Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
BAB II
Misalkan a,b,c Є R dan a ≠ 0 maka persamaan yang berbentuk
dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.
Dalam persamaan kuadrat ax 2  bx  c  0 , a adalah koefisien dari x2, b adalah
koefisien dari x dan c adalah suku tetapan.
Contoh:
 x2 – 4, nilai a = 1, b= 0, c = -4
 x2 + 2x = 0 nilai a = 1, b =2, c = 0
 x2 – 5x + 2 = 0 nilai a = 2, b = -5, c = 2
 x2 + x – 2 = 0 nilai a = 1, b =2, c = -2
Berkaitan dengan nilai dari a, b, dan c dikenal beberapa nama persamaan kuadrat
diantaranya adalah:





jika a = 1 maka persamaan menjadi ax  bx  c  0 dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat biasa
jika b = 0 maka persamaan menjadi
dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kudrat sempurna
jika c = 0 maka persamaan menjadi
dan persamaan seperti ini
disebut persamaan kuadrat tak lengkap
jika a ,b, dan c bilangan – bilangan real, maka
disebut
persamaan kuadrat real
jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka
disebut
persamaan kuadrat rasional
2
Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,
diantaranya adalah dengan cara :
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
c. Menggunakan rumus kuadrat
d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )
Kita akan mempelajari 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu
persamaan kuadrat
Matematika SMA/MA kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
 Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan
menngunakansebuah sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat iti dapat
dinyatakan sebagai berikut.
Jika a, b, ϵ R dan berlaku a . b = 0, maka a = 0 atau b = 0
Catatan:
Pengertian a=0 atau b = 0 dapat ditafsirkan sebagai:
1. a = 0 dan b ≠ 0
2. a ≠ 0 dan b = 0
3. a = 0 dan b = 0
Dengan cara memfaktorkan, tentukan penyelesaian atau akar-akar dari tiap persamaan
kudarat
Jawab
(
)(
)
atau
Jadi,penyelesaian atau akar-akarnya adalah x1 =7 dan x2 = -2. Dalam bentuk
himpunan penyelesaian ditulisakan dengan HP = {7,-2}
 Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat
Sempurna
Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dengan proses melengakapkan
kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut :
a) Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk
(x + p)2 = q dengan q ≥ 0
Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.
b) Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang
terakhir
(x + p) = ± √ atau
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan akar-akar persamaan kuadrat
Jawab :
(
(
(
)
)
)
(
)
(
)
√
√
√
√
Jadi akar-akarnya adalah
√
√ atau
√ ditulis HP = {1-√ , 1+√ }
 Menentukan Akar – Akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus kuadrat
Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0 maka akar-akar persamaan
kuadrat
ditentukan oleh:
√
√
Contoh :
Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar persamaan kuadrat
.
Jawab :
, koefisien – koefisiennya adalah a = 1 b = - 6 c = 8
√
(
)
√(
)
( )
( )( )
√
√
Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Jenis – jenis akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat
dengan nilai diskriminan
1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan
a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal
b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya
irrasional.
2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar
kembar) real, dan rasional.
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
keduaakarnya tidak real (imajiner)
Contoh :
Tentukan jenis akar persamaan kuadrat
Jawab :
; koefisien – koefisiennya adalah a = 2, b = -7, dan c = 6.
Nilai diskriminannya adalah :
(
)
( )( )
Karena D = 1 > 0 dan D = 1 = 12 berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan
kuadrat
mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional
Pada pembahasan sebelumnya, Anda dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat
dengan berbagai cara. Jika akar-akar persamaan kuadrat telah Anda peroleh maka
Anda dapat mencari hasil kali dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Bagaimana halnya jika akar-akar persamaan kuadratnya belum Anda peroleh, dan
Anda akan mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat? Jumlah dan
hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara berikut ini.
Misalkan persamaan kuadrat
memiliki akar-akar , :
√
+
√
√
maka:
√
√
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
√
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :
+
Rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:
.
(
(
√
)
√
)(
(√
( )
(
)
)
)
Jadi,rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :
.
Bentuk – bentuk simetris akar-akar persamaan kuadrat adalah :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya
a. Memakai faktor
Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi ( x - x1)( x – x2) = 0
maka x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya
apabila x1 dan x2 merupakan akar –akar suatu persamaan kuadrat , maka
persamaan kuadrat itu dpat ditentikan dengan rumus
)
(
)(
b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar
(
Persamaan kuadrat
) dapat dinyatakan dalam bentuk
yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a.
Dari rumus jumlah dan hasil kali akar – akar, kita peroleh hubungan
(
) dan
Jadi, persamaan
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
dapat dinyatakan dalam bentuk
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
(
)
(
)
1) Selesaikan persamaan-persamaan berikut dengan cara memfaktorkan
a.
b.
2) Selesaikan persamaan berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna
a.
b.
3) Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sebagai berikut
a. 2 dan 5
c. -5 dan -6
b. -3 dan 1
a. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat
Suatu kalimat terbuka yang memuat variabel dengan pangkat positif
dan memiliki pangkat tertinggi dua dihubungkan dengan tanda disebut
pertidaksamaan kuadrat.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat :
dengan a≠0 dan a,b,c ϵ R
penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam
variabel x dapat ditentukan dengan dua cara yaitu dengan:
1. Sketsa grafik fungsi kuadrat
2. Garis bilangan
b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik
fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus
f ( x)  x 2  3x  4 grafiknya
berbentuk parabbola dengan persamaan y  x 2  3x  4 . Sketsa grafik parabola
y  x 2  3x  4 diperlihatkan pada gambar berikut:
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
1) Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi x 2  3x  4  0 dalam selang x < -1 atau x > 4.
2) Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.
Jadi x 2  3x  4  0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3) Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.
Jadi x 2  3x  4  0 dalam selang – 1 < x < 4.
Dengan demikian sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  3x  4 atau parabola
y  x 2  3x  4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan
penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut:
a) Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:
HP  {x | 1  x  4, x  R}
b) Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:
HP  {x | 1  x  4, x  R}
c)
Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:
HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
d) Pertidaksamaan kuadrat x 2  3x  4  0 . Himpunan penyelesaiannya adalah:
HP  {x | x  1 atau x  4, x  R}
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Berdasar uraian