x + 3

Bab 6
6.1
Kalkulus
Kalkulus Pembezaan
Kalkulus merupakan salah satu bidang matematik yang melibatkan pengiraan
atau perhitungan kuantiti-kuantiuti yang tidak diskrit. Ia mengandungi pembezaan dan
pengamilan yang menggunakan algebra dan geometri koordinat.
Kalkulus Pembezaan pula melibatkan penentuan kadar perubahan.
6.1.1
Definisi
(a) Pembolehubah dan Pemalar
Di dalam ungkapan-ungkapan algebra, kita menggunakan huruf-huruf
dan simbol-simbol untuk mewakilkan kuantiti-kuantiti atau nombornombor.
Huruf-huruf
dan
simbol-simbol
tersebut
mengambarkan
pembolehubah atau pemalar.
Pemalar ialah suatu nombor atau kuantiti di mana nilainya adalah tetap
manakala pembolehubah ialah suatu nombor atau kuantiti fizikal di mana
nilainya berubah.
Contoh 1 :
Formula luas bagi bulatan ialah j2 dan katakan simbol bagi luas bulatan
ialah L. Nyatakan kuantiti manakah ialah pemalar dan pembolehubah.
Penyelesaian :
Pemalar
:
Pembolehubah :

L dan j
(b) Fungsi
Fungsi ialah satu hubungan antara setiap unsur dengan satu unsur yang
unik.
Contoh 2 :
Jika f ( x ) = 3x2 + 2x - 10
dapatkan nilai f ( 3 ) dan f ( - 2 ).
46
Penyelesaian :
f ( x ) = 3x2 + 2x - 10
f ( 3 ) = 3x2 + 2x - 10
6.1.2
f ( - 2 ) = 3x2 + 2x - 10
= 3 ( 3 )2 + 2 ( 3 ) - 10
= 3 ( - 2 )2 + 2 ( - 2 ) - 10
= 27 + 6 - 10
= 12 - 4 - 10
= 23
= -2
Had ( Limit )
Suatu fungsi bagi x mungkin tidak mempunyai nilai apabila x = a.
Namun begitu mungkin juga ia akan menghampiri suatu nilai apabila x
menghampiri a, di mana a diandaikan sebagai suatu nilai tertentu bagi x.
Katakan,
y = x2 + 9
x - 3
Apabila x = 3
Maka
y = 9 - 9 = 0
3 - 3 = 0
Ini adalah tidak bermakna kerana nilai 0/0 =  ; adalah tak tentu
Namun begitu, y menghampiri suatu nilai apabila x menghampiri 3.
Apabila x menghampiri 3 ( x  3 )
y = x2 - 32
= (x–3)(x+3)
(x–3)
= x + 3
= 3 + 3
= 6
Ini bermakna y akan menghampiri nilai 6 jika x menghampiri 3.
Katakan kita ambilkan nilai x yang menghampiri nilai 3
Jika
x = 3.1
maka y = 6.1
Jika
x = 3.01
maka y = 6.01
Jika
x = 3.001
maka y = 6.001
dan seterusnya, y menghampiri 6 jika x menghampiri 3. Dalam kes ini, kita
nyatakan bahawa nilai y adalah tak tentu jika x = 3, tetapi y menghampiri nilai
6 jika x menghampiri 3.
47
Katakan y ialah suatu fungsi di mana nilainya tak tentu jika x = a.
Namun begitu y akan menghampiri suatu nilai, katakan m, jika x menghampiri
a. Untuk kes ini kita katakan bahawa y menghampiri had (limit) m apabila x
menghampiri a. Secara ringkasnya ditulis :
y  m apabila x  a
atau
Had ( y ) = m
xa
Ini boleh dibaca sebagai ‘had bagi y apabila x menghampiri a, ialah m.’
Contoh 3 :
Dapatkan had bagi x3 - 3x2 apabila x  3.
x2 - 9
Penyelesaian :
Katakan :
y
= x3 - 3x2
x2 - 9
Apabila x = 3
y
= 27 - 27 = 0 = 
9 - 9
0
Apabila x  3, ( x  3 )
y
= x3 - 3x2
x2 - 9
=
=
had ( y ) =
=
=
had bagi y =
x2 ( x – 3 )
(x–3)(x+3)
x2 ( x  3 )
(x+3)
32
3 + 3
9
6
3
2
x2
, apabila x  3 ialah 3
(x+3)
2
48
6.1.3
Perubahan dan Pembolehubah
Apabila nilai suatu pembolehubah berubah daripada a ke b, perbezaan ( b – a )
disebut perubahan dalam pembolehubah. Di dalam kalkulus pembezaan, perubahan
dalam x di tulis sebagai x ( delta x ), perubahan dalam y, ditulis y, perubahan dalam
u, ditulis  u, perubahan dalam A, ditulis A dan seterusnya.
6.1.4
Pembezaan dari Prinsip Pertama
Kecerunan Garis Lengkung
Untuk suatu graf garis lurus, kecerunannya adalah tetap iaitu sama
pada sebarang titik di atas garis. Kecerunan untuk suatu graf lengkung adalah
berubah-ubah pada titik-titik yang berlainan. Katakan kita hendak mencari
kecerunan untuk garis lengkung y = x2 (lihat rajah dibawah)
y
B
y
A
x
0
x
Ambil satu titik A ( 1 , 1 ). Lukiskan garis AB yang memetong garis
lengkung di titik B. Lukiskan Ac selari dengan paksi-x, BC selari dengan
paksi-y. Katakan panjang AC ialah x dan CB ialah y.
Kecerunan untuk garis AB = tan  BAC
= y
x
Untuk fungsi y = x2, apabila x bertambah sebanyak x dan y bertambah
sebanyak y, kita perolehi
49
y + y
y
 x
y
x
=
( x + x )2
=
x2 + 2xx + ( x )2
=
x2 + 2xx + ( x )2 - y
=
x2 + 2xx + ( x )2 - x2
=
2xx + ( x )2
=
2x + x
{ diketahui y = x2}
Dari sini kita akan dapatkan nilai y/x untuk sebarang nilai x pada
sebarang titik di atas garis lengkung di mana nilai x diketahui. Jika x = 1,
(titik A) kita akan dapati keputusan berikut :
x
y = 2x + x
x
= 2.3
0.3
2 + 0.3
0.2
2 + 0.2
= 2.2
0.1
2 + 0.1
= 2.2
0.01
2 + 0.01
= 2.01
0.001
2 + 0.001
= 2.001
0.0001
2 + 0.0001
= 2.0001
Keputusan di atas, menunjukkan nilai kecerunan untuk AB apabila x
menuju ke kosong, dan B bergerak menuju A. Adalah jelas bahawa kecerunan
AB menuju ke nilai 2 apabila x menuju ke 0 iaitu
had
y =
x  0 x
2x
Pada titik x = 1,
had
y =
x  0 x
2
50
Kecerunan bagi suatu titik ( titik A untuk contoh di atas ) disebut
kecerunan garis tangen pada titik tersebut. Jadi untuk contoh di atas,
kecerunan untuk tangen pada lengkung y = x2 di titik A( 1 , 1 ) ialah 2
Kaedah untuk mencari kecerunan bagi lengkung y = x2 di titik
A(1,1) boleh digunakan untuk mencari kecerunan pada sebarang titik. Katakan
kita hendak mencari kecerunan untuk sebarang titik (x,y) pada lengkung
y = x2 ( lihat rajah dibawah )
y
y = f(x)
B
y
A
C
x
Oleh kerana B ( x + x , y +  y ) terletak di atas lengkung y = x2

