diferensial fungsi sederhana

MODUL 2
MATEMATIKA BISNIS
POKOK BAHASAN : DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DOSEN
: LIANAH, SE.,MCom.
PROGRAM STUDI : AKUNTANSI
FAKULTAS EKONOMI
UNIVERSITAS MERCU BUANA
JAKARTA 2008
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
(Lanjutan)
Tujuan instruktusional khusus :
Diharapkan
mahasiswa
dapat
memahami
konsep
diferensial
dan
memanfaatkannya dalam melakukan analisis bisnis dan ekonomi yang berkaitan dengan
masalah perubahan penentuan tingkat maksimum dan minimum.
Materi Pembahasan :
1. Elastisitas
2. Biaya Marjinal
3. Penerimaan Marjinal
4. Utilitas Marjinal
5. Produk Marjinal
6. Analisis Profit Maksimum
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
1. ELASTISITAS
Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan
sebagai:
n = Ey
Ex
= lim x → 0 (y / y) =
(x / x)
dy *
dx
x
y
Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif
dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil
atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan
sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
1. Elastisitas Permintaan
Menunjukkan
besarnya
perubahan
jumlah
barang
yang
diminta
disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase
perubahan harga. Jika fungsi puritan dinyatakan dengan Qd = f (p) maka
elastisitas permintaannya :
Nd = %Qd
%P
= lim P → 0 (Qd / Q) =
= EQd
EP
(P / P)
dQd
dP
*
P
Qd
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila
nd
> 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara
berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase
perubahan harganya.
Unitary elastis apabila nd
= 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara
berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada persentase
perubahan harganya.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Inelastis apabila
nd
< 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara
berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase
perubahan harganya.
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25 –
3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5.
Qd = 25 – 3P² → Qd’ =
dQd = -6P
Dp
nd = dQd
*
dp
= -6 (5) *
P = -6P *
P
Qd
25-3P²
5
25-75
= 3 (elastis)
nd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukam P =5, harga naik (turun) sebesar
1% maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak
3%.
2. Elastisitas Penawaran
Menunjukkan
besarnya
perubahan
jumlah
barang
yang
ditawarkan
disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara
persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase
perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas
penawarannya :
ns =
%Qs
= EQs
%P
EP
= lim P → 0 (Qs / Q) =
(P / P)
dQs
dP
*
P
Qs
Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila
ns
>1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara
searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan
harganya.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Unitary elastis apabila
ns
= 1 yang artinya jika harga berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara
searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase
perubahan harganya.
Inelastis apabila
ns
< 1 yang artinya jika harga barang berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara
searah dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan
harganya.
Contoh :
Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan
Qs = -200 +7P²
Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.
Qs = -200 + 7P² → Qs’ =
dQs = 14P
dp
ns = dQs
*
dp
= 14 (10) *
P = 14P *
Qs
P
-200+7P²
10
= 2,8 (elastis)
-200 + 700
nd = 2,8 berarti bahwa apabila, dari kedudukan P = 10, harga naik (turun)
sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang)
sebanyak 2,8%.
3. Elastisitas Produksi
Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan
akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi
merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan
P = f (x), maka elastisitas produksinya :
np =
%P
%x
= EP
EX
= lim x → 0 (P / P)
(x / x)
=
dP *
dx
x
P
Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat :
Elastis apabila
np
> 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya.
Unitary elastis apabila np
= 1 yang artinya jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya.
Inelastis apabila
np
< 1 yang artinya jika jumlah input berubah sebesar
persentase tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan
persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.
Contoh :
Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan
P = 6x² - x³
Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi
sebanyak 3 unit.
P = 6x² - x³ → P’ =
dp = 12x – 3x²
dx
np = dP * X = 12x – 3x² *
x
dx
P
(6x²- x³)
= (36- 27 ) *
3
= 1 (unitary elastis)
(54-27)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
np = 1 berarti bahwa apabila, dari kedudukan X = 3, maka jika jumlah input
dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah
(berkurang) sebesar 1 %.
2. BIAYA MARJINAL
Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan
untuk menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya
marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total
dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan
jumlah produk, maka biaya marjinalnya :
MC = c’ =
dC
dQ
Contoh :
Biaya total
: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4
Biaya Marjinal
: MC = C’ = dC/dQ = 3Q² - 6Q + 4
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga
fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat.
C , MC
C
6
C
= Q³ -3 Q² + 4Q + 4
MC
= C’ = 3Q² - 6Q + 4
(MC)’ = C” = 6Q - 6
MC minimum jika (MC)’ = 0
4
(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1
MC
Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1
1
C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6
Q
0
1
3. PENERIMAAN MARJINAL
Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit
keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan
total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q
melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :
MR = R’ =
dR
dQ
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh :
Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka
P, R, MR
R= 16Q- 2 Q²
32
Penerimaan total :
R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q²
Penerimaan marjinal :
MR = R’ = 16 – 4Q
P = 16 – 2Q
16
Pada MR = 0, Q = 4
P= 16 – 2(4) = 8
8
Q
0
4
R =16(4) – 2(4)² = 32
8
4. UTILITAS MARJINAL
Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya
satu unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal
merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total
dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan
jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :
MU = U’ =
dU
dQ
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh :
U = f(Q) = 90Q – 5 Q²
U maks = 90(9) – 5(9)²
MU = U’ = 90 – 10Q
= 810 – 405
U maksimum pada MU = 0
= 405
MU = 0; Q = 9
U, MU
U = 90Q – 5Q²
405
MU = 90 – 10Q
90
0
9
18
Q
5. PRODUK MARJINAL
Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi
yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan
pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan P = f(x)
dimana P adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk
marjinalnya
MP = P’ =
dP
dX
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Contoh : Produksi total = P = f(x) = 9x² - x³
Produk marjinal = MP = P’ = 18x – 3x²
P maksimum pada P’ = 0 yakni pada X = 6 dengan P maks + 108.
P berada pada titik belok dan MP maks pada P” = (MP)’ = 0 ;
Yakni pada X = 3
P, MP
108
P = f(x)
54
27
X
0
3
6
MP
6. ANALISIS PROFIT MAKSIMUM
Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit):
1. π1 = 0
2. π11 < 0
Dimana:
Л=R–C
Contoh 1:
Diketahui: R = –2Q2 + 1000Q
C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS
Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan yang menghasilkan keuntungan maksimum?
d. Berapa harga jual yang menghasilkan keuntungan maksimum?
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Contoh 2:
Diketahui: P = 557 – 0,2Q
C = 0,05Q3 – 0,2Q2 + 17Q + 7000
Ditanyakan:
a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum?
b. Berapa biaya yang menghasilkan keuntungan maksimum?
c. Berapa besarnya penerimaan yang menghasilkan keuntungan maksimum?
d. Berapa harga jual yang menghasilkan keuntungan maksimum?
e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut?
Latihan:
1. P = 2450 – 0,6Q
C = 0,04Q3–0,6Q2+575Q+250
2. R = 780Q–0,2Q2
C = 0,05Q3–0,2Q2+45Q+7000
3. R = 326Q – 3Q2
C = 0,08Q3–3Q2+110Q+200
4. C = 50 + 20Q
P = 100 – ½Q
5. C = 1000 + 20Q
P = 100 – 0,1 Q
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB
Lianah, SE., Mcom
MATEMATIKA BISNIS