BAB I - Simponi MDP

BAB I
LOGIKA
1.1 Proposisi
Logika mempelajari hubungan antar pernyataan-pernyataan yang berupa kalimatkalimat atau rumus-rumus, sehingga kita dapat menentukan apakah suatu pernyataan
bernilai benar. Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah pada bentuknya;
bukan pada arti kalimat. Artinya logika tidak membantu kita untuk menentukan
apakah suatu pernyataan-pernyataan itu benar, tetapi jika pernyataan-pernyataan
tersebut benar maka kesimpulan yang kita ambil benar.
Pernyataan-pernyataan, baik kalimat berita ataupun persamaan yang tidak
mengandung peubah yang terdapat pada logika disebut proposisi. Suatu proposisi
hanya mempunyai satu nilai kebenaran, yaitu salah atau benar; tidak keduanya. Perlu
diingat bahwa proposisi bukan kalimat tanya atau perintah.
Contoh 1.1
Beberapa contoh proposisi adalah sebagai berikut :
a) Kota Palembang adalah ibukota Propinsi Sumatera Selatan.
b) 3 + 6 = 9
c) Indonesia adalah negara terkecil di kawasan Asean.
Pernyataan a) adalah kalimat berita dan mengandung satu nilai kebenaran yaitu
benar, sehingga kalimat a) adalah proposisi. Pernyataan b) adalah operasi aljabar
terhadap bilangan yang dapat dimasukkan kedalam kelompok kalimat berita, dan
mengandung satu nilai kebenaran, yaitu benar. Jadi pernyaatan b) adalah proposisi.
Pernyataan c) juga termasuk kedalam proposisi karena merupakan kalimat berita dan
mengandung satu nilai kebenaran yaitu salah.
Contoh 1.2
Beberapa contoh yang tidak termasuk proposisi
a) y = 2x + 1
b) Ali lebih kaya dari Badu.
c) Siapakah Gubernur Sumatera Selatan ?
Pernyataan a) adalah persamaan (dapat dikelompokkan kedalam kalimat berita)
tetapi dapat mengandung dua nilai kebenaran yaitu salah atau benar, tergantung dari
nilai peubah-peubahnya. Jadi pernyataan a) bukan proposisi. Pernyataan b) juga
bukan proposisi karena nama Ali dan Badu lebih dari satu, sehingga kita tidak dapat
menentukan apakah Ali yang lebih kaya dari Badu atau sebaliknya. Sedangkan c)
bukan kalimat pernyataan (tapi pertanyaan), sehingga bukan proposisi.
Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti : p, q, r, dst. Jika kita
ingin menyatakan suatu proposisi p sebagai : Tiga belas adalah bilangan ganjil, maka
dapat ditulis sebagai berikut :
p : Tiga belas adalah bilangan ganjil.
(dibaca : p adalah proposisi tiga belas adalah bilangan ganjil).
Jika kita ingin menyatakan proposisi q sebagai : Palembang adalah kota yang
berbukit-bukit, maka kita tulis :
q : Palembang adalah kota yang berbukit-bukit.
( dibaca : q adalah proposisi Palembang adalah kota yang berbukit-bukit)
matematika diskrit
1
1.2 Proposisi Majemuk
Dalam kegiatan sehari-hari kita sering menggabungkan beberapa proposisi dengan
menggunakan kata hubung dan dan atau. Sebagai contoh jika terdapat dua buah
proposisi :
p : Kuliah hari ini sudah selesai
q : Saya akan pulang
Maka kita dapat menggabungkannya dengan menggunakan kata hubung dan yaitu :
“Kuliah hari ini sudah selesai dan saya akan pulang.” Gabungan atau kombinasi dari
satu beberapa proposisi disebut proposisi majemuk. Dalam ilmu logika penghubung
dari beberapa proposisi terdiri dari simbol-simbol seperti yang ditunjukkan pada
tabel 1.1 berikut.
Tabel 1.1 Penghubung proposisi
Simbol
Arti
Dibaca
Negasi
tidak / bukan

Konjungsi
dan

Disjungsi
atau

Implikasi (kondisi tunggal)
jika . . . maka . . . atau . . . hanya jika . . .

Bi-implikasi (kondisi ganda)
. . . jika dan hanya jika . . .
Simbol “ ” berarti tidak atau bukan ( sering dibaca negasi ). Misal terdapat proposisi
“Mahasiswa libur kuliah”. Negasi dari proposisi tersebut adalah :”Mahasiswa tidak
libur kuliah”. Jika mahasiswa libur kuliah adalah proposisi p, maka p : Mahasiswa
tidak libur kuliah.
