1. Sumur Potensial tak Berhingga - Staff

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
1. Sumur Potensial Tak Berhingga
Kita tinjau partikel bermassa m dengan energi positif
, berada dalam sumur
potensial satu dimensi dengan dinding potensial tak berhingga dan potensial
didalamnya nol, seperti pada Gambar 1. Model potensial ini dan beberapa model
potensial yang akan kita bahas selanjutnya hanyalah suatu model potensial
khayalan, dan tidak dijumpai bentuk potensial seperti ini di alam.
( )=
( )
0, 0 < <
∞, yang lain
m
0
a
x
Gambar 1. Partikel dalam sumur potensial tak berhingga
Tugas kita adalah mencari fungsi gelombang dari partikel tersebut. Oleh karena
potensial di luar sumur tak berhingga maka partikel hanya berada di dalam sumur,
dan tidak dapat keluar. Probabilitas menemukan partikel di dalam sumur sama
dengan satu sedangkan probabilitas menemukannya di luar sumur sama dengan
nol. Dengan metode separasi variabel, fungsi gelombang dari partikel tersebut
berbentuk
Ψ( , ) = ( )
(1)
/ℏ
( ), diperoleh dengan memecahkan persamaan
Solusi bergantung waktu
Schrödinger tak bergantung waktu. Persamaan Schrödinger tak bergantung waktu
bentuk satu dimensi adalah
ℏ! $ ! ( )
−
+ ( ) ( )=
2# $ !
Pada daerah 0 <
waktu menjadi
Wayan Suana, M.Si.
< ,
( )
( ) = 0 maka persamaan Schrödinger tak bergantung
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
−
ℏ! $ ! ( )
=
2# $ !
$! ( )
2#
=− !
!
$
ℏ
( )
(2)
( )
(3)
Dengan mendefinisikan ' ! ≡
persamaan (3) menjadi
!)
ℏ*
, dengan ' adalah bilangan real positif maka
$! ( )
= −' ! ( )
$ !
(4)
Persamaan (4) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan
kompleks yang berlainan, solusinya adalah
( )=,
-.
+/
(5)
-.
Syarat batas (boundary condition) untuk fungsi gelombang pada dinding-dinding
sumur adalah bernilai nol karena dinding sumur tebal dengan potensial tak hingga.
Hal ini mirip dengan gelombang pada tali, bahwa pada ujung terikat akan terjadi
simpul (simpangannya nol). Dengan menerapkan syarat batas pada
,
(0) = 0 maka
2
+/
/ = −,
2
=0 →
=0
Sehingga persamaan (5) berubah menjadi
( )=,
( ) = −,3
-.
−,
-.
−
( ) = −25, sin '
-.
-.
4
dengan menuliskan −25, sebagai konstanta baru, misalnya 7 maka diperoleh
( ) = 7 sin '
Kemudian menerapkan syarat batas pada dinding sumur yang lainnya,
( )=0
Wayan Suana, M.Si.
=
(6)
→
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
( )=0
7 sin ' = 0
Konstanta 7 tidak boleh nol, jika tidak maka ( ) = 0 untuk semua , maka
sin ' = 0
' = 0, ±:, ±2:, ±3:, …
Namun jika ' = 0 maka ( ) = 0 untuk semua . Selain itu, solusi negatif tidak
memberikan sesuatu yang berbeda. Mengingat sin(− ) = − sin , dan tanda
minus dari solusi k dapat diserap ke 7. Jadi solusi yang berbeda untuk k adalah
'< =
=:
dengan = = 1, 2, 3, …
(7)
Persamaan (6) kemudian menjadi
( )≡
<(
=:
) = 7 sin A
B
Dengan mensubstitusikan ' ! ≡
=: !
2#
=A B
ℏ!
≡
<
=
= ! : ! ℏ!
2# !
Ternyata energi
(8)
!)
