Metode Kaczmars untuk menyelesaikan sistem

III. METODE
Karya ilmiah ini disusun melalui tiga
tahap. Pertama, dilakukan studi pustaka
mengenai metode Kaczmarz, kekonvergenan
penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh
metode Kaczmarz, serta konsep-konsep yang
mendasarinya.
Kedua,
dilakukan
implementasi algoritme untuk metode
Kaczmarz
dengan
membuat
program
MATLAB
secara
sekuensial.
Ketiga,
dilakukan pengujian terhadap program
MATLAB tersebut dan pengamatan terhadap
kekonvergenan penyelesaian hampiran yang
diperoleh melalui program MATLAB
tersebut.
membutuhkan pernyataan (proposisi, lema,
teorema, dan akibat) lain. Alur pembuktian
disajikan pada Gambar 1 berikut.
Proposisi 4.2.1
Proposisi 4.2.2
Lema 4.2.3
Akibat 4.2.4
Akibat 4.2.5
Teorema 4.2.6
Teorema 4.2.7
3.1. Studi Pustaka
Teorema 4.2.8
Studi diawali dengan mengkaji metode
Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan
dalam mengkajinya adalah buku Anton dan
Rorres (2005) yang berjudul “Elementary
Linear Algebra”. Konsep-konsep dasar yang
diperlukan
untuk
memahami
metode
Kaczmarz adalah persamaan linear, sistem
persamaan linear, transpos dari suatu matriks,
hasil kali skalar dari dua vektor, norm dari
suatu vektor, serta rumus proyeksi ortogonal.
Studi dilanjutkan dengan mengkaji
kekonvergenan penyelesaian hampiran yang
diperoleh dari algoritme untuk metode
Kaczmarz. Literatur utama yang digunakan
adalah artikel Tanabe (1971) yang berjudul
“Projection Method for Solving a Singular
System of Linear Equation and Its
Applications”. Selain konsep-konsep dasar
yang telah disebutkan untuk memahami
metode Kaczmaz, diperlukan beberapa konsep
dasar tambahan pula untuk membuktikan
kekonvergenan ini. Konsep-konsep tersebut
adalah kekonsistenan dari suatu SPL, matriks
identitas, invers dari suatu matriks, ruang
vektor dan ruang bagian, transformasi matriks,
kesamaan transformasi matriks, kernel dan
image dari suatu transformasi matriks, norm
dari suatu matriks, proyeksi vektor,
ortogonalitas, ruang bagian ortogonal,
komplemen ortogonal, jumlah langsung,
proyeksi ortogonal pada ruang bagian,
masalah kuadrat terkecil, kekonvergenan
barisan vektor, kekonvergenan deret vektor
takhingga, deret Neumann, serta beberapa
lema dan teorema yang terkait.
Pernyataan kekonvergenan penyelesaian
hampiran yang dihasilkan oleh metode
Kaczmarz ini disajikan dalam bentuk suatu
teorema.
Pembuktian
teorema
ini
Gambar 1 Alur pembuktian kekonvergenan
penyelesaian
hampiran
yang
dihasilkan oleh metode Kaczmarz.
3.2. Implementasi
Implementasi
metode
Kaczmarz
dilakukan menggunakan MATLAB versi
R2008b yang terdapat di laboratorium
komputer Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Institut Pertanian Bogor. Algoritme untuk
metode Kaczmarz dikonversi ke dalam bentuk
program yang ditulis pada m-file.
3.3. Pengujian dan Pengamatan
Pengujian dilakukan untuk menunjukkan
bahwa program MATLAB yang telah dibuat
dapat berjalan dengan benar. Pengamatan
dilakukan bersamaan dengan pengujian. Hal
yang
diamati
adalah
kekonvergenan
penyelesaian hampiran yang dihasilkan
melalui program MATLAB yang telah dibuat.
Kekonvergenan dilihat dari norm sisaan dari
penyelesaian hampiran tersebut.
Pengujian dan pengamatan dilakukan
menggunakan tiga sistem persamaan linear
yang
matriks
koefisien
dan
vektor
konstantanya dibangkitkan dengan cara yang
berbeda-beda. Pembangkitan ini dilakukan
dengan
menggunakan
tiga
program
pembangkit matriks koefisien dan vektor
konstanta dari suatu sistem persamaan linear
yang terdapat pada “Regularization Tools: A
MATLAB Package for Analysis and Solution
of Discrete Ill-Posed Problems” karya Hansen
(1994).