Manajemen Sains Pertemuan 2

Linear Programming
MINGGU II
Linear Programming
 Tujuan dari bisnis umumnya adalah untuk
memaksimalkan keuntungan atau
meminimalkan cost (biaya)
 Linear Programming adalah model yang
berisi hubungan linear yang menggambarkan
keputusan perusahaan yang memberikan
tujuan dan batasan sumber daya.
Model Formulation
 Decision variable adalah simbol matematika
yang menggambarkan level aktivitas.
 Objective function adalah hubungan relasi
yang merefleksikan tujuan operasi
 Constraint adalah hubungan linear yang
menggambarkan batasan dalam
pengambilan keputusan
 Model Linear programming berisi decision
variable, objective function dan constraint.
Kebutuhan sumber daya 2 produk untuk produksi
dan profit per item yang diproduksi
Resource Requirements
Product
Pekerja
Clay
Profit
(HR/UNIT)
(LB/UNIT)
($/UNIT)
Mangkok
1
4
40
Mug
2
3
50
Objective Function
 Tujuan perusahaan untuk memaksimalkan
total profit.
 Keuntungan perusahaan adalah jumlah dari
keuntungan dari masing-masing mangkok
dan mug.
 Profit dari mangkok yang ditentukan oleh
perkalian keuntungan unit dengan $40 (x1)
dan perkalian keuntungan unit mug dengan
$50 (x2)
Objective Function
 Jadi total profit Z, dapat diekspresikan
dengan model matematika sebagai $40x1 +
50x2


Maximize Z = $40x1 + 50x2
Dimana



Z = Total Profit per hari
$40x1 = keuntungan mangkok
50x2 = keuntungan mug
Decision Variable
 X1 = jumlah mangkok yang diproduksi
 X2 = jumlah mug yang diproduksi
Model Constraint
 Dalam masalah ini 2 sumber daya diigunakan yaitu labor
dan clay dimana keduanya dibatasi.
 Untuk masing-masing mangkok, dibutuhkan 1 jam
tenaga kerja (1x1 jam)
 Masing-masing mug dibutuhkan 2 jam kerja (2x2 jam).
Total tenaga yng dibutukan untuk perusahaan untuk
menghasilkan masing-masing produk =


1x1 + 2x2
Karena dibatasi hanya 40 jam/hari, maka persamaan
menjadi 1x1 + 2x2 ≤ 40 jam
 Untuk clay diformulasikan sama dengan labor, yaitu
 4x1 + 3x2 ≤ 120 lb (dibatasi 120 pound/hari)
Non negative constraint
 Membatasi decision variable bernilai 0 atau
positive, dimana x1≥0, x2≥0
 Model linear programming yang lengkap
menjadi sbb:





Maximize Z = $40x1 + 50x2
Subject to
1x1 + 2x2 ≤ 40
4x1 + 3x2 ≤ 120
x1≥0, x2≥0
 Solusi untuk model ini akan menghasilkan nilai x1 dan








x2 dengan maksimum profit Z.
Satu solusi yang mungkin, beri nilai x1=5 mangkok dan
x2=10 mug.
Substitusikan kedalam persamaan1x1 + 2x2 ≤ 40
1(5) + 2(10) ≤ 40
25 ≤ 40
Dan 4x1 + 3x2 ≤ 120
4(5) + 3(10) ≤120
50 ≤ 120
Bila dimasukkan kedalam
Z = $40x1 + 50x2, , maka didapatkan
Z= 40(5) + 50(10) = $700.
Tetapi kita tidak tahu apakah $700 adalah maksimum
Cobalah dengan nilai x1=10, x2=20, didapat Z=$1400,
tetapi infeasible solution karena 1(10) + 2(20) ≤ 40
Solusi dengan Grafik






Maximize Z = $40x1 + 50x2
Subject to
1x1 + 2x2 ≤ 40
4x1 + 3x2 ≤ 120
x1≥0, x2≥0
Dimana x1=jumlah mangkok yang diproduksi
x2=jumlah mug yang diproduksi
Solusi dengan grafik
 Pikirkan x1 + 2x2 = 40, bila x1=0, maka
x2=20
Bila x2=0, maka x1=40
 Jadi gambar persamaan diatas adalah
x1
Bila kita ambil x1=10 dan x2=10,
dihasilkan 30, dimana 30 ≤ 40
adalah benar
40
30
20
Maka x1 + 2x2 ≤ 40
10
10 20 30 40
x1
Dilakukan hal yang sama untuk persamaan 4x1 + 3x2 ≤ 120
Untuk X1 = 0, didapatkan 3x2=120, maka x2=40
Untuk X2 = 0, didapatkan 4x1=120, maka x1=30
Sehingga dapat digambarkan grafiknya adalah
x1
Bila kita ambil x1=10 dan x2=10,
dihasilkan 70, dimana 70 ≤ 120
adalah benar
40
30
20
Maka 4x1 + 3x2 ≤ 120
10
10 20 30 40
x1
Grafik Gabungan
x1
Karena x1=10 dan x2=10, memenuhi
ke-2 persamaan yaitu x1 + 2x2 ≤ 40 dan
40
30
T
S
20
10
4x1+3x2 ≤ 120, maka daerahnya yang
memenuhi adalah seperti yang
ditunjukkan panah.
R
10 20 30 40
x1
Untuk mengetes daerah yang memenuhi, sebaiknya dites
harga untuk 3 daerah R, S, T
Batasan solusi yang mungkin
x1
40
4x1 + 3x2 ≤ 120
30
S
T
20
10
R
x1 + 2x2 ≤ 40
10 20 30 40
x1
Garis fungsi obyektif $800
x1
40
800=40x1+50x2
30
Bila diinginkan menghasilkan
profit $800 dari penjualan 40
mangkok dan 50 mug
800=40x1+50x2
20
10
10 20 30 40
x1
Alternatif garis fungsi objective untuk
$800, $1200 dan $1600
x1
40
800=40x1+50x2
30
20
10
1200=40x1+50x2
1600=40x1+50x2
10 20 30 40
x1
Optimal Solution
x1
Optiomal solution adalah solusi
yang mungkin dan terbaik
40
30
20
Optimal Point
10
10 20 30 40
x1
Optimal Solution
 Optimal Solution adalah poin terakhir fungsi
objective yang menyentuh optimum area
solusi yang layak.
 Constraint equation diselesaikan secara
simultan pada extreme point yang optimal
untuk menentukan nilai-nilai solusi variabel.