Simbol “” (konjungsi) dibaca dan dan simbol “” (disjungsi) dibaca atau. Jika
terdapat proposisi p : “Saya memesan es jeruk” dan proposisi q : “Saya memesan es
buah”. Maka dapat dibentuk suatu proposisi majemuk konjungsi seperti : Saya
memesan es jeruk dan es buah. Dalam bentuk simbol menjadi p  q. Selain itu kita
juga dapat membentuk proposisi majemuk disjungsi seperti : Saya memesan es jeruk
atau es buah. Dalam bentuk simbol dapat ditulis p  q.
Contoh 1.3
Misal
r : Ali adalah orang pintar
s : Ali adalah orang kaya
Tulis pernyataan berikut secara simbolik :
a) Ali adalah orang miskin tapi pintar.
b) Ali adalah orang kaya dan pintar
c) Ali adalah orang bodoh atau miskin
d) Ali adalah orang miskin atau dia kaya tapi bodoh
Jawab
a) s  r
b) s  r
c) r  s
d) s  (s  r )
matematika diskrit
2
Simbol  adalah simbol implikasi dan dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . .
hanya jika . . .”. Sebagai contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat ditulis
dalam bentuk simbol menjadi p  q. Proposisi p disebut hipotesis (anteseden),
sedangkan q disebut konklusi (konsekuen). Proposisi majemuk implikasi disebut
juga proposisi bersyarat.
Dalam penggunaan sehari-hari kata jika ekivalen dengan bila. Dalam suatu
pernyataan mungkin kata maka tidak dinyatakan secara eksplisit. Contohnya “Bila
kamu menangis , hatiku sedih”. Pernyataan tersebut dapat ditulis menjadi “Jika kamu
menangis maka hatiku sedih”. Misal proposisi “bila kamu menangis” adalah
proposisi r dan “hatiku sedih” adalah proposisi s, maka proposisi majemuk tersebut
dapat ditulis menjadi “Bila kamu menangis, hatiku sedih” atau dalam bentuk simbol
dapat ditulis menjadi r  s.
Simbol  adalah simbol bi-implikasi dan dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”. Jika
terdapat proposisi majemuk “m jika dan hanya jika n”, maka kita dapat menulisnya
dalam bentuk simbol m  n atau dalam bentuk (m  n)  (n  m). Proposisi
majemuk bi-implikasi disebut juga proposisi dwi-syarat.
Nilai kebenaran dari masing-masing proposisi majemuk dapat dilihat pada tabel 1.2
berikut ini.
Tabel 1.2 Tabel kebenaran
p
q
pq
pq
pq
pq
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T = True (Benar) ; F = False (Salah)
Dari tabel 1.2 dapat dilihat nilai kebenaran masing-masing proposisi majemuk.
Propopsisi p  q akan bernilai benar (T) jika salah satu dari p atau q atau keduaduanya benar. Jika kedua-dua p dan q bernilai salah (F) maka proposisi p  q akan
bernilai salah. Proposisi majemuk p  q akan bernilai benar jika kedua-dua proposisi
p dan q bernilai benar. Jika syarat tsb. tidak terpenuhi maka nilai kebenaran p  q
mempunyai nilai salah. Proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai kebenaran benar
apabila nilai kebenaran hipotesis sama dengan nilai kebenaran konklusi, atau nilai
kebenaran hipotesis bernilai salah. Diluar ketentuan tersebut maka proposisi p  q
mempunyai nilai kebenaran salah. Terakhir adalah proposisi bi-implikasi p  q.
Proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran benar (T) apabila nilai kebenaran p
dan q sama. Jika tidak sama maka nilai kebenaran proposisi majemuk p  q akan
bernilai salah.
Contoh 1.4
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi majemuk berikut dengan
menggunakan tabel kebenaran !
a) (p  q)
b) (p  q)
c) (p  q)  (p  q)
d) (p  q)
Penyelesaian :
matematika diskrit
3
p
q
p
q
(p  q)
(p  q)
(p  q)  (p  q)
(p  q)
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
T
Perlu diperhatikan bahwa jumlah baris tabel kebenaran tergantung dari jumlah
proposisi pada proposisi majemuk. Jika suatu proposisi majemuk terdiri dari dua
proposisi maka jumlah baris tabel kebenaran adalah 4 baris. Jika terdapat tiga
proposisi maka jumlah baris adalah 8. Secara umum jika jumlah proposisi pada
proposisi majemuk adalah n proposisi, maka jumlah baris tabel kebenaran adalah 2n.
Contoh 1.5
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi majemuk :
p  (q  r) dengan menggunakan tabel kebenaran !
