Integral - Blog UB

INTEGRAL
Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul
ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus
berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi
diferensiasi. Lambang integral adalah
RUMUS DASAR INTEGRAL :
Bilangan natural
Logaritma
Trigonometri
INTEGRAL DAN PENERAPANNYA
DI BIDANG EKONOMI
PENGERTIAN
Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu fungsi. Jika turunan suatu
fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintgrasian.
F (X) = ∫ f (x) dx ;
Keterangan:
∫ : Tanda Integral
f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan)
dx : Operator penurunan yang mengikat operasi yang dibentuk terhadap variabel X.
dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C
Contoh :
F(X) = 2X2 + 3X + 5 .......dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
F(X) = 2X2 + 3X + 10…. dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
F(X) = 2X2 + 3X + 100….dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3
Dengan demikian :
∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + C ...Nilai C mungkin : 5, 100, atau 1000 ;
Jika nilai C didefinisikan (tertentu atau dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti
membicarakan Integral Tertentu (Integral Definit)
Sebaliknya jika nilai C tidak didefinisikan (tidak ditentukan)
Integral Tak Tentu (Integral In-definit).
II. ATURAN-ATURAN INTEGRASI
(1). HUKUM PANGKAT
(2). ATURAN EKSPONENSIAL
(3). ATURAN LOGARITMA
(4). INTEGRAL DARI SUATU PERKALIAN
(5). HUKUM PENGGANTIAN
berarti membicarakan
5.2. ATURAN INTEGRASI DALAM HUKUM PENGGANTIAN
Aturan Pertama :
∫ Un dU = 1/(n+1) U (n+1) + C;
Contoh (5.2.1):
∫ (2X+1) 3 dx = …..?
Misalkan : 2X + 1 = U ..........U = 2X + 1
dU/dX = 2 ....dX = dU/2;
∫ (2X+1) 3 dx = ∫ U 3 dU/2 = ∫ ½ U 3 dU = ......?
= ½. ¼. U4 + C;
= 1/8. (2X+1)4 + C
III. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)
Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa
dan Xb, serta Xa < Xb.
Xa : Batas terendah dari integrasi;
Xb : Batas tertinggi dari integrasi.
Xb
Xa∫
f(X). dX = F(X)
Xa/
Xb
= F(b) – F (a).
Contoh:
5
1∫
3X2. dx = ………?
= 3. 1/3 X3
1/
5
= X3 1/5 = (5)3 – (1)3 = 125 – 1 = 124.
IV.
KEGUNAAN INTEGRAL
1. Mengembalikan fungsi Turunan menjadi fungsi semula (fungsi asalnya);
2.
Menentukan luas bangun fungsi dalam susunan salib sumbu.
Kegunaan Pertama :
Mengembalikan Fungsi Turunan Menjadi Fungsi Semula (Fungsi Asalnya):
Kegunaan Kedua:
Menentukan Luas Bangun Fungsi
Dalam Susunan Salib Sumbu
I. Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi:
Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1 dan Xa =1 dan Xb = 5 …..?
Y
Y=X+1
0
0
X
Xa=1
Xb=5
LA = (½ X2 + X ) 1/5 = {½ (5)2 + (5)} – {1/2(1)2 +(1)} = 16
LA = 16.
II. Penerapan Dibidang Ekonomi:
2.1. Menghitung Surplus Konsumen (SK)
Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan Harga Keseimbangan Pasar (
Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen …..?
Y
S
( 2, 4 )
D…P= -Q+6
Sb X
Surplus Konsumen (Consumers Surplus) :
Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaan yang menunjukkan
hubungan antara jumlah barang yang dibeli dengan haraga barang tersebut. Harga
keseimbangan pasar yang terjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta Qe
(Qe=2).
Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atas dari harga pasar (Pe)
atau Harga pasar dalam kenyataannya di bawah kemampuan daya beli konsumen berarti
konsumen mendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yang sebenarnya).
Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitas yang diperoleh konsumen
sebagai dampak dari kenyataan bahwa harga pasar (Pe) lebih rendah dari kemampuan
daya beli konsumen per unit barang (P).
Untuk Menentukan Besarnya Surplus Konsumen (Keuntungan Utilitas Total Konsumen)
menggunakan rumus:
SK =
Qe
Q0∫
f(D). dQ - Qe.Pe ;
Dari Contoh soal diatas dapat dihitung surplus Konsumen sebagai berikut:
2.2. Menghitung Surplus Produsen (SP)
Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkan pada berbagai tingkat
harga. Jika harga pasar Pe dan jumlah penawaran Qe. Produsen sebenarnya bersedia
menawarkan barangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisi seperti ini
berarti penjual/produsen beruntung (produsen mendapat keuntungan utilitas).
Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperoleh produsen sebagai dampak
dari harga pasar di atas harga kesediaan penjual untuk menjual barangnya.
Contoh (1):
Diketahui Fungsi Penawaran : P = Q + 4 ; jika harga keseimbangan pasar diketahui Pe =
7 ; Tentukan besarnya Surplus Produsen....?
Y
S …P= Q + 4
( 3, 7 )
Sb X
SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(Q). dQ
SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(S). dQ.
Dari Cotoh Soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagai berikut:
SK = 3.7 - 0∫3 (4 + Q). dQ
SP = 21 – { 4Q + ½ Q2} 0/3
SP = 21 – {(4.3 + ½. 32 ) – (4.0 + ½. 02 )}=….
SP = 21 – 16,5 = 4,5.
Tambahan :
Menghitung Biaya Soial dari Monopolis
2.3. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral
╥ Total maksimum = Q0∫Q* MR.dQ - Q0∫Q* MC .dQ
Sb.Y
╥ mak
MC
MR
Sb. X
0
0
Q*
Aplikasi Integral dalam Keteknikan
Penerapan integral dalam kehidupan sehari-hari sangat luas. Aplikasi integral banyak
digunakan di berbagai disiplin ilmu. Beberapa contoh penggunaan integral dalam disiplin
ilmu alam adalah digunakan dalam bidang biologi untuk menghitung laju pertumbuhan
organisme, dalam bidang fisika untuk menghitung kepadatan kawat, dalam bidang kimia
untuk menghitung laju pemisahan, dan dalam bidang keteknikan
Penggunaan integral dalam keteknikan adalah sebagai berikut :
1. Solusi masalah transport polutan dalam medium anisotropik
Solusi masalah transport polutan dalam medium anisotropik adalah dengan metode
elemen batas. Metode inimenggunakan dasar persamaan integral batas, dengan
mentransformasi persamaan pengatur menjadi persamaan integral.
Persamaan pengatur :
Persamaan integral :
2.

Penyelesaian pada sistem elektronik
Pada arus DC

Pada arus AC biasa
Sebuah arus sinusoidial biasa dapat ditulis sebagai berikut
Maka besarnyategangan pada komponen elektronik menjadi
3.
Untuk menghitung volume
Penggunaan integral dalam ekonomi adalah sebagai berikut :
1. Dari fungsi marginal ke fungsi total
Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat
menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi
merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini, sebaliknya akan memungkinkan kita untuk
mencari fungsi total dari fungsi marginal tertentu.
