Usaha dan Energi Elektrostatik

USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA
Usaha untuk Memindahkan Muatan
Usaha adalah kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan muatan dari
satu tempat ke tempat lainnya.
=
∙
(1)
Jika kita hendak memindahkan muatan dalam suatu medan listrik maka kerja yang
dilakukan adalah melawan medan listrik di tempat itu. Usaha yang dilakukan
untuk
memindahkan
muatan
titik
dari
jauh
tak
hingga
ke
posisi
adalah:
z
.
.
Q
y
q
x
=
−
∙
adalah elemen garis. Untuk koordinat bola,
=
̂+
sedangkan
=
+ sin
adalah gaya yang dialami oleh muatan Q, dengan
̂
sehingga ungkapan W menjadi
=−
=−
1
4 !"
1
4 !"
̂ ∙(
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
̂+
+ sin
)
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
=
1
4 !"
(2)
Usaha yang dilakukan ini berubah menjadi energi potensial yang dimiliki oleh
muatan Q yang berada pada jarak r terhadap muatan q. Jadi energi elektrostatika
adalah kerja yang dilakukan untuk melawan medan listrik yang ditimbulkan oleh
suatu muatan q di titik tersebut.
Energi Potensial untuk Muatan Titik
Hubungan antara energi potensial dengan potensial diperoleh dengan menuliskan
kembali bahwa potensial di titik
Φ( ) =
1
4 !"
yang ditimbulkan oleh muatan q adalah:
(3)
Maka energi potensial muatan Q pada titik
=
dapat dinyatakan dengan:
1
4 !"
= Φ( )
&,
Jika terdapat N muatan titik,
,
(, … , * ,
(4)
masing-masing dengan posisi +++&, +++ ,
+++( , ..., ++++* maka bagaimana ungkapan energi potensialnya? Energi potensialnya
sama dengan usaha total yang diperlukan untuk membawa muatan-muatan
tersebut satu persatu dari posisi jauh tak hingga ke posisi +++& , +++ , +++( , … , ++++* .
z
. . .
.
q1
+++&
x
+++
+++,
q2
+++(
q3
y
q4
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
&
ke titik +++& adalah
&,
yaitu
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
&
=
&
Φ(+++& )
(5)
dengan Φ(+++& ) adalah potensial listrik di titik +++&. Oleh karena belum ada muatan
yang lain dalam sistem koordinat, maka Φ(+++& ) = 0 sehingga
&
=0
ke titik +++ adalah
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan
Φ(+++ )
=
(6)
, yaitu
dengan Φ(+++ ) adalah potensial listrik di titik +++ . Oleh karena telah ada muatan
(7)
dalam sistem koordinat, maka potensial listrik di titik +++ yang ditimbulkan oleh
muatan
Φ(+++ ) =
sehingga
=
&
adalah
1
&
4 !" |+++& − +++ |
(8)
menjadi
1
&
4 !" |+++& − +++ |
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan
(
=
(
&
Φ(+++( )
(
ke titik +++( adalah
(9)
(,
yaitu
(10)
dengan Φ(+++( ) adalah potensial listrik di titik +++( . Pada sistem koordinat telah ada
&
muatan
, yaitu
dan
Φ(+++( ) =
sehingga
(
(
dan
=
=
sehingga potensial listrik di titik +++( ditimbulkan oleh muatan
1
1
&
+
4 !" |+++& − +++( | 4 !" |+++ − +++( |
(
(11)
menjadi
1
1
& (
(
+
|
|
|
4 !" +++& − +++(
4 !" +++ − +++( |
1
& (
(
4
+
5
4 !" |+++& − +++( | |+++ − +++( |
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan
,
=
,
&
Φ(+++, )
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
,
ke titik +++, adalah
(12)
,,
yaitu
(13)
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
dengan Φ(+++, ) adalah potensial listrik di titik +++, . Kini telah ada muatan
(
sehingga potensial listrik di titik +++, ditimbulkan oleh muatan
yang besarnya
Φ(+++, ) =
sehingga
,
,
1
1
1
&
(
+
+
4 !" |+++& − +++, | 4 !" |+++ − +++, | 4 !" |+++( − +++, |
,
&,
&,
, dan
(,
, dan
(14)
menjadi
1
1
1
& ,
,
( ,
+
+
4 !" |+++& − +++( | 4 !" |+++ − +++( | 4 !" |+++( − +++, |
=
1
& ,
,
( ,
4
+
+
5
4 !" |+++& − +++, | |+++ − +++, | |+++( − +++, |
=
(15)
Adapun usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan ke-N adalah
*
=
1
& *
*
( *
*7& *
4
+
+
+ ⋯+
5
|++++++++
4 !" |+++& − ++++* | |+++ − ++++* | |+++( − ++++* |
*7& − ++++* |
Usaha total untuk memindahkan N muatan adalah penjumlahan dari
, ,...,
89:
=
89:
=
89:
89:
89:
*
&
+
+
(
+
,…+
&,
,
(,
*
=
1
&
+
4 !" |+++& − +++ |
=
1
& ,
,
( ,
4
+
+
5+⋯+
4 !" |+++& − +++, | |+++ − +++, | |+++( − +++, |
=
(16)
1
& (
(
4
+
5+
|
|
|
+++ − +++( |
4 !" +++& − +++(
1
& *
*
( *
*7& *
4
+
+
+ ⋯+
5
|++++++++
4 !" |+++& − ++++* | |+++ − ++++* | |+++( − ++++* |
*7& − ++++* |
(17)
Setelah disusun ulang, didapatkan
89:
89:
89:
89:
=
1
4 !"