=
( x + x )2
=
x2 + 2xx + ( x )2
y
=
2xx + ( x )2
 x, y
x
Ambilkan had x  0,
=
2x + x
=
2x

y + y
had
y
x  0 x
Kita gunakan simbol dy/dx ( dy per dx ) untuk menunjukkan had bagi
y
/x apabila x  0, iaitu :

had
y
x  0 x
=
dy
dx
=
2x
51
Proses untuk mendapatkan dy/dx disebut pembezaan dan proses
pembezaan dengan mengirakan betul-betul had y/x apabila x  o disebut
pembezaan dari prinsip pertama. Simbol dy/dx juga ditulis f’(x) atay Dy,
dan disebut pembezaan y terhadap x.
Contoh 4 :
Jika y = x3 , dapatkan dy/dx dari prinsip pertama
Penyelesaian :
Katakan x ialah tembahan dalam x dan y ialah tambahan dalam y

y + y
y
 x, y
x
had
y
x  0 x

=
( x + x )3
=
x3 + 3x2x + 3x( x )2 + (x)3
=
3x2x + 3x( x )2 + (x)3
=
3x2 + 3x x + (x)2
=
3x2
Jika kita perhatikan dari contoh-contoh yang telah diberikan, kita boleh
dapati keputusan adalah seperti berikut :
dy
y
/dx
x2
2x = 2x2 - 1
x3
3x2 = 3x3 - 1
Jadi kita boleh membuat kesimpulan bahawa jika
y = xn

dy = nxn - 1
dx
Petua di atas dapat dibuktikan.
52
Contoh 5 :
Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x
(a) y = x6
(b) y = 5
x2
Penyelesaian :
6.1.5
(a) y = x6
(b) y = 5 x - 2
 d ( x6 ) = 6x 6 – 1
dx
= 6x 5
 d (5 x - 2) = ( - 2 )5 x – 2 - 1
dx
= - 10 x – 3
= - 10
x3
Petua-petua Pembezaan
Setakat ini kita telah pelajari satu asas untuk pembezaan iaitu :
Jika

y = xn
dy = nxn - 1
dx
Kita akan pelajari petua-petua pembezaan yang selanjutnya.
(a) Fungsi Gubahan ( Hukum Rantai )
Katakan kita hendak bezakan y = u terhadap x di mana u ialah suatu
fungsi x. Anggapkan pertambahan dalam x yang melibatkan pertambahan
dalam u, u dan seterusnya y, y
y = y X u
x
u
x
Dengan menganggapkan x  0
had
y = had
y
x  0 x
x  0 u
X
iaitu,
dy = dy X du
dx
du
dx
53
had
u
x  0 x
Petua ini juga disebut petua rantai demi fungsi atau hukum rantai
Contoh 6 :
Bezakan fungsi y =  ( 3x – 6 ) terhadap x
Penyelesaian :
y =  ( 3x – 6 )
=
( 3x – 6 )1/2
Katakan u = ( 3x – 6 ) dan
Maka

du = 3
dx
y = u1/2
dy = ½ u - ½
du
dan
dy = dy X du
dx
du
dx
= ½ u -½ X 3
=
3
2  3x - 6
(b) Petua Hasil-Darab
Katakan suatu fungsi y = u X v di mana u dan v adalah masing-masing
suatu fungsi bagi x. Pertambahan dalam x yang menghasilkan pertambahan
dalam x yang menghasilkan pertambahan dalam u, u dan dalam v, v dan
seterusnya dalam y, y.
Jadi, dari
y
=
y + y =

uv
( u + u ) ( v + v )
=
uv + uv + vu + uv
y
=
uv + vu + uv
y
x
=
uv + vu + uv
x
x
x
Apabila x  0, u  0, v  0, Maka dengan mengambil had
dy
dx
=
u dy + v du
dx
dx
54
Contoh 7 :
Bezakan fungsi y = x3 ( 3x – 4 )4
Penyelesaian :
Katakan
dan
dy
dx
v = ( 3x – 4 )4
dv = 4 ( 3x – 4 )4 X 3 = 12( 3x – 4 )4
dx
du = 3x2
dx
Maka

u = x3
=
u dy + v du
dx
dx
=
x3 12 ( 3x – 4 )4 + ( 3x – 4 )4 3x2
=
12 x3 ( 3x – 4 )4 + 3 x3 ( 3x – 4 )4
=
3x2 ( 3x – 4 )3 [ 4x + ( 3x – 4 ) ]
=
3x2 ( 3x – 4 )3 ( 3x – 4 )
=
( 213 – 12x2 ) ( 3x – 4 )3
(c) Petua Hasil-Bahagi
Jika y = u/v di mana u dan v adalah masing-masing fungsi bagi x,
dengan cara yang sama :
y + y
y
=
=
=

y
=
u + u
v + v
u + u - u
v + v
v
v u - uv
v ( v + v )
v u - u v
x
x
v ( v + v )
mengambilkan had x  0 , u  0 , v  0 ,
maka

dy
dx
=
v du - u dv
dx
dx
v2
55
Contoh 8 :
Bezakan fungsi y = ( x3 – 4 ) terhadap x
( x2 + 3 )
Penyelesaian :
Katakan u = ( x3 – 4 ) dan
Maka
du = 3x2
dx
dy
dx
v = ( x2 + 3 )
dv = 2x
dx
=
=
v du - u dv
dx
dx
2
v
( x2 + 3 ) ( 3x2 ) - ( x3 - 4 ) ( 2x )
( x2 + 3 )2
=
( 3x4 + 9x2 ) - ( 2x4 - 8x )
( x2 + 3 )2
=
x4 + 9x2 + 8x
( x2 + 3 )2
(d) Fungsi Tersirat
Fungsi tersirat ialah fungsi di mana hubungan antara x dan y adalah tidak
jelas.
Misalnya
:
x2 + 4y2 = 3y dan
xy + 3x2
= 6
Untuk mendapatkan pembezaan fungsi-fungsi tersebut, caranya ialah
dengan membezakan setiap sebutan satu per satu dan mengaturkan semula
keputusan yang diperolehi.
Contoh 9 :
Dapatkan dy/dx untuk fungsi x2 - y2 + 3x = 5y2
Penyelesaian :
d ( x2 ) - d ( y2 )
dx
dx
2x
- 2y dy
dx
+ d ( 3x )
dx
+
3
56
=
=
d ( 5y2 )
dx
10y dy
dx
2x + 3
=
=

dy
dx
57
=
10y dy + 2y dy
dx
dx
12 y dy
dx
2x + 3
12y