Penyelesaian :
p
q
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
r
p
r
q r
(q  r)
p  (q  r)
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
F
Soal-soal
1. Jika proposisi :
p bernilai benar (T)
q bernilai salah (F)
r bernilai benar (T)
s bernilai salah (F)
Tentukan nilai kebenaran setiap proposisi majemuk berikut !
a) (p  q)  (r  s)
e) (p  q)  (q  r)
b) (p  q)  (r  s)
c) (p  q)  (r  s)
d) (p  q)  (r  s)
f) p  (q  r )  (r  s)
g) ((p  q)  r)  (q  (r  s))
h) (p  (q  r))  (p  q)  (r  s)
e) (p  q)  (r  s)
i) ( (p  q)  (r  s))  (p  q)  (r  s)
2. Dengan menggunakan tabel, tentukan nilai kebenaran dari proposisi berikut !
a) (p  q)  (q  r)  (q  r  s)
b) (p  q  r)  (p  q  r)  (q  r)
1.3 Ekuivalensi dua proposisi
Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen secara logika apabila kedua proposisi
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Jika proposisi p ekivalen secara
logika – sering disebut ekivalen saja – dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb. dapat
ditulis sebagai p  q atau dapat menggunakan lambang bi-implikasi seperti p  q.
matematika diskrit
4
Contoh 1.5
Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukan apakah pasangan proposisiproposisi berikut ekuivalen.
a) (p  q) dengan (p  q)
b) (p  q) dengan (p  q)
c) p  q dengan (p  q)  (q  p)
d) p  q dengan (p  q)  (q  p)
Penyelesaian :
a)
p
q
p
q
pq
(p  q)
p q
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T
Jika kita perhatikan kolom 6 dan 7 nilai kebenaran (p  q) sama dengan nilai
kebenaran p  q . Sehingga disimpulkan (p  q) ekuivalen dengan (p  q) . Dalam
bentuk simbol dapat ditulis (p  q)  (p  q) atau (p  q)  (p  q)
b)
p
q
p
q
pq
(p  q)
pq
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
T
Nilai kebenaran kolom 6 dan 7 sama, sehingga disimpulkan (p  q)  (p  q)
atau (p  q)  (p  q)
c)
p
q
pq
pq
qp
(p  q)  (p  q)
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
Nilai kebenaran kolom 3 sama dengan kolom 6, sehingga dapat disimpulkan
bahwa (p  q)  ((p  q)  (p  q)) atau (p  q)  ((p  q)  (p  q)).
d)
p
q
pq
pq
qp
(p  q)  (p  q)
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
T
Karena nilai kebenaran kolom 3 tidak sama dengan kolom 6, maka dapat
disimpulkan bahwa (p  q)  ((p  q)  (p  q))
matematika diskrit
5
1.4 Hukum-hukum Ekuivalensi Logika
No
Hukum
Bentuk ekuivalensi
1
Komutatif
2
Asosiatif
3
Distributif
4
Identitas
5
Ikatan
6
Negasi
pq  qp
pq  qp
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  True  p
p  False  p
p  True  True
p  False  False
p  p  True
7
Negasi Ganda
( p)  p
8
Hukum Idempoten
9
Hukum De Morgan
10
Penyerapan
11
Negasi True dan False
p  p  False
ppp
ppp
(p  q)  p  q
(p  q)  p  q
p(pq)p
p(pq)p
TF
FT
(p  q)  (p  q)
(p  q)  (p  q)  (q  p)
12
Contoh 1.6
Buktikan ekuivalensi proposisi-proposisi berikut dengan menggunakan hukumhukum yang ada.
a) (p  q)  (p  q)  p
b) (p  q)  (p  q)  q
Penyelesaian :
a) (p  q)  (p  q)
 (p  q)  (p  q)
p( q q)
p(q q )
pT
p
b) (p  q)  (p  q)
 (p  q )  (p  q)
 q  (p  p)
 q  (p  p)
 q T
q
Gunakan Hukum De Morgan
Gunakan Hukum Distributif
Gunakan Hukum Komutatif
Gunakan Negasi
Gunakan Hukum Identitas
Terbukti
Gunakan Hukum De Morgan
Gunakan Hukum Distributif
Gunakan Hukum Komutatif
Gunakan Hukum Komutatif
Gunakan Hukum Identitas
Terbukti
matematika diskrit
6
Soal-soal
Tentukan apakah pasangan proposisi-proposisi berikut ekuivalen !
1. p  q dengan p  q
2. (p  q)  (p  q) dengan p
3. (p  q)  (p  q) dengan p
4. (p  q  (p  (p  q)) dengan p  q
1.5 Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk
setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. Sebaliknya kontradiksi selalu
mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi
pembentuknya. Jika kita ingin membuktikan apakah suatu proposisi majemuk adalah
tautologi atau bukan, kita dapat menggunakan tabel nilai kebenaran. Jika nilai yang
kita dapatkan pada kolom proposisi majemuk tersebut selalu T (benar), maka
proposisi majemuk tersebut adalah tautologi. Kita juga dapat menggunakan hukumhukum yang ada. Jika akhir dari pembuktiannya menghasilkan T maka proposisi
tersebut adalah tautologi. Cara yang sama dapat digunakan untuk membuktikan
kontradiksi. Bedanya hanya terletak pada hasil akhir saja, yaitu selalu F (salah).
