) Hendra Gunawan (2015)
18
Sub-barisan
Diberikan sebuah barisan (xk), kita dapat memperoleh suatu sub-barisan dari (xk) dengan
mencoret sejumlah (mungkin tak terhingga)
suku-sukunya.
Sebagai contoh, dengan mencoret suku-suku
berindeks ganjil, kita peroleh sub-barisan (x2j).
Iseng: Ada berapa banyak cara memperoleh subbarisan dari suatu barisan?
(c) Hendra Gunawan (2015)
19
Teorema. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real
sembarang. Suatu bilangan real (atau bilangan real
yang diperluas) x merupakan titik limit dari (xk) jika
dan hanya jika terdapat sub-barisan (xk’) sedemikian
sehingga lim xk’ = x.
Bukti. Jika terdapat sub-barisan (xk’) dgn lim xk’ = x,
maka utk setiap bilangan asli n terdapat m sedemikian sehingga |xk’ – x| < 1/n untuk setiap k ≥ m.
Dengan demikian terdapat tak terhingga suku xk
yang memenuhi |xk – x| < 1/n, karena suku barisan
(xk’) berasal dari (xk). Jadi x merupakan titik limit
dari (xk).
(c) Hendra Gunawan (2015)
20
Bukti (lanjutan). Sebaliknya, misalkan x merupakan titik limit dari (xk). Pilih x1’ sedemikian
sehingga |x1’ – x| < 1. Setelah itu, pilih x2’
dengan indeks lebih besar daripada indeks x1’
sedemikian sehingga |x2’ – x| < ½. Demikian
seterusnya, setelah x1’, … , xk’, kita pilih xk+1’
dengan indeks lebih besar daripada indeks xk’
sedemikian sehingga |xk+1’ – x| < 1/(k+1).
Dengan cara ini kita peroleh sub-barisan (xk’)
yang konvergen ke x. [QED]
(c) Hendra Gunawan (2015)
21
Catatan
Himpunan titik limit dari suatu barisan bisa sangat
rumit. Barisan sederhana seperti 1, -1, 1, -1, 1, -1, …
hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1.
Namun sekarang tengok barisan (xk) di mana setiap
bilangan rasional muncul tak terhingga kali.
[Ilustrasi di papan tulis.] Setiap bilangan real akan
menjadi titik limit dari barisan ini: Jika x adalah
bilangan real, maka x merupakan limit dari suatu
barisan bilangan rasional Cauchy yang merupakan
sub-barisan dari (xk).
(c) Hendra Gunawan (2015)
22
Titik Limit Barisan Konvergen
Teorema. Jika (xk) konvergen ke x, maka (xk)
hanya mempunyai sebuah titik limit, yaitu x.
Sebaliknya, jika (xk) hanya mempunyai sebuah
titik limit (termasuk +∞ dan -∞), maka (xk)
konvergen (atau menuju +∞ atau -∞).
Bagian pertama mudah dibuktikan. Untuk
kebalikannya, kita perlu mendefinisikan limsup
dan liminf terlebih dahulu.
(c) Hendra Gunawan (2015)
23
Limsup dan Liminf (1)
Diberikan barisan (xk), kita ingin mencari titik
limit terbesar dan titik limit terkecil. Untuk itu,
mulai dengan sup {xk : k ≥ 1}. Selanjutnya
(dengan alasan yang dijelaskan di kelas), kita
tinjau sup {xk : k ≥ 2}, sup {xk : k ≥ 3}, dan
seterusnya. Dalam hal ini kita peroleh barisan
bilangan yang monoton turun, dan karena itu
mempunyai limit (mungkin -∞).
Def. limsupk->∞ xk := limm->∞ sup {xk : k ≥ m}.
(c) Hendra Gunawan (2015)
24
Limsup dan Liminf (2)
Fakta 1. limsup xk merupakan titik limit dari (xk).
Fakta 2. limsup xk merupakan supremum dari
himpunan titik limit dari (xk).
Serupa dgn itu, jika kita definisikan liminfk->∞ xk
:= limm->∞ inf {xk : k ≥ m}, maka kita dapat membuktikan bahwa liminf xk merupakan titik limit
dari (xk) dan infimum dari himpunan titik limit
dari (xk).
(c) Hendra Gunawan (2015)
25
Teorema sebelumnya menyatakan: jika (xk)
hanya mempunyai sebuah titik limit, sebutlah x,
maka (xk) mestilah konvergen ke x.
Bukti. Tinjau kasus x terhingga. Mengingat
limsup xk = liminf xk = x, kita mempunyai dua
barisan yang konvergen ke x, yaitu (ym) dan (zm)
dgn ym = sup {xk : k ≥ m} dan zm = inf {xk : k ≥ m},
dan zm ≤ xk ≤ ym untuk k ≥ m. Dengan memilih m
cukup besar sedemikian sehingga |zm – x| < 1/n
dan |ym – x| < 1/n, kita peroleh|xk – x| < 1/n
untuk k ≥ m. Ini membuktikan bahwa (xk)
konvergen ke x. [QED]
(c) Hendra Gunawan (2015)
26
Latihan
1. Tentukan sup, inf, limsup, liminf, dan semua titik
limit dari barisan berikut:
a. ((-1)k)
b. ((-1)k/k)
2. Diketahui barisan (xk) terbatas dan suku-sukunya
dapat dituliskan sebagai xk = yk + zk dengan (yk)
monoton naik dan (zk) monoton turun. Apakah
(xk) konvergen? Bagaimana jika (yk) dan (zk)
terbatas?
3. Konstruksi sebuah barisan yang titik-titik limitnya persis sama dengan himpunan semua
bilangan bulat.
4. Apakah ada barisan yang titik-titik limitnya
persis sama dengan 1, ½, 1/3, … ?
(c) Hendra Gunawan (2015)
27