Suku Banyak dan Teorema Faktor

Suku Banyak
Dan
Teorema Faktor
1
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
faktor, akar-akar
serta jumlah dan hasil kali
akar-akar
persamaan sukubanyak
2
Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika P(k) = 0
3
Artinya:
1.Jika (x – k) merupakan faktor,
maka nilai P(k) = 0
sebaliknya,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k)
merupakan faktor
4
Contoh 1:
Tunjukan (x + 1) faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
5
Cara lain untuk menunjukan
(x + 1) adalah faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan
pembagian horner:
1 4 2 -1
koefisien
Suku
banyak
-1
-1 -3 1 +
P(-1) = 0
3 -1 0
artinya dikali (-1)
berarti (x + 1)
faktornya
6
Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka
nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6, yaitu
7
pembagi bulat dari 6 ada 8
yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan
ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
=2–1–7+6
=0
8
Oleh karena P(1) = 0, maka
(x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain,
kita tentukan hasil bagi P(x)
oleh (x – 1) dengan
pembagian horner:
9
Koefisien sukubanyak
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
adalah
2 -1 -7 6
k=1
2 1 -6 +
2 1 -6 0

Koefisien hasil bagi
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6
10
Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah
(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
11
Contoh 3:
Diketahui (x – 2) adalah faktor
P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.
Salah satu faktor yang lainnya
adalah…. a. x + 3
b. x – 3
c. x – 1
d. 2x – 3
e. 2x + 3
12
Jawab:
Kita tentukan terlebih dahulu
koefisien x2 yaitu a = ?
Jika (x – 2) faktornya P(x) maka
P(2) = 0
 2.23 + 22 + 2a - 6 = 0
16 + 4 + 2a - 6 = 0
2a + 14 = 0
2a = -14  a = -7
13
P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6
berarti koefisien P(x) adalah
2 1 -7 -6
4 10 6 +
k=2
2
5
3 0

Koefisien hasil bagi
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3
= (2x + 3)(x + 1)
Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3
14
Contoh 4:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi
oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai
a + b adalah….
a. 5
b. 6
c. 7
d.8
e.9
15
Jawab:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0
1–a +b–2=0
-a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
16
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
- 8 – 4a – 2b – 2 = -36
- 4a – 2b = -36 + 10
-4a – 2b = -26
2a + b = 13….(2)
17
Persamaan (1): -a + b = 1
Persamaan (2): 2a + b = 13
-3a
= -12
a =4
b=1+4=5
Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9
18
Akar-akar Rasional
Persamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teorema
faktor adalah mencari akar-akar
sebuah persamaan sukubanyak,
karena ada hubungan antara
faktor dengan akar-akar
persamaan sukubanyak
19
Jika P(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar dari
persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol
dari persamaan sukubanyak:
P(x) = 0
20
Teorema Akar-akar Rasional
Jika
P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao
dan
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
maka
faktor bulat dari a 0
k
faktor bulat dari a n
21
Contoh 1:
Tunjukan -3 adalah salah satu
akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian
tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari
P(x), cukup kita tunjukan bahwa
P(-3) = 0
22
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6
=0
Oleh karena P(-3) = 0,
maka -3 adalah akar dari
Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0
23
Untuk menentukan
akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu
hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3
dengan pembagian Horner
sebagai berikut
24
P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah
1 0 -7 6
-3 9 -6 +
k = -3
1
-3 2 0
Koefisien hasil bagi
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2)
25
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak
tsb dapat ditulis menjadi
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain
adalah x = 1 dan x = 2
26
Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional
dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0
adalah….
a. 4
b. 3
c. 2
d.1
e.o
27
Jawab:
Karena persamaan sukubanyak
berderajat 4, maka akar-akar
rasionalnya paling banyak ada 4
yaitu faktor-faktor bulat dari 2.
Faktor-faktor bulat dari 2 adalah
1, -1, 2 dan -2
28
Dari 4 kemungkinan yang akan
menjadi akar-akar rasional
persamaan sukubanyak tsb,
kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0
adalah 1, 0, -3, 0, dan 6
29
1
k=1
1
0
1
1
-3 0 2
1 -2 -2 +
-2 -2 0
Ternyata P(1) = 0, berarti
1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2
30
1
k = -1
1
1 -2
-1 0
0 -2
-2
2 +
0
Ternyata P(-1) = 0, berarti
-1 adalah akar rasionalnya,
Sehingga:
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
31
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,
tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya
ada 2 yaitu 1 dan -1.
32
Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar
Persamaan Sukubanyak
33
Jika akar-akar
Persamaan Sukubanyak:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
adalah x1, x2, dan x3 maka
b
x3 = 
a
x1 + x2 +
c
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
a
d
x1.x2.x3 = 
a
34
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan
x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
b
x1 + x2 + x3 =  a
-3
= 1
=3
35
Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan
2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
d
x1.x2.x3 = 
=
a
-8

2
=4
36
Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2
Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….
37
Jawab:
-2 adalah akar persamaan
x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga:
(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
38
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0  4p = 12 p = 3
Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya:
b
x1 + x2 + x3 =  a
=
3

1
= -3
39
Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,
dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 =….
40
Jawab:
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1
41
x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14
42
43