Contoh 1.7
1. Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa : ( p  q )  q adalah
tautologi !
2. Dengan menggunakan hukum-hukum yang ada buktikan bahwa proposisi
p  (q  q) adalah kontradiksi !
Jawab
1.
p
q
pq
(pq)q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
Karena semua kolom ( p  q )  q bernilai benar maka ( p  q )  q adalah
tautologi.
2. p  (q  q)  p  (q  q)
pF
F
Karena p  (q  q) ekuivalen dengan nilai F (salah) maka p  (q  q) adalah
kontradiksi.
Soal-soal
Gunakan hukum-hukum yang berlaku untuk menentukan apakah proposisi berikut
tautologi atau kontradiksi !
1. (p  q)  (p  q)
2. (p  (p  q))
3. (p  q )  (p  q )
4. (p  q)  (p  q)
matematika diskrit
7
1.6 Konvers, Invers dan Kontraposisi
Jika terdapat proposisi bersyarat (implikasi) p  q, maka kita dapat menentukan
konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi tersebut sebagai berikut :
Jika terdapat implikasi p  q
Maka : konversnya adalah
qp
inversnya adalah
p q
kontraposisinya adalah q  p
Nilai kebenaran dari konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat pada tabel 1.5.
Tabel 1.5
p
q
T
T
F
F
F
T
F
T
p
q
pq
qp
p q
q p
F
F
T
T
T
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
Dari tabel diatas terlihat bahwa nilai kebenaran implikasi sama dengan kontraposisi.
Jadi dapat disimpulkan bahwa (p  q)  ( q  p ). Jika kita amati, nilai kebenaran
kolom 6 dan 7 ternyata sama. Berarti q  p  p  q . Hal ini bukanlah sesuatu yang
baru. Tetapi sesuai dengan pernyataan bahwa implikasi ekuivalen dengan
kontraposisinya. Jika kita misalkan q  p adalah implikasi, maka kontraposisinya
adalah p  q . Jadi memang semestinya nilai kebenaran q  p selalu sama dengan
p q.
Contoh 1.8
Jika n adalah bilangan prima  3, maka n adalah bilangan ganjil.
Tentukan konvers, invers dan kontraposisinya !
Jawab
Misal
p : n adalah bilangan prima  3
q : n adalah bilangan ganjil
Implikasi: p  q (jika n adalah bilangan prima  3 maka n adalah bilangan ganjil)
Konvers : q  p (jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima  3)
Invers : p  q (jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil)
Kontraposisi : q  p (jika n bukan bilanganganjil maka n bukan bilangan prima  3)
1.7 Inferensi logika
Telah disebutkan sebelumnya bahwa logika adalah ilmu yang berhubungan dengan
pernyataan-pernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau rumus-rumus, sehingga kita
dapat mengambil kesimpulan apakah suatu pernyaatan bernilai benar atau salah.
1.7.1 Validitas suatu argumen
Argumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan. Pernyataan terakhir disebut
kesimpulan, sedangkan pernyataan sebelumnya disebut hipotesa atau premis.
Sebagai contoh :
p1 

p2 
 hipotesa atau premis
... 
p n 
q
(kesimpulan)
Hipotesa atau premis dan kesimpulan disebut argumen. Jika dari suatu
argumen semua hipotesanya benar dan kesimpulannya juga benar maka
matematika diskrit
8
dikatakan argumen tersebut valid. Sebaliknya jika hipotesa bernilai benar dan
kesimpulan nya salah, maka argumen tersebut tidak valid. Berikut diberikan
tuntunan untuk menentukan apakah suatu argumen dikatakan valid atau
invalid.
a) Tentuka hipotesa dan kesimpulan kalimat
b) Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan
kesimpulan.
c) Tandai baris kritis, yaitu baris yang nilai kebenaran hipotesa bernilai T
(benar).
d) Jika semua kesimpulan pada baris kritis tersebut bernilai benar maka
argumen bernilai valid. Jika ada kesimpulan pada baris kritis bernilai salah
maka dikatakan argumen invalid.
Contoh 1.9
Tentukan apakah argumen berikut valid atau invalid.
p  (q  r )
r
p  q
Penyelesaian :
Untuk menentukan apakah argumen tersebut diatas valid atau invalid kita
lengkapi tabel berikut :
pq
No.
p
q
r
p  (q  r )
1
2
3
4
5
6
7
8
T
T
T
T
F
F
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
1.7.2 Metode-metode Inferensi (penyimpulan)
1.7.2.1 Modus Ponens
Misal hipotesis (anteseden) p pada implikasi p  q bernilai benar. Agar
proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai benar, maka q harus bernilai
benar. Secara simbolik modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut.
pq
p
q
Hal ini dapat lebih jelas jika kita menggunakan tabel kebenaran seperti
berikut ini.
No.
p
q
p
q
pq
1
2
3
4
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
F
Contoh 1.10
Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan tersebut adalah
bilangan genap.