Contoh soal :
Jika biaya marginal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C’(Q) = 2e0,2Q, dan
jika biaya tetap adalah CF = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan
mengontegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapatkan bahwa
Hasil ini dapat
digunakan sebgai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta arbiter c,
jawabannya timbul tanpa ditentukan. Untungnya, informasi bahwa CF = 90 dapat
digunakan sebagai kondisi awal untuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya C
hanya akan terdiri dari CF. oleh karena itu, dengan menetapkan Q = 0 dalam hasil di atas,
kita akan dapatkan nilai 90; yaitu 10e0 + c = 90. Tetapi ini akan berarti bahwa c = 90 – 10
= 80. Jadi, fungsi total biaya adalah
2. Investasi dan pembentikan modal
Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan
menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, kita bisa
menyatakan persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu, K9t), dan menggunakan
derivatif untuk menunjukkan tingkat pembentukan modal. Tetapi tingkat pembentukan
modal pada waktu t adalah identik dengan tingkat arus investasi netto pada waktu t, yang
ditunjukkan dengan l(t). jadi persediaan modal K dan investasi netto l dihubungkan
dengan dua persamaan berikut
dan
Persamaan pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara
investasi netto dan pertambahan modal. Karena l(t) adalah K(t), maka beralasan
bahwa K(t) merupakan integral atau antiderivatif dari l(t), seperti ditunjukkan dalam
persamaan kedua. Transformasi integran dalam persamaan yang terakhir juga mudah
untuk dipahami : Peralihan dari l ke
adalah menurut definisi, dan transformaasi
selanjutnya adalah dengan pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan
subtitusi. Kadang-kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi
netto dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan lg dan investasi netto
dengan IlI, kita dapat menghubungkannya satu sama lain dengan persamaan
dimana δ menggambarkan tingkat penyusutan modal dan δK tingkat investasi pengganti.
Contoh soal :
Jika investasi netto merupakan arus konstan pada l(t) = 1000 (dollar per tahun),
berapakah total investasi netto (pembentukan modal) selama satu tahun, dari t = 0 ke t = 1
?
Jelas jawabannya adalah $1000; ini dapat diperoleh secara formal sebagai berikut :
3.
Nilai sekarang dan arus kas
Contoh soal :
Berapakah nilai sekarang dari arus pendapatan kontinu yang berlangsung selama y tahun
pada tingkat yang konstan sebesar D dollar per tahun dan didiskontokan pada
tingkat r per tahun ?
Terdapat persamaan
Jadi Π tergantung pada D, r dan y. bila D = $3.000, r = 0,06 dan y = 2, misalnya, kita
memperoleh
Nilai Π biasanya selalu positif, ini sesuai dengan positivitas D dan r serta
.
Bilangan e yang mempunyai pangkat negatif akan selalu memberikan nilai pecahan yang
positif.
4. Nilai sekarang dan arus perpetual
Jika arus kas berlangsung selamanya―suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas
obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti
tanah―nilai sekarang dari arus kas akan menjadi
yang merupakan
integral tak wajar.
Contoh soal :
Carilah nilai sekarang dari aliran pendapatan perpetual yang mengalir pada tingkat yang
seragam sebesarD dollar per tahun, bila tingkat diskonto kontinu adalah r. karena, dalam
mengevaluasi integral tak wajar, kita cukup mengmbil limit integral tak wajar. Secara
khusus, kita dapat menulis
Perhatikan bahwa parameter y (jumlah tahun) telah hilang dari jawaban akhir. Hal ini
memang seharusnya terjasi, karena di sini kita menghadapi arus perpetual. Dapat juga
diamati bahwahasil yang didapat (nilai sekarang = tingkat arus pendapatan + tingkat
diskonto) secara tepat berhubungan dengan rumus yang lazim disebut “kapitalisasi” dari
suatu aktiva dengan hasil perpetual.
5. Menentukan persamaan harga dan permintaan
6. Menentukan persamaan harga dan penawaran
7. Menentukan fungsi biaya
Contoh soal :
Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q – 6Q + 4. Carilah biaya
total dan biaya rata-ratanya.
Biaya total merupakan integrasi dari biaya marginal
dapat diselesaikan dengan :
. Soal ini
Biaya total :
Biaya rata-rata :
konstanta k adalah biaya tetap
8. Menentukan fungsi pendapatan
Contoh soal :
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika
penerimaan marginalnya MR = 16 – 4Q.
Penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginal
. Soal ini dapat diselesaikan dengan :
Penerimaan total :
Penerimaan rata-rata :
dalam persamaan penerimaan total, konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak ada jika
tidak ada barang yang dihasilkan atau barang yang terjual.