ℏ*
ke persamaan (7), diperoleh
(9)
dari partikel dalam sumur berbentuk diskrit dan bertingkat-
tingkat, bukan kontinue seperti energi pada partikel klasik. Selain itu, energi
terendah yang dapat dimiliki partikel juga tidak nol. Energi untuk = = 1 disebut
energi pada keadaan dasar (ground state) sedangkan energi untuk = = 2, 3, 4, dan
seterusnya disebut energi pada keadaan tereksitasi (excited states).
Untuk memperoleh konstanta 7, kita lakukan normalisasi terhadap fungsi
pada persamaan (8).
<(
)
G
E | ( )|! $ = 1
G
H
7 E sin! A
!
2
=:
B$ = 1
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
1 1
2=:
7 E I − cos
L$ = 1
2 2
2
H
!
1
2=: H
7 M
−
sin
M =1
2
4=:
2
!
7!
2
= 1 → 7 = N2/
Dengan demikian, fungsi
<(
) = N2/ sin A
=:
B
<(
) ternormalisasi adalah
(10)
Tampak bahwa persamaan Schrödinger tak bergantung waktu menghasilkan
sekumpulan solusi,
O(
!(
P(
Q(
) = N2/ sin A
:
) = N2/ sin I
) = N2/ sin I
) = N2/ sin I
<(
2:
3:
4:
) untuk n = 1, 2, 3, ... beberapa diantaranya
B
L
(12)
L
(13)
L
(14)
sedangkan grafik dari beberapa fungsi
O(
)
a
0
P(
x
)
0
<(
) diberikan pada Gambar 2.
!(
x
a
0
Q(
a
)
x
)
a
0
Gambar 2. Grafik beberapa fungsi
Wayan Suana, M.Si.
(11)
<(
x
)
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Hal-hal penting yang diperoleh dari
1.
<(
Ortonormalitas fungsi
)
<(
) adalah
Ortonormalitas adalah gabungan dari istilah ortogonalitas dan normalisasi.
fungsi
)(
R
<(
)∗
) merupakan fungsi yang ortogonal karena
<(
)$ = 0 , untuk # ≠ =
sedangkan fungsi
E|
<(
)|! $ = 1
<(
) merupakan fungsi yang ternormalisasi karena
(15)
Kedua sifat ini dapat digabung menjadi satu, yaitu ortonormalitas. Fungsi
<(
E
H
2
) dikatakan bersifat ortonormal karena
)(
)∗
<(
)$ = X)<
(16)
dengan X)< disebut delta Kronecker, dimana
X)< =
0, jika # ≠ =
1, jika # = =
Jika # = = maka hasil integral persamaan (16) jelas sama dengan satu karena
fungsi ternormalisasi sedangkan hasil integral untuk # ≠ = yaitu
E
∗
)( )
H
2
#:
2
=:
Z sin A
(
)$
=
E
B Z sin A
B$
<
E
∗
)( )
< ( )$ =
2
2
H
#:
=:
E sin A
B sin A
B$
2
Dengan menggunakan hubungan
2 sin cos [ = cos( − [) − cos( + [)
maka persamaan di atas menjadi
E
∗
)( )
< ( )$ =
=
=
Wayan Suana, M.Si.
1
1
H
#−=
#+=
E \cos A
: B − cos I
: L] $
2
#−=
1 H
#+=
E cos A
: B $ − E cos I
: L$
H
2
2
H
H
1
#−=
1
#+=
^sin A
: B^ −
Msin I
: LM
:#−=
:#+=
2
2
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
=
=
1
1
sin(# − =): −
sin(# + =):
:(# − =)
:(# + =)
sin(# − =): sin(# + =):
−
:(# − =)
:(# + =)
=0
Jika # ≠ = maka hasil integral sama dengan nol karena sinus dari kelipatan
bilangan bulat positif atau pun negatif dari : selalu sama dengan nol.
2.