Suatu bilangan habis dibagi dua
Bilangan tersebut adalah bilangan genap
matematika diskrit
9
1.7.2.2 Modus Tollens
Sebetulnya modus Tollens mirip dengan modus Ponens. Bedanya
terletak pada hipotesa kedua dan kesimpulan. Hipotesa kedua dan
kesimpulan merupakan negasi dari masing-masing proposisi pada
hipotesa pertama. Dalam bentuk simbol modus Tollens dapat ditulis
sebagai berikut :
pq
q
p
Modus Tollens dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran
seperti berikut ini.
No.
p
q
pq
q
p
1
2
3
4
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
Contoh 1.11
Jika suatu zat adalah zat cair maka zat tersebut dapat mengalir.
Suatu zat tidak dapat mengalir.
Zat tersebut bukan zat cair
1.7.2.3 Penambahan Disjungtif
Bentuk umum penambahan disjungtif adalah sebagai berikut :
a) p
b) q
 pq
 pq
Contoh 1.12
Ali menguasai bahasa Pascal.
Ali menguasai bahasa Pascal atau Basic
1.7.2.4 Penyederhanaan Konjungtif
Bentuk umum penyederhanaan konjungtif adalah sebagai berikut :
a) pq
b) p  q
p
q
Contoh 1.13
Ali menguasai bahasa Pascal dan bahasa Basic
Ali menguasai bahasa Pascal
1.7.2.5 Silogisme
Silogisme merupakan bentuk inferensi (penyimpulan ) tidak langsung
yang dilakukan dengan cara menyimpulkan dua hipotesis yang
dihubungkan dengan cara tertentu.
1.7.2.5.1 Silogisme Disjungtif
Silogisme disjungtif adalah peristiwa memilih diantara dua
pilihan. Jika kita harus memilih diantara p atau q dan misalnya
kita tidak memilih p tentulah pilihan kita adalah q. Secara
simbolik dapat ditulis sebagai berikut :
a) p  q
b) p  q
p
q
p
q
matematika diskrit
10
Contoh 1.14
Amir menguasai bahasa Pascal atau Basic.
Amir tidak menguasasi bahasa Pascal.
Amir menguasai bahasa Basic
1.7.2.5.2 Silogisme Hipotesis
Prinsip penyimpulan silogisme hipotesis adalah sebagai berikut
Jika nilai kebenaran dari implikasi p  q dan q  r adalah
benar, maka implikasi p  r bernilai benar pula. Dalam bentuk
simbol penyimpulan silogisme dapat ditulis sebagai berikut :
pq
qr
p  r
Contoh 1.15
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka bilangan tersebut
habis dibagi 3.
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 3 maka jumlah digitdigitnya habis dibagi 3.
Jika suatu bilangan bulat habis dibagi 9 maka jumlah digitdigitnya habis dibagi 3
1.7.2.6 Dilema
Dilema mempunyai bentuk campuran antara silogisme disjungtif dan
silogisme hipotesis.Dalam bentuk simbolik dilema mempunyai bentuk :
pq
pr
qr
r
Contoh 1.16
Menurut ramalan, tahun depan negara kita akan mengalami kemarau
panjang atau banjir.
Jika kemarau panjang hasil pertanian gagal.
Jika banjir hasil pertanian gagal.
 Tahun depan hasil pertanian gagal.
1.7.2.7 Konjungsi
Penghubung konjungsi sebenarnya telah dibahas sebelumnya. Bila
terdapat proposisi p dan q, maka kombinasi antar keduanya dapat
dihubungkan dengan menggunakan penghubung “”. Jika proposisi p
dan q keduanya bernilai benar maka p  q pastilah mempunyai nilai
kebenaran benar pula. Dalam bentuk simbol dapat ditulis,
p
q
p  q
Untuk menyederhanakan berikut dibuat tabel dari metode inferensi yang telah
dijelaskan.
matematika diskrit
11
Tabel 1.6 Ringkasan metode inferensi
Metode
Bentuk Argumen
pq
p
q
Modus Ponen
pq
q
Modus Tollen
p
p
Penambahan Disjungtif
Penyederhanaan Konjungtif
Silogisme Disjungtif
q
p  q
p  q
pq
p
pq
q
pq
p
q
pq
q
p
pq
qr
pr
Silogisme Hipotesis
pq
pr
qr
r
p
q
pq
Dilema
Konjungsi
Contoh 1.17
Suatu hari ketika saya hendak berangkat ke kampus saya sadar bahwa saya
tidak memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang
saya pastikan kebenarannya, yaitu :
a) Jika kacamataku ada di meja dapur, maka saya pasti telah melihatnya
ketika sarapan pagi.
b) Saya membaca koran di ruang tamu atau di dapur.
c) Jika saya membaca koran di ruang tamu maka pasti kacamata kuletakkan di
meja tamu.
d) Saya tidak melihat kacamataku sewaktu sarapan pagi.
e) Jika saya membaca buku diatas tempat tidur maka kacamata kuletakkan di
meja samping tempat tidur.
f) Jika saya membaca koran di dapur maka kacamataku ada di meja dapur.
Berdasarkan fakta-fakta tersebut diatas, tentukan di mana letak kacamataku !
Jawab
Pertama-tama kita tulis kalimat-kalimat pernyataan diatas dalam bentuk
simbol-simbol, yaitu :
p : Kacamataku ada di meja dapur
q : Saya melihat kacamataku ketika sarapan pagi
r
: Saya membaca koran di ruang tamu
matematika diskrit
12
s
t
u
v
: Saya membaca koran di dapur
: Kacamata kuletatakkan di meja tamu
: Saya membaca buku diatas tempat tidur
: Kacamata kuletakkan di meja samping tempat tidur
Selanjutnya fakta-fakta yang telah disebut diatas ditulis dalam bentuk simbol,
yaitu :
a) p  q
d) q
b) r  s
e) u  v
c) r  t
f) s  p
Kesimpulan :
1. Dari fakta a) dan d) gunakan Modus Tollen
pq
q
p
(kacamataku tidak ada di meja dapur)
2. Dari fakta f) dan kesimpulan 1) gunakan Modus Tollen
sp
p
s
(Saya tidak membaca koran di dapur)
3. Dari fakta b) dan kesimpulan 2) gunakan Silogisme disjungtif
rs
s
r
(Saya membaca koran di ruang tamu)
4. Dari fakta c) dan kesimpulan 3) gunakan Modus Ponen
rt
r
t
( Kacamataku kuletakkan di meja tamu)
Soal-soal
1. Misal :
p : Amir sedang mengikuti kuliah di kelas
q : Amir ada di rumah
r : Amir sedang mengerjakan tugas dari dosen
s : Amir sedang mendengar radio
t : Amir ada di kampus
Dengan mengacu pada kalimat-kalimat diatas, tulis pernyataan-pernyataan berikut
dalam bentuk simbol-simbol !
a) Amir ada di kampus dan sedang mengikuti kuliah di kelas.
b) Jika Amir ada di kampus maka dia tidak sedang mendengarkan radio
c) Jika Amir ada di rumah maka dia sedang mendengar radio atau mengerjakan tugas
dari dosen.
d) Amir tidak ada di kampus atau di rumah
e) Amir ada di kampus dan sedang mengikuti kuliah di kelas.
f) Amir ada di rumah sambil mendengarkan radio.
matematika diskrit
13
2. Dengan mengacu pada kalimat-kalimat pada soal nomor 1, tulis simbol-simbol berikut
menjadi pernyataan-pernyataan yang sesuai !
a) t  p
b) q  (r  s)
c) (q  r)  (t  p)
d) q  t
3. Buat tabel kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut !
a) (p  q)
c) p  (p  q)
e) (p  q)  (p  q)
b) (p  q)  p
d) p  q
f ) (p  q)  (p  q)
4. Buktikan bahwa :
a) (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q) adalah tautologi
b) (p  q)  (p  q) adalah kontradiksi
5. Tentukan apakah pasangan pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen !
a) (p  q)  (p  r )  (p  q) dengan ( p  r )
b) (p  q )  (p  (p  q )) dengan p  q
6. Tulis konvers, invers dan kontraposisi dari soal 2b) dan 5b).
7. Gunakan prinsip-prinsip inferensi untuk menurunkan s dari hipotesa-hipotesa :
(s  q)  p
a
pa
8. Perhatikan hipotesa-hipotesa di bawah ini !
a) Jika saya rajin belajar atau jika saya jenius maka saya lulus ujian matematika
b) Saya tidak diizinkan mengambil mata kuliah Matematika Diskrit
c) Jika saya lulus matematika maka saya diizinkan mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit
d) Saya tidak rajin belajar
Misal :
p : Saya rajin belajar
q : Saya jenius
r : Saya lulus ujian matematika
s : Saya diizinkan mengambil mata kuliah Matematiak Diskrit
Pertanyaan :
a) Nyatakan kalimat-kalimat diatas dengan simbol-simbol logika
b) Apakah saya jenius
1.8 Kuantor
Pada pembahasan pasal sebelumnya kita telah membahas proposisi dan proposisi
majemuk. Akan tetapi pembahasan tersebut tidak menjelaskan tentang banyaknya
(kuantitas) yang terlibat dalam pembahasan. Untuk menyatakan kuantitas maka kita
gunakan kuantor (quantifier). Kuantor adalah kata yang menunjuk banyaknya satuan
yang diikat oleh subjek.
1.8.2 Kalimat Berkuantor Tunggal
Jika kita amati proposisi tidak dapat memberikan pernyataan-pernyataan yang
berhubungan dengan matematika dan/atau ilmu komputer. Padahal dalam
banyak hal pernyataan-pernyataan dalam matematika dan/atau ilmu komputer
dinyatakan dalam bentuk rumus-rumus. Sebagai contoh, pernyataan dalam
bentuk x2 + 3x – 10 = 0 dapat bernilai benar atau salah. Jadi pernyataan
tersebut bukan proposisi. Jika kita ambil nilai x = -5 dan 2, maka pernyataan
tersebut benar. Akan tetapi jika kita ambil nilai x  -5 atau  2 maka
matematika diskrit
14
pernyataan tersebut menjadi salah. Jadi pernyataan tersebut benar untuk
sebagian nilai x dan salah untuk sebagian nilai x lainnya. Contoh lainnya x2 
0. Pernyataan ini benar jika daerah asalnya adalah bilangan riil. Jika daerah
asalnya adalah bilangan imajiner maka pernyataan ini salah. Artinya untuk
sebagian bilangan pernyataan tersebut benar sedangkan untuk sebagian lainnya
adalah salah. Untuk menyatakan kuantitas yang terlibat dalam pembahasan
maka kita gunakan simbol kuantor, yaitu  dan . Simbol  disebut kuantor
universal dan simbol  adalah kuantor eksistensial. Kuantor universal ()
menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat dari
kalimat yang menyatakannya. Sedangkan kuantor eksistensial ()
menunjukkan bahwa sebagian (setidak-tidaknya satu objek) dalam semestanya
memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya.
Misal terdapat kalimat berkuantor (xD), p(x). Nilai kebenaran kalimat
tersebut adalah benar jika dan hanya jika nilai p(x) benar untuk setiap x dalam
semesta D dan bernilai salah apabila setidak-tidaknya ada satu x dalam
semesta D yang menyebabkan p(x) salah. Nilai x yang menyebabkan p(x)
bernilai salah disebut contoh penyangkal (counter example). Umumnya peubah
x pada p(x) disebut peubah bebas. Sedangkan peubah x pada (xD), p(x)
disebut peubah tak bebas.
Kalimat berkuantor (xD), p(x) mempunyai nilai benar jika dan hanya jika
setidak-tidaknya ada satu x dalam semestanya yang menyebabkan p(x) benar
dan bernilai salah apabila semua x dalam semestanya bernilai salah. Dengan
adanya kuantor maka p(x) dapat bernilai benar saja atau salah saja; tidak
keduanya. Untuk p(x) yang memenuhi proposisi disebut fungsi proposional.
Contoh 1.18
Misal terdapat proposisi p : Makhluk hidup akan mati.
Jika makhluk hidup kita ganti dengan x, maka pernyataan asal dapat ditulis
menjadi p(x) : x akan mati. Karena kita mengetahui bahwa semua makhluk
hidup akan mati, maka pernyataan diatas dapat ditulis menjadi xD, p(x).
Contoh 1.19
Misal terdapat proposisi p : Manusia disiplin.
Jika manusia kita ganti dengan x, maka pernyataan asal dapat ditulis menjadi
p(x) : x disiplin. Kita telah mengetahui bahwa hanya sebagian manusia yang
disiplin, maka pernyataan diatas dapat kita tulis menjadi : x, p(x).
Contoh 1.20
Nyatakan kalimat berkuantor berikut dalam bahasa sehari-hari !
a) xbilangan ril, x2  0
b) xbilangan ril, x2  0
c) mbilangan bulat, m2 = m
Penyelesaian :
a) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tak negatif
b) Semua bilangan ril x mempunyai kuadrat tidak sama dengan nol.
c) Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Contoh 1.21
a) Misal D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa pernyataan
mD, m2 = m bernilai benar.
b) Misal E adalah himpunan bilangan bulat antara 6 dan 10. Buktikan bahwa
kalimat mE, m2 = m bernilai salah.
matematika diskrit
15
Bukti :
a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1. Sehingga untuk m=1, m2 = m.
(terbukti)
b) Untuk m = 7 , m2 = 49
m = 8 , m2 = 64
m = 9 , m2 = 81
Tidak ada bilangan bulat antara 6 dan 10 yang memenuhi m2 = m.
Sehingga pernyataan m, m2 = m bernilai salah (terbukti).
1.8.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor
Misal terdapat pernyataan “Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit”.
Pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang salah jika setidaktidaknya terdapat satu mahasiswa yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit.
Perlu diingat bahwa nilai kebenaran yang salah merupakan ingkaran dari nilai
kebenaran yang benar. Jadi ingkaran dari “Semua mahasiswa lulus ujian
Matematika Diskrit” adalah “Ada mahasiswa yang tidak lulus ujian
Matematika Diskrit”.
Jika p : Semua mahasiswa lulus ujian Matematika Diskrit dan p(x) : “x lulus
ujian Matematika Diskrit”, maka dalam bentuk simbolik pernyataan tersebut
dapat kita tulis menjadi xmahasiswa, p(x). Sedangkan “Ada mahasiswa
yang tidak lulus ujian Matematika Diskrit” dapat ditulis dalam bentuk simbol
menjadi xmahasiswa, p( x ) . Jika semesta pembicaraan sudah jelas, bisanya
tidak dicantumkan lagi pada penulisannya. Jadi xmahasiswa, p(x) sering
ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana seperti : x, p(x).
Secara umum ingkaran dari kalimat berkuantor adalah sebagai berikut :
x , p( x )  x , p( x )
x , p( x )  x , p( x )
Contoh 1.22
Tulis ingkaran dari kalimat-kalimat berikut :
a) Semua orang sukses rajin bekerja
b) Sebagian ahli matematika adalah orang malas
c) Ada bilangan ril merupakan bilangan rasional.
Jawab
a) Misal p(x) : “x rajin bekerja”. Maka kalimat a) dapat kita tulis dalam bentuk
simbol : xorang sukses, p(x) atau x, p(x).
Ingkaran x, p(x) adalah x , p( x )  x , p( x )
b) Misal q(x) : “x adalah orang malas”. Maka kalimat b) dapat ditulis dalam
bentuk simbol menjadi : xahli matematika, q(x) atau x, q(x).
Ingkaran x , q ( x )  x , q ( x ) .
c) Misal r(x) : “x merupakan bilangan rasional”. Kalimat tersebut dapat ditulis
dalam bentuk simbol menjadi : xbilangan ril, r(x) atau x, r(x).
Ingkaran x , r ( x )  x , r ( x ) .
Contoh 1.23
Tulis kalimat-kalimat berikut dengan menggunakan simbol-simbol, kemudian
tulis ingkarannya ( semestanya adalah himpunan bilangan bulat).
a) Untuk setiap x, jika x bilangan ganjil maka x2 + 1 bilangan ganjil juga.
matematika diskrit
16
b) Ada beberapa x sedemikian sehingga x merupakan bilangan genap dan x
merupakan bilangan ganjil.
Jawab
a) Misal p(x) : x bilangan ganjil
q(x) : x2 + 1 bilangan ganjil
x, (p(x)  q(x))
Ingkarannya : x, (p( x )  q( x ))  x, (p( x )  q( x ))  x, (p(x)  q( x ) )
Ada beberapa bilangan bulat x yang merupakan bilangan
ganjil, tetapi (x2 + 1) bukan merupakan bilangan ganjil.
b) Misal r(x) : x bilangan genap
s(x) : x bilangan ganjil
Kalimat semula : x, (r(x)  s(x))
Ingkarannya : x , (r ( x )  s( x ))  x, (r ( x )  s( x ))  x, ( r ( x )  s( x ) )
Semua bilangan bulat x bukan merupakan bilangan genap
atau bukan merupakan bilangan ganjil.
1.8.4 Kalimat Berkuantor Ganda
Kalimat berkuantor ganda adalah kalimat yang menggunakan lebih dari satu
kuantor. Secara umum ekuivalensi dari kalimat berkuantor ganda adalah
sebagai berikut : xy p(x,y)  yx p(x,y)
x y p(x,y)  y x p(x,y)
x y p(x,y)  y x p(x,y)
Sedangkan ekuivalensi dari ingkarannya adalah :
x y p( x, y)  x y p( x, y)
x y p( x, y)  x y p( x, y)
Contoh : 1.24
Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol logika !
a) Setiap bilangan genap sama dengan 2 kali bilangan bulat.
b) Jika setiap dosen bermutu maka semua mahasiswa antusias belajar
Jawab :
a) Misal p(x,y) : x sama dengan 2 kali y
xbilangan genap ybilangan bulat p(x,y) atau disingkat : xy p(x,y)
b) Misal p(x,y) : jika x maka y
xdosen bermutu ymahasiswa antusias belajar p(x,y) atau dapat
disingkat menjadi : xy p(x,y)
Soal-soal :
1. Tulis ingkaran kalimat “Setiap masalah lingkungan bukan suatu tragedi” dalam bentuk
simbol logika !
2. Jika p(x) : x adalah bilangan rasional
q(x) : x adalah bilangan positif
Tulis simbol-simbol logika x (p(x)  q(x))  (q(x)  p(x)) ke dalam bahasa seharihari
matematika diskrit
17
3. Tulis kalimat berkuantor berikut dalam bahasa sehari-hari !
a) dosen x mahasiswa y, x membimbing y
b) bilangan ril x bilangan ril y, x + y = 0
4. Tulis kalimat berikut dengan simbol logika berkuantor ganda. Semesta N adalah
himpunan bilangan asli.
a) Untuk setiap m, n  N terdapat p  N sedemikian sehingga m < p dan p < n
b) Terdapat u  N sedemikian sehingga u.n = n untuk setiap n  N.
matematika diskrit
18