Bab II Sistem Dengan Fase Nonminimum Dan Iterative Learning

Bab II
Sistem Dengan Fase Nonminimum
Dan Iterative Learning Control
Pada bagian ini, akan dibahas sistem plant nonlinear dengan fase non minimum
dan hal-hal yang terkait dengan plant nonlinear. Pembahasan tentang inversi
stabil
dan
iterative
learning
control
diberikan
untuk
menggambarkan
keterkaitannya nanti dengan plant nonlinear berfase nonminimum.
II.1 Linearisasi Masukan Keluaran Pada Sistem Nonlinear Masukan
Tunggal Keluaran Tunggal (SISO)
Perhatikan sistem nonlinear SISO berikut:
x = f ( x) + g ( x)u
x∈
y = h( x)
y∈
n
,u ∈
Linearisasi masukan keluaran merupakan metode untuk membangkitkan suatu
relasi diferensial linear antara keluaran y dengan sebuah masukan baru v dengan
cara mendiferensialkan fungsi keluaran y terhadap waktu berulang kali sampai
muncul masukan u kemudian memilih u sedemikian sehingga u akan
menghilangkan ketaklinearan sistem.
Jika fungsi y = h ( x ) diturunkan terhadap waktu, maka didapat
∂h
x
∂x
∂h
=
⎡ f ( x ) + g ( x ) u ⎤⎦
∂x ⎣
∂h
∂h
=
f ( x) +
g ( x)u
∂x
∂x
= L f h ( x ) + Lg h ( x ) u
y=
Bentuk
∂h
k ( x ) = Lk h ( x ) .
∂y
disebut sebagai turunan Lie dari h terhadap k .
3
Pada linearisasi masukan keluaran ini, diberikan suatu algoritma untuk
mendapatkan masukan untuk sistem nonlinear yang lebih umum.
Berikut ini adalah algoritma linearisasi masukan keluaran. Diberikan sistem
nonlinear :
•
x = f ( x) + g ( x)u
x∈
y = h( x)
y∈
n
,u ∈
Turunkan y terhadap waktu sehingga diperoleh
y = L f h ( x ) + Lg h ( x ) u .
( 2.1)
Jika Lg h ( x ) ≠ 0 untuk setiap x ∈U , pilih
u=
1
⎡ − L f h ( x ) + v ⎤⎦ .
Lg h ( x ) ⎣
sehingga didapat sistem linear masukan keluaran y = v .
•
Jika Lg h ( x ) = 0 pada (2.1), maka turunkan (2.1) terhadap waktu dan
diperoleh
y = L2f h ( x ) + Lg L f h ( x ) u .
( 2.2 )
Jika Lg L f h ( x ) ≠ 0 untuk setiap x ∈U , pilih
u=
1
⎡ − L2f h ( x ) + v ⎤⎦ .
Lg L f h ( x ) ⎣
sehingga didapat sistem linear masukan keluaran y = v .
•
Jika Lg L f h ( x ) = 0 , turunkan lagi (2.2) sampai didapatkan faktor pembagi
yang tak nol.
Jadi, jika r bilangan bulat terkecil sedemikian sehingga Lg Lkf h ( x ) = 0 dan
Lg Lrf−1h ( x ) ≠ 0 untuk setiap x ∈U dengan ( k = 0,1,… ,r − 2 ) , maka pilih
4
u=
1
⎡⎣ − Lrf h ( x ) + v ⎤⎦ .
Lg L h ( x )
r −1
f
yang akan menghasilkan sistem linear orde r
( y( ) = v ) .
r
Diberikan sistem nonlinear berikut :
x = f ( x) + g ( x)u
x∈
y = h( x)
y∈
n
,u ∈
Sistem di atas dikatakan memiliki derajat relatif r di U jika Lg Lkf h ( x ) = 0 dan
Lg Lrf−1h ( x ) ≠ 0 untuk setiap x ∈U dengan ( k = 0,1,… ,r − 2 ) .
Sistem dalam bentuk normal merupakan transformasi koordinat dari sistem awal
yang nantinya akan lebih mudah dianalisis. Perhatikan sistem nonlinear berikut :
x = f ( x) + g ( x)u
x∈
y = h( x)
y∈
n
,u ∈
( 2.3)
Misalkan ξ1 ,ξ 2 ,… ,ξr secara berturutan menyatakan y, y,… , y ( r −1) yaitu
ξ1 = y = h ( x )
ξ2 = y = L f h ( x )
ξ r = y ( r −1) = Lrf−1h ( x )
Pilih fungsi-fungsi η1 ( x ) ,η2 ( x ) ,… ,ηn − r ( x ) sedemikian sehingga
∂ηi ( x )
∂x
g ( x ) = Lgηi ( x ) = 0
( i = 1,2,… ,n − r ) .
Hal ini berarti turunan-turunan dari ηi terhadap waktu tidak bergantung pada u .
Pada koordinat ξ dan η , persamaan sistem (2.3) berubah menjadi bentuk normal
(bentuk kanonik) berikut:
5
ξ1 = ξ 2
ξ 2 = ξ3
=
( 2.4 )
ξ r = a (ξ ,η ) + b (ξ ,η ) u
η = q (ξ ,η )
y = ξ1
dimana
a (ξ ,η ) = Lrf h ( x ) .
b (ξ ,η ) = Lg Lrf−1h ( x ) .
Misalkan y = ξ1 . Jika yd ( t ) = 0 , maka u dapat ditentukan sedemikian sehingga
akan membawa ξ1 ,ξ 2 ,… ,ξr identik dengan nol, yaitu
ξ1 ( t ) = 0,ξ 2 ( t ) = 0,… ,ξ r ( t ) = 0 .
Dengan demikian diperoleh persamaan untuk η yaitu
η = q ( 0,η ) .
Ini disebut sebagai dinamika nol dari sistem.
Dengan cara yang sama, jika yd ( t ) suatu keluaran yang berubah terhadap waktu
(penjejakan keluaran), maka u dapat ditentukan untuk membawa ξ j menuju
yd(
i −1)
( t ) = ξid ( t ) .
dimana i = 1,2,… ,r .
Akibatnya diperoleh persamaan untuk η :
η = q (ξd ,η ) .
Ini disebut sebagai dinamika internal (internal dynamics) dari sistem.
Definisi 2.1 Dinamika nol (zero dynamics) merupakan dinamika internal suatu
sistem ketika keluarannya dijaga nol oleh masukannya.
Artinya, y ( t ) = 0 untuk setiap t ≥ 0 . Oleh karena itu, turunan y terhadap waktu
untuk semua orde adalah nol. Jika sistem memiliki derajat relatif r , maka
6
y ( t ) = 0 , y ( t ) = 0,… , y ( r −1) ( t ) = 0 untuk setiap t ≥ 0 . Dalam koordinat normal
didapatkan :
⎡ξ1 ( t ) ⎤ ⎡ y ( t ) ⎤ ⎡0 ⎤
⎢
⎥ ⎢ y t ⎥ ⎢ ⎥
⎢ξ 2 ( t ) ⎥ = ⎢ ( ) ⎥ = ⎢0 ⎥
⎥ ⎢0⎥
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢ ( r −1) ⎥ ⎢ ⎥
( t )⎥⎦ ⎣0⎦
⎣⎢ξ r ( t ) ⎦⎥ ⎢⎣ y
untuk setiap t ≥ 0
sehingga ξ ( t ) = 0 untuk setiap t ≥ 0 .
Perhatikan kembali sistem (2.4), dimana dinamika internal dari sistem (2,3)
dinyatakan oleh :
η = q (ξd ,η ) .
Agar keluaran sistem selalu bernilai nol, haruslah ξ ( t ) = 0 untuk setiap t ≥ 0 .
Oleh karena itu dinamika nol dari sistem (2.3) adalah η = q ( 0,η ) .
Jika η = q ( 0,η ) stabil asimtotik, maka sistem (2.3) dikatakan berfase minimum.
Jika η = q ( 0,η ) tidak stabil, maka sistem (2.3) dikatakan berfase nonminimum.
II.2 Inversi Stabil
Perhatikan sistem nonlinear SISO berikut :
x = f ( x) + g ( x)u
y = h( x)
dengan derajat relatif r di U ⊆
n
( 2.5)
. Dalam hal ini, akan ditentukan syarat awal
dan masukan kontrol u ( t ) agar keluaran sistem y ( t ) melakukan penelusuran
eksak (dipaksa menuju jalur) pada keluaran yang diinginkan yd ( t ) . Untuk itu
asumsikan y ( t ) identik dengan yd ( t ) :
y ( t ) = yd ( t ) untuk setiap t ≥ 0 .
Maka
y(
k)
( t ) = yd( k ) ( t )
untuk setiap t ≥ 0 dimana k = 0,1,… ,r − 1 .
7
( 2.6 )
Oleh karena itu
y(
k)
( 0 ) = yd( k ) ( 0 )
dengan k = 0,1,… ,r − 1 .
merupakan syarat awal terjadinya penelusuran eksak. Dalam koordinat normal,
(2.6) dapat ditulis sebagai
⎡ yd ( t ) ⎤
⎢
⎥
yd ( t ) ⎥
⎢
ξ ( t ) = ξd ( t ) = ⎢
⎥
⎢ ( r −1) ⎥
⎢⎣ yd ( t ) ⎥⎦
untuk setiap t ≥ 0 .
sehingga masukan kontrol u ( t ) harus memenuhi :
yd( ) ( t ) = a (ξ d ,η ) + b (ξ d ,η ) u ( t ) .
r
dan diperoleh masukan kontrol
u (t ) =
1
⎡ yd( r ) ( t ) − a (ξ d ,η ) ⎤ .
⎦
b (ξ d ,η ) ⎣
dengan η solusi persamaan
η = q (ξd ,η ) .
dengan η ( 0 ) sebarang. Dalam hal ini, η berfungsi sebagai keadaan, ξ d sebagai
masukan dan u sebagai keluaran.
II.3 Iterative Learning Control
Ide dasar dari iterative learning control diilustrasikan pada gambar berikut :
Sistem
uk
Memori
uk+1
Memori
yk
Memori
Learning Control
yd
Gambar II.1. Konfigurasi iterative learning control
8
Semua sinyal yang ditunjukkan diasumsikan terdefinisi pada interval berhingga
⎡0 ,t f ⎤ . Lambang k
⎣
⎦
mengindikasikan banyaknya percobaan atau angka
pengulangan ( k percobaan). Skema diatas beroperasi sebagai berikut : dalam k
percobaan, suatu masukan uk ( t ) diaplikasikan ke sistem, menghasilkan keluaran
yk ( t ) . Semua sinyal ini disimpan pada unit memori sampai percobaan selesai,
dimana mereka diproses secara off-line oleh algoritma ILC (sebenarnya, hal ini
tidak selalu perlu untuk menunggu sampai akhir dari percobaan untuk melakukan
proses, ini bergantung pada agoritma ILC yang digunakan). Berdasarkan pada
galat yang diobservasi antara keluaran yang sebenarnya dan keluaran yang
diinginkan ( ek ( t ) = yd ( t ) − yk ( t ) ), algoritma ILC menghitung satu sinyal
masukan yang dimodifikasi uk +1 ( t ) yang akan disimpan dalam memori sampai
waktu operasi sistem selanjutnya, dimana saat itu sinyal masukan yang baru
diaplikasikan ke sistem. Masukan baru ini didesain sehingga akan menghasilkan
galat yang lebih kecil daripada masukan sebelumnya.
Pendekatan iterative learning control dapat dijelaskan lebih tepat dengan
memperkenalkan suatu notasi tambahan. Misalkan operator linear f : U
Y
merupakan pemetaan elemen pada ruang vektor U ke ruang vektor Y yang
ditulis sebagai
y = f (u ) .
dimana u ∈U dan y ∈ Y . Definisikan norm pada U dan Y dan norm terinduksi
pada f ( ⋅) sebagai berikut. Misalkan diberikan sistem S , yang didefinisikan oleh
y ( t ) = f S ( u ( t ) ,t ) .
Disini diasumsikan f S ( ⋅,t ) adalah suatu operator masukan-keluaran dan bisa
merepresentasikan sistem dinamik dengan cara biasa. Sistem ini diharapkan untuk
membawa keluaran ke respon yang diminta yang didefinisikan oleh yd ( t ) . Hal
ini ekuivalen dengan menentukan masukan optimal u * ( t ) yang memenuhi
9
min yd ( t ) − f S ( u ( t ) ,t ) = yd ( t ) − f S ( u * ( t ) ,t )
u(t )
T
= ∑ yd ( t ) − f S ( u * ( t ) ,t ) .
0
Dalam konteks ini, ILC adalah suatu teknik iteratif untuk menentukan u * ( t )
dimana semua sinyal diasumsikan terdefinisi pada interval hingga ⎡⎣ 0,t f ⎤⎦ .
Pendekatan ILC adalah untuk membangkitkan barisan masukan-masukan uk ( t )
yang akan konvergen ke u * . Jadi
uk +1 ( t ) = f L ( uk ( t' ) , yk ( t' ) , yd ( t' ) ,t )
(
)
= f L uk ( t' ) , f S ( uk ( t' ) ) , yd ( t' ) ,t , t' ∈ ⎡⎣0 ,t f ⎤⎦ .
sehingga
lim uk ( t ) = u * ( t )
k →∞
10
untuk semua t ∈ ⎡⎣0,t f ⎤⎦ .