&;
=
1
4 !"
(;
=
1
4 !"
= +⋯
|+++& − +++ |
;
(
|+++ − +++( |
,
|+++( − +++, |
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
+
+
(
|+++& − +++( |
,
|+++ − +++, |
+ ⋯+
+
,
|+++& − +++, |
+ ⋯+
*
|+++( − ++++* |
+ ⋯+
*
|+++ − ++++* |
< +
*
|+++& − ++++* |
< +
< +
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
1
4 !"
89:
=
89:
==
*
>
>?&
Oleh karena
1
B+C − +D B
=
maka
1
B+C − +D B
=
*7& ;
*
@=
AE>
*
|++++++++
*7& − ++++* |
< +
1
A
F
4 !" B+C − +D B
(18)
1
B+D − +C B
1
1
1
G
+
H
2 B+C − +D B B+D − +C B
(19)
Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18), diperoleh
89:
89:
*
*
>?&
AE>
1
1
== >@ =
2
4 !"
*
1
= =
2
>?&
>
*
@ =
A?&,AI>
A
1
1
G
+
HF
B+C − +D B B+D − +C B
1
A
F
4 !" B+C − +D B
(20)
Perhatikan suku dalam kurung kurawal pada persamaan (20)! Suku tersebut
adalah potensial listrik di +C , yaitu Φ(+C ), yang ditimbulkan oleh (J − 1) muatan,
&,
,
( , … , >7
,
*
>7& , >K& , >K
1
A
Φ(+C ) =
=
4 !"
B+C − +D B
,…,
*.
A?&,AI>
(21)
Dengan demikian, persamaan (20) menjadi
89:
*
1
= =
2
>?&
>
Φ(+C )
(22)
Ini adalah usaha total yang diperlukan untuk menyusun N muatan titik secara
bersama-sama. Usaha total ini merepresentasikan besarnya energi potensial yang
tersimpan dalam susunan muatan tersebut.
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Energi pada Distribusi Muatan Kontinue
Pada distribusi muatan volume dengan rapat muatan L, maka ungkapan energi
potensial pada persamaan (22) berubah menjadi
=
1
2
LΦ M
(23)
Ungkapan energi ini dapat juga dinyatakan dalam medan listrik N+ yaitu dengan
memanfaatkan persamaan pada Hukum Gauss.
+∇ ∙ N+ =
L
!"
+ ∙ N+
L = !" ∇
(24)
dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke persamaan (23) diperoleh
=
1
2
+ ∙ N+ Φ M
!" ∇
(25)
Salah satu sifat perkalian operator +∇ adalah
+∇ ∙ N+ Φ = ∇
+ ∙ N+ Φ + N+ ∙ ∇
+Φ
dengan mensubstitusikan +∇Φ = −N+ selanjutnya didapatkan
+∇ ∙ N+ Φ = ∇
+ ∙ N+ Φ − N+
+ ∙ N+ Φ = ∇
+ ∙ N+ Φ + N+
∇
(26)
(27)
Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (27) ke persamaan (25), hasilnya
=
=
!"
2
!"
2
+ ∙ N+ Φ + N+ Q M
P∇
R
+∇ ∙ N+ Φ
M+
!"
2
R
N+
M
(28)
Ingat kembali teorema divergensi, bahwa
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
R
+∇ ∙ S M = T S ∙ U
V
sehingga
!"
2
R
+∇ ∙ N+ Φ
M=
!"
T N+ Φ ∙ U
2 V
(29)
Maka persamaan (28) dapat ditulis menjadi
=
=
!"
!"
T N+ Φ ∙ U +
2 V
2
!"
2
WXX YZW[\
N+
M
R
N+
M
(30)
(31)
Ini adalah ungkapan energi potensial dalam N+ dimana pengintegralan dilakukan
untuk seluruh ruang.
Contoh
Hitung energi potensial dari kulit bola bermuatan seragam dengan rapat muatan ]
dan total muatan q jika jari-jari R !
Solusi 1. Menggunakan ungkapan dalam potensial
=
1
2
]Φ U
Potensial pada permukaan bola adalah konstan, besarnya
Φ=
1
4π!" _
sehingga
=
=
1
8π!" _
1
8π!" _
] U
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Solusi 2. Menggunakan ungkapan dalam medan listrik
=
!"
2
WXX YZW[\
N+
M
Integral dilakukan pada seluruh ruang, di dalam dan di luar bola. N+ di dalam bola
adalah nol sehingga integralnya bernilai nol untuk ruang di dalam bola. Sementara
N+ di luar bola adalah
N+ =
1
4π!"
N+ =
̂
1
(4π!" )
,
dengan demikian energinya menjadi
=
=
=
=
!"
2
!"
2
WXX YZW[\
c
a
!"
2 (4π!" )
!"
2 (4π!" )
!"
=
2 (4π!" )
=
=
=
!"
2 (4π!" )
!"
2 (4π!" )
1
8π!" _
N+
`
c
"
"
1
_
M
1
(4π!" )
m
m
a
m
"
m
"
"
m
1
4π
_
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
,
1
`
1
l
1
n− n
m
"
l
(
sin
sin
d d
)
→ koordinat bola
d d
d sin d
d sin d
sin d
Pendidikan Fisika Universitas Lampung