<(
Kombinasi linear dari
G
_( ) = ` a<
<bO
<(
) untuk semua n
G
=:
) = N2/ ` a< sin A
B
<bO
(17)
Solusi bergantung waktu atau yang disebut dengan keadaan stasioner
(persamaan 1) kemudian menjadi
Ψc ( , ) =
<(
)
d
Ψc ( , ) = N2/ sin A
/ℏ
=:
<* e * ℏ
!)H*
B
(18)
Solusi paling umum dari persamaan Schrödinger bergantung waktu, Ψ( , )
adalah kombinasi linear dari semua solusi, yaitu
G
Ψ( , ) = ` a< N2/ sin A
<bO
=:
B
<* e * ℏ
!)H*
(19)
Jika fungsi gelombang awal Ψ( , 0) diketahui maka koefisien ekspansi a<
dapat diperoleh dengan menggunakan trik Fourier. Dari persamaan (19),
bentuk Ψ( , 0) adalah
G
Ψ( , 0) = ` a< N2/ sin A
<bO
G
Ψ( , 0) = ` a<
<bO
<(
=:
B
)
Mengalikan persamaan (20) dengan
diperoleh
Wayan Suana, M.Si.
∗
)(
(20)
) lalu mengintegralkannya,
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
E
H
2
∗
)(
) Ψ( , 0) $ = E
H
2
∗
)(
G
) ` a<
<bO
<(
G
H
#:
B Ψ( , 0) $ = ` a< E
N2/ E sin A
H
2
<bO
Oleh karena sifat ortogonalitas fungsi
H
punya nilai pada saat = = #, dan R2
maka
<(
∗
)(
2
)$
∗
)(
)
) maka R2
)
)(
H
<(
)$
∗
)(
)
<(
)$ hanya
)$ = 1 (ternormalisasi),
#:
B Ψ( , 0) $ = a)
N2/ E sin A
H
2
atau
H
=:
a< = N2/ E sin A
B Ψ( , 0) $
(21)
2
Contoh
Bagaimana bentuk fungsi gelombang tak bergantung waktu dari partikel dalam
sumur potensial tak hingga jika energinya (a) nol, dan (b) negatif ?
Solusi
Jika energi partikel sama dengan nol maka persamaan Schrodinger di dalam
sumur dengan ( ) = 0 adalah
ℏ! $ ! ( )
−
=0
2# $ !
$! ( )
=0
$ !
$ ( )
= , → suatu konstanta
$
( )=, +/
Dengan menerapkan syarat batas pada
(0) = 0 → / = 0
Wayan Suana, M.Si.
= 0 → ( ) = 0 maka
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
sehingga fungsi gelombang menjadi
( )=,
Dengan menerapkan syarat batas pada
( )=0 →,=0
=
→ ( ) = 0 maka
sehingga fungsi gelombang menjadi
( )=0
Solusi ini tidak dapat dinormalisasi sehingga tidak merepresentasikan fungsi
gelombang dari suatu partikel
Kemudian jika partikel berenergi negatif maka persamaan Schrodingernya adalah
−
ℏ! $ ! ( )
=−
2# $ !
$ ! ( ) 2#
= !
$ !
ℏ
( )
( )
Dengan mendefinisikan ' ! ≡
persamaan (3) menjadi
!)
ℏ*
, dengan ' adalah bilangan real positif maka
$! ( )
= '! ( )
$ !
Persamaan ini adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar real yang
berlainan, solusinya adalah
( )=,
-.
+/
Syarat batas pada
-.
= 0 → ( ) = 0 maka
(0) = 0 → / = −,
sehingga fungsi gelombang menjadi
( ) = ,(
-.
−
Syarat batas pada
( )=0 →
-H
Wayan Suana, M.Si.
-. )
=
=,
→ ( ) = 0 maka
-H
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
sehingga fungsi gelombang menjadi
( )=0
Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh sebelumnya
Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung