ANALISIS SOLUSI PERTURBATIF PERSAMAAN

Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012 ANALISIS SOLUSI PERTURBATIF PERSAMAAN GROSS
PITAEVSKII UNTUK BEBERAPA MODE
(Review)
S. Latifah*, T.B. Prayitno, M. A. Marpaung
Kelompok Fisika Teoritik, Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Negeri Jakarta
Jl. Pemuda No. 10 Rawamangun Jakarta 13220
Telp : (62-21) 4894909, Fax : (62-21) 4894909
E-mail : *)[email protected]
ABSTRAK
Di makalah ini diturunkan ulang solusi Perturbatif Persamaan Gross-Pitaevskii untuk beberapa mode yang telah dibahas pada
makalah (Physics Letters A, 278(2001):252-230). Teori perturbatif membahas prosedur sistematis untuk mendapatkan solusi
terdekat terhadap masalah perturbatif dengan membangun pengetahuan solusi eksak dari kasus tidak terperturbatif. Pada
kasus kuantum, perturbatif merupakan gangguan terhadap suatu Hamiltonian energi. Dari sudut pandang yang luas, dinamika
gas-gas yang terjebak dalam perangkap magnetik pada suhu yang sangat rendah dapat dijelaskan oleh persamaan fungsi
gelombang untuk kondensasi yang dikenal dengan Persamaan Gross-Pitaevskii. Persamaan Gross-Pitaevskii adalah
persamaan nonlinear klasik yang mempertimbangkan efek-efek dari interaksi partikel, dan oleh karena itu persamaan ini
dapat diperlakukan sebagai sebuah generalisasi nonlinear, yaitu sebagai osilator kuantum makroskopik. Persamaan GrossPitaevskii memiliki dua aspek penting, yaitu aspek nonlinear yang menunjukkan persamaan nonlinear Schrödinger,
sedangkan aspek linear menunjukkan persamaan Schrödinger dengan potensial osilator harmonik apabila suku nonlinear
dihilangkan. Dalam makalah ini aspek nonlinear dalam persamaan Gross-Pitaevskii dianggap kecil. Osilator harmonik telah
banyak dibahas dalam bidang kuantum dan model-model dari osilator harmonik telah banyak menjelaskan fenomenafenomena mikroskopik.
Kata kunci: Persamaan Gross-Pitaevskii; Solusi Persamaan Schrödinger osilator harmonik; Teori Perturbatif.
1. Pendahuluan
Ide dasar mengenai kondensasi BoseEinstein dimulai pada 1925 saat Albert Einstein
memprediksi kejadian dari sebuah perpindahan fase
di dalam sebuah gas pada atom-atom yang tidak
saling berinteraksi. Ide tersebut muncul berdasarkan
sebuah tulisan seorang fisikawan India yaitu S.N.
Bose pada tahun1924 yang menjelaskan tentang
kuanta cahaya dengan menggunakan penjelasan
statistik. Perpindahan fase yang terjadi dihubungkan
dengan kondensasi atom-atom pada saat keadaan
energi terendah dan merupakan akibat yang
ditimbulkan dari efek statistika kuantum. Untuk
waktu yang lama prediksi-prediksi tersebut tidak
juga memberikan dampak praktis yang berguna bagi
kehidupan. Pada 1938, setelah penemuan
superfluiditas pada helium liquid oleh Allen dan
Misener serta Kapitza, F. London secara tiba-tiba
memiliki intuisi bahwa superfluiditas dapat menjadi
manifestasi dari kondensasi Bose-Einstein. Teori
Superfluida sendiri pertama kali dikembangkan oleh
Landau pada 1941 pada bagian spektrum dari
eksitasi dasar di fluida. Di tahun 1947 didasari dari
konsep kondensasi Bose-Einstein, Bogoliubov
mengembangkan teori mikroskopik pertama pada
gas-gas Bose yang saling berinteraksi. Setelah
Landau dan Lifshitz (1951), Penrose (1951), serta
Penrose dan Onsager (1956) memperkenalkan
konsep orde nondiagonalitas jangka panjang dan
mendiskusikan hubungannya dengan kondensasi
Bose-Einstein. Di tahun-tahun yang sama, studi
eksperimen mengenai superfluida helium semakin
diperbaiki, memeriksa prediksi-prediksi yang
dikemukakan oleh Landau mengenai eksitasi
spektrum dan melengkapi pengukuran-pengukuran
pertama dari fraksi kondensasi pada seluruh
penetuan dari distribusi momentum. Sebuah
perkembangan
penting
berlangsung
dengan
prediksi dari vortisitas yang terkuantisasi oleh
Onsoger (1949) dan Feynman (1955) serta dari
penentuan secara eksperimen yang dilakukan oleh
Hall dan Vinen (1956) [1].
Studi-studi eksperimental pada gas-gas
atom cair semakin banyak dikembangkan, dimulai
pada tahun 1970-an, keuntungan dari teknik-teknik
baru mulai dikembangkan di fisika atom berdasarkan
pada perangkap magnetik dan optik serta tahapan
mekanisme pendinginan. Penelitian pertama kali
difokuskan pada spin hidrogen yang terpolarisasi,
3
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012 dikarenakan massanya yang ringan merupakan hal
yang paling mungkin agar kondensasi Bose-Einstein
terjadi. Dalam perkembangan penelitian atom-atom
hidrogen, pertama kali hidrogen didiginkan dengan
pendingin cair, setelah itu meggunakan perangkap
sebuah medan magnetik dan lebih lanjut
didinginkan dengan proses evaporasi, maka semakin
dekat menuju kondensasi Bose-Einstein. Di tahun
1980 teknik-teknik dasar laser, seperti pendinginan
laser dan perangkap optikal magnet telah
dikembangkan menjadi atom-atom netral yang
dingin dan terjebak.
Dengan menggabungkan berbagai macam
teknik pendinginan, kelompok peneliti Cornell dan
Wieman dari Boulder dan Ketterle dari MIT pada
akhirnya berhasil di tahun 1995 meraih temperatur
dan densitas yang dibutuhkan untuk mengamati
kondensasi Bose-Einstein [1]. Setelah keberhasilan
tersebut, kondensasi Bose-Einstein semakin berhasil
dilakukan pada berbagai macam atom. Satu dari
banyak hal yang berkaitan berkaitan dari gas-gas
Bose yang terperangkap adalah tidak homogen. Hal
tersebut memungkinkan untuk penelitian-penelitian
selanjutnya mengenai sifat-sifat fisika yang
sebelumnya tidak dapat ditemukan di penelitian
superfluida Helium, pada situasi tertentu di sistem
kondensasi Bose-Einstein tidak hanya muncul pada
ruang momentum tetapi juga pada ruang koordinat,
hal
tersebut
membuat
penelitian-penelitian
selanjutnya semakin berkembang.
Di makalah ini dicari solusi perturbatif
Persamaan Gross-Pitaevskii untuk beberapa mode.
Persamaan ini memilik dua aspek, yaitu aspek
nonlinear yang menunjukan persamaan nonlinear
Schrödinger, sedangkan aspek linear menunjukkan
persamaan Schrödinger dengan potensial osilator
harmonik. Makalah ini mengacu pada jurnal karya
Yuri S. Kivshar, Tristram J. Alexander, Sergey K.
Turitsyn yang berjudul Nonlinear Modes of
Macroscopic Quantum Oscillator [2]. Dalam hal ini
aspek nonlinear dalam persamaan Gross-Pitaevskii
dianggap kecil. Kajian lainnya yang terkait dengan
kondensasi Bose-Einstein dapat dilihat pada [3-7].
2. Teori
Pada bagian ini akan ditulis ulang
persamaan-persamaan yang terkait mengenai cara
mendapatkan solusi perturbasi yang telah dibahas
sebelumnya pada [2]. Kondensasi Bose-Einstein
dapat di gambarkan melalui persamaan GrossPitaevskii berikut ini [2]:
∂Ψ
h2 2
2
ih
=−
∇ Ψ + V (R )Ψ + U 0 Ψ Ψ
(1)
∂t
2m
dengan
Ψ (R, t )
adalah fungsi gelombang
makroskopik pada sebuah kondensasi, V (R ) adalah
potensial perangkap parabola, dan parameter
U 0 = 4πh 2 (a / m) yang mencirikan interaksi dua
partikel yang proporsional dengan hamburan
gelombang-s dan dengan panjang a . Saat a > 0
interaksi yang terjadi antara partikel-partikel pada
kondensasi adalah repulsive atau tolak menolak,
sebaliknya saat a < 0 interaksi yang terjadi adalah
attractive atau tarik menarik.
Pertama-tama dtemukan dari persamaan (1)
sebuah model satu dimensi, asumsikan kasus dari
perangkap anisotropic berbentuk tabung pada simetri
1
aksial
V (R ) = mϖ ⊥2 ( R ⊥2 + λX 2 ) ,
dimana
2
R⊥ = Y 2 + Z 2 . Didefinisikan pula pengukuran
variabel ruang di dalam unit panjang osilator
(
)1 2
harmonik longitudinal a h0 = h / mω λ
, dan
amplitudo pada fungsi gelombang dalam unit
(hϖ ⊥ / 2U 0 λ )1 2 [2].
i
[
]
∂Ψ
2
+ ∇ 2 Ψ − λ −1 ( y 2 + z 2 ) + x 2 Ψ + σ Ψ Ψ = 0
∂t ′
(2)
(
)
dimana
waktu
t ′ = t / 2 /ϖ ⊥ λ ,
( x, y , z ) = ( X , Y , Z ) / a h 0 ,
dan
simbol
σ = sgn(a) = ±1 .
Dapat dicari solusi pada persamaan (2)
melalui bentuk [2]
Ψ (r , x, t ) = Φ (r )ϕ ( x, t )e −2iγt
dengan r =
(3)
y 2 + z 2 , dan didapat
∂ 2 Φ 1 ∂Φ
+
+ 2γΦ − (r 2 / λ )Φ = CΦ
2
r ∂r
∂r
(4)
Persamaan (4) adalah persamaan eigen osilator
harmonik untuk koordinat polar. Dianggap konstanta
C bernilai nol dan solusi pada keadaan ground state
Φ 0 ( r ) = A exp( −γr 2 / 2) , dengan γ = 1 / λ
dan konstanta normalisasi A = γ / π .
Setelah mensubstitusi solusi-solusi dan
membagi Φ pada persamaan (2), diperoleh
persamaan nonstasioner Gross-Pitaevskii (1+1)D
[2]:
2
∂ϕ ∂ 2ϕ
2
+
− x 2ϕ + σ ϕ ϕ = 0
(5)
∂t ∂x 2
saat σ → 0 persamaan (5) menjadi persamaan
osilator kuantum harmonik dengan solusi [2] 1:
i
ϕ ( x, t ) = φ ( x)e −iEt
(6)
persamaan (6) ada hanya jika E bernilai diskrit,
seperti :
E n = 1+ 2n , n=0, 1, 2, …
(7)
1
Semua variabel tanpa satuan atau tak berdimensi
4
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. 13 Edisi 1 Mei 2012 dan persamaan (7) didefinisikan menjadi persamaan
polynomial Hermite-Gauss, φ n ( x) = c n e
dengan c n = (2 n! π )
n
H n ( x) = (−1) n e x
2
2
−1 2
n
d (e
− x2
H n ( x)
4. Kesimpulan
, dan
− x2 2
)
(8)
n
dx
maka H 0 = 1 , H 1 = 2 x , dan seterusnya.
3. Hasil dan Pembahasan
Pada umunya, solusi untuk persamaan (5)
saat σ ≠ 0 dapat ditemukan secara numerik.
Namun, pada batasan khusus dapat digunakan
metode-metode pendekatan yang berbeda-beda
untuk menemukan solusi analitiknya. Menganggap
aspek nonlinear pada persamaan ini kecil, digunakan
teori perturbatif untuk mengekspansi solusi umum
dari persamaan (5). Untuk menggunakan teori
perturbatif tersebut, dicari terlebih dahulu solusi
persamaan (5) dengan bentuk [2]:
∝
ϕ ( x, t ) = e −iEt ∑ Bnφ n ( x) ,
(9)
n =0
dengan φ n (x) adalah fungsi eigen dari persamaan
linear dari osilator harmonik yang ditunjukan dengan
persamaan [2]:
d 2φ n
dx
2
Untuk tingkat-tingkat eksitasi selanjutnya dapat
dicari dengan cara yang sama.
− x 2φ n + E nφ n = 0
(8) Pada persamaan Gross Pitaevskii (1+1)D,
jika tidak ada potensial harmonik maka
persamaannya menjadi persamaan Nonlinear
Schrödinger dengan potensial osilator harmonik.
Pada
σ → 0 persamaan tersebut menjadi
persamaan Schrödinger untuk osilator harmonik.
Untuk σ ≠ 0 , dengan menganggap aspek nonlinear
dari persamaan ini kecil solusinya dapat dicari
dengan menggunakan teori perturbatif. Telah dicari
solusi perturbatif pada persamaan Gross Pitaevskii
untuk tiga mode, yaitu pada keadaan ground state,
eksitasi pertama dan eksitasi kedua.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis ucapkan terimakasih kepada para
dosen Jurusan Fisika FMIPA Universitas Negeri
Jakarta yang(9)telah membimbing serta dukungan dari
teman-teman sehingga penulisan makalah ini dapat
terwujud.
Makalah ini telah dipresentasikan dan
diprosidingkan pada Seminar Nasional Fisika 2011
di LIPI, serpong Juli 2011.
(10)
DAFTAR PUSTAKA
Substitusikan persamaan (9) ke dalam persamaan
(5), lalu dikalikan dengan
φ n* dan diintegralkan
terhadap seluruh ruang, diperoleh [2]:
( E − E k ) Bk + σ
∑V
k ,l , m , n
Bl* Bm B n = 0 (11)
l ,m,n
Dengan
∝
V k ,l , m , n = ∫ φ l ( x)φ m ( x)φ n* ( x)φ k ( x) dx
(12)
−∝
Maka didapat solusi pada keadaan ground state
dengan koreksi E ≈ E 0 − σV 0, 0 , 0 , 0 B 0
σV 2 r , 0, 0,0 B0 B0
2
[2]
2
B2 r = −
(E − E 2r )
r≠0
,
(13)
Untuk keadaan eksitasi pertama, didapat pula solusi
dengan koreksi E ≈ E1 − σV1,1,1,1 B1 yaitu:
2
σV( 2 r +1),1,1,1 B1 B1
2
B( 2 r +1) = −
( E − E ( 2 r +1) )
, r ≠1
(14)
Solusi pada keadaan eksitasi kedua dengan koreksi
E ≈ E 2 − σV 2 r , 2, 2, 2 B 2 adalah:
2
σV 2 r , 2, 2, 2 B 2 B 2
2
B2r = −
( E − E 2r )
, r≠2
[1] Pitaevskii, Lev, Sandro Stringari. Bose-Einstein
Condensation. Oxford Press, 2003.
[2] Kivshar, Yuri. S., Tristram j. Alexander, Sergey
K. Turitsyn.”Nonlinear Modes of Macroscopic
Quantum Oscillator.” Elsevier Physics Letters
A, 278(2001):252-230.
[3] S. Stingari, “Collective Excitations of a Trapped
Bose-Condensed Gas.” Physical Review Lettes.
(18 March 1996).
[4] Pérez-Garcia, Victor M., Humberto Michinel,
Henar Herrero. “Bose-Einstein Soliton in
Highly Asymmetric Traps.” Physical Review A,
vol 57, No. 5 (May 1998).
[5] Yukalov, V.I., E.P. Yukalova, dan V.S Bagnato.
“Non-Ground-State Bose-Einstein Condensates
of Trapped Atoms.” Physical Review A, vol 56,
No. 6 (December 1997).
[6] Ostrovskaya, Elena A., Yuri S. Kivshar, Mietek
Lisdak, Bjorn Hall dan Federica Cattani.
“Coupled-Mode Theory for Bose-Einstein
Condensates.”Physical Review A, vol 61.
[7] Khawaja, U. Al., H.T.C. Stoof, R.G. Hullet,
K.E. Strecker. Dan G.B. Partridge.”Bright
Soliton Trains of Trapped Bose-Einstein
Condensates.”Physical Review Letters, vol 89.
No. 20 (11 November 2011).
(15)
5