modul 6 - Simponi MDP

MODUL 6
MATEMATIKA BISNIS
POKOK BAHASAN
: INTEGRAL
DOSEN
: LIANAH, SE.,MCom.
PROGRAM STUDI
: AKUNTANSI
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS MERCU BUANA
JAKARTA 2008
INTEGRAL
Tujuan instruktusional :
1. Mahasiswa dapat mengenal dan memahami dua macam integral yaitu : integral tak
tentu dan integral tertentu.
2. Mahasiswa dapat menerapkan kaidah-kaidah integral pada permasalahan ekonomi.
Materi pembahasan :
1. Integral tak tentu dan kaidah-kaidahnya
2. Penerapan integral tak tentu pada permasalahan ekonomi
3. Integral tertentu dan kaidah-kaidahnya
4. Penerapan integral tertentu pada permasalahan ekonomi
Kalkulus Integral dikenal dengan dua macam pengertian integral, mereka adalah
integral taktentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral).
Integral
taktentu adalah kebalikan dari deferensial, yaitu suatu konsep yang berhubungan
dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivatif dari fungsinya
diketahui.
Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsepyang berhubungan
dengan proses pencarian luassuatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut
sudah tertentu.
1. INTEGRAL TAKTENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau
turunan-antinya, yaitu F (x). Bentuk umum integral dari f(x) adalah:
 f (x) dx = F (x) + k
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Dimana :
k
: sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu.

:
tanda integral
f(x)dx :
diferensial dari F(x)
f(x)
:
integran
dx
:
deferensial
F(x)
:
integral partikular
k
:
konstanta pengintegralan
F(x) + k : fungsi asli atau fungsi asal
Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial yang berarti konsep
penemuan fungsi asal apabila turunan atau derivatifnya diketahui. Bentuk umum
integral dari f(x) adalah :
∫ f(x) dx = F (x) + k
dimana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu. Dalam rumusan
diatas tanda ∫ adalah tanda integral ; f(x) dx adalah diferensial dari F(x) ; f(x)
sendiri disebut integran ; dx disebut diferensial ; F(x) adalah integral partikular ; k
adalah konstanta pengintegralan dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi
asal. Proses mengintegralkan disebut juga integrasi. Dalam diferensial kita
menemukan, bahwa jika misalnya suatu fungsi asal dilambangkan dengan F(x)
dan fungsi turunannya dilambangkan dengan f(x) maka :
Untuk fungsi asal
: F(x) = x² + 5
Fungsi turunannya
: f(x) = dF(x)/dx = 2x
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(x) diintegralkan maka :
∫ f(x) dx = F (x) + k = x² + k
karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan
suatu fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. Artinya nilai konstanta
tersebut tidak dengan sendirinya bisa diisi dengan bilangan tertentu (misal 5
dalam contoh diatas), kecuali jika dalam soal memang telah ditentukan nilai
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
konstantanya. Karena ketidak tentuan inilah maka bentuk integral yang
merupakan kebalikan dari diferensial dinamakan integral tak tentu.
Proses
mengintegralkan
disebut
juga
integrasi.
Didalam
diferensial
kitamenemukan,bahwa jika suatu fungsi asal dilambangkan dengan F (x) dan fungsi
turunannya dilambangkan dengan f (x) maka:
Fungsi asal
F (x) = x2 +5
Fungsi turunannya
d F (x)
F (x)= ______ = 2x
dx
Jika prosesnya dibalik,yaitu fungsi turunan f (x) diintegralkan, maka:
 f(x) dx = F (x) + k = x2 + k
Karena derivatif dari setiap konstanta adalah nol, maka dalam mengintegralkan
setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k, artinya nilai konstanta tersebut
tidak dengan sendirinya bias diisi dengan bilangan tertentu (misalnya 5, dalam contoh di
atas), kecuali jika di dalam soal sudah ditentukan nilai konstantanya. Karena
ketidaktentuan konstanta itulah maka bentuk integral yang merupakan kebalikan dari
diferensial dinamakan integral taktentu.
2. KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TAKTENTU
Integrasi taktentupadadasarnya adalah kebalikan dari diferensiasi,makakaidahkaidah integrasi taktentuakan dapatdipahamiberdasarkan pengetahuan tentang kaidahkaidahdiferensiasi.

FormulaPangkat
xn+1

xn dx = _____ + k
n + 1
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Syarat :
n  - 1
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh:
(x+1 )
2
( x + 1) 2+1
dx = ___________
+
k
=
2 + 1

1
____ ( x + 1)
3
+ k
3
Formula Logaritma
 1/x
dx = ln x + k
Contoh:
 3 / x dx = 3 ln x + k

Formula Eksponensial
e
x
dx = ex + k
e
u
dx = eu + k
u = f (x)
Contoh:
 e –3x + 2 dx = - 1/3  e –3x + 2 d ( -3x + 2 )
= - 1/3 e –3x + 2 + k

Formula Penjumlahan
  f (x) + g (x) dx = 

f (x) dx +
g (x) dx
= F (x) + G (x) + k
Contoh:
 (x4 + 3x2) dx

=  x4 dx +  3x2 dx = 0.2 x5 + x3 + k
Formula Perkalian
 n f (x) dx = n  f (x) dx
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
n  0
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh:
x3+1
 - x3 dx = -1  x3 dx = -1  ________  + k
3 + 1
= - ¼ x4  k
Latihan
Selesaikanlah :
1. ∫ x³ dx
2. ∫ x-4 dx
3. ∫ 9 x² dx
4. ∫ 5/x dx
5. ∫ (x² - √x + 4) dx
6. ∫ √2 + 5x dx
3. INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variable
bebasnya (memiliki) batas-batas tertentu. Integral tertentu digunakan untuk menghitung
luas area yang terletak diantara kurva y = f (x) dan sumbu horizontal _ x dalam suatu
rentangan wilayah yang dibatasioleh x = a dan x = b.
Di dalam Integral taktentu kita temukan bahwa :
 f (x) dx = F (x) + k
Jika kita ingin mengetahui hasil integrasi tersebut untuk suatu rentangan wilayah
tertentu, katakanlah antara x= a dan x = b dimana a < b, maka x dapat disubtitusi
dengan nilai-nilai a dan b sehingga ruas kanan persamaan di atas menjadi :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
 F (b) + k  -  F (a ) + k  = F (b) – F (a)
F (b) – F (a) adalah hasilintegral tertentu dari f (x) antara a dan b. Secara lengkap
persamaan pertama tadi dapat dituliskan menjadi :
b

b
f (x) dx =
 F (x) 
a
= F (b) – F (a)
a
b
Notasi
 f (x) dx dibaca integral f (x) untuk rentang wilayah x dari a ke b.
a
Mengingat a < b dinamakan batas bawah integrasi, sedangkan b disebut batas atas
integrasi.
Selain untuk menghitung luas suatu area antara sebuah kurva dan salah satu
sumbu, integral tertentu dapat pula digunakan untuk menghitung luas suatu area yang
terletak di antara dua kurva.
Andaikan kita memiliki dua buah kurva y1 = f (x) dan y2 = g (x), dimana f(x) <
g (x). Maka luas area antara kedua kurva ini untuk rentang wilayah dari a ke b ( a
< b) adalah:
b

a
b
b
 g (x) - f( x)dx =  g (x) dx -  f (x) dx
a
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
a
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
3. KAIDAH – KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
Untuk a < c < b berlaku :
a.
b
b
 f (x ) dx =  F( x)
= F (b) – F (a)
a
a
Contoh :
x5
5
 x4 dx =
 _____ = 1/5  x5
2
5
= 1/5 ( 3125 – 32 ) = 618. 6
2
5
b
2.
 f (x) dx = 0
b
Contoh:
x5
2
 x4 dx =
 _____ = 1/5  x5
2
2
= 1/5 ( 32 – 32 ) = 0
2
5
b
3.
b
 - f (x) dx = -  f (x) dx
a
a
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh:
I.
Penerapan Ekonomi
1. Fungsi biaya
Biaya total : C = f(Q)
Biaya marjinal : MC = C’ = dC/dQ = f’ (Q)
Jadi integral MC sama dengan biaya total : ∫ MC dQ = C = f(Q)
Contoh :
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3 Q² - 6 Q + 4
Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya !
Jawab :
Biaya total = C = ∫ MC dQ = ∫ (3 Q² - 6 Q + 4) dQ = Q³ - 3 Q² + 4 Q + k
Biaya rata-rata = AC = C/Q = Q³ - 3 Q² + 4 Q + k = Q² - 3 Q + 4 + k/Q
Q
Konstanta k adalah biaya tetap, jika diketahui biaya tetapnya adalah 4 maka
C = Q³ - 3 Q² + 4Q + 4 dan AC = Q² - 3 Q + 4 + 4/Q
2. Fungsi penerimaan
Penerimaan total : R = f(Q)
Penerimaan marjinal : MR = R’ = dR/dQ = f’ (Q)
Jadi integral MR sama dengan penerimaan total : ∫ MR dQ = R = f(Q)
Contoh :
Penerimaan marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MR = 16 – 4Q.
Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-ratanya !
Jawab :
Penerimaan total : R = ∫ MR dQ = ∫ (16 – 4Q) dQ = 16 Q – 2 Q² + k
Penerimaan marjinal = AR = R/Q = 16 – 2Q + k
Dalam persamaan penerimaan k adalah 0 sebab penerimaan tidak ada jika
penjualan tidak ada sehingga persamaan R = 16Q – 2Q² dan AC = 16 – 2Q
3. Fungsi utilitas
Utilitas total = U = f (Q)
Utilitas marjinal = MU = U’ = dU/dQ = f’ (Q)
Jadi integral MU sama dengan utilitas total : ∫ MU dQ = U = f(Q)
Contoh :
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas
marjinalnya MU = 90 – 10 Q
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Jawab :
Utilitas total : U = ∫ MU dQ
= ∫ 90 – 10 Q dQ
= 90 Q – 5 Q² + k
disinipun k = 0 sebab kepuasan konsumen tidak akan terpenuhi jika tidak ada
barang yang dikonsumsi sehingga U = 90 Q – 5 Q²
4. Fungsi produksi
Produk total : P = f (x) dimana P = keluaran dan x = masukan
Produk marjinal : MP = P’ = dP / dx = f’ (x)
Produk total tak lain adalah integral dari marjinal produknya
Contoh :
Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x².
Carilah persamaan produk total dan produk rata-ratanya.
Jawab :
Produk total P = ∫ MP dx
= ∫ (18x – 3x²) dx = 9 x² - x³ + k
produk rata-rata : AP = P/x = 9x - x²
Dalam persamaan ini k = 0 karena tidak mungkin akan dihasilkan produk jika
tidak ada input yang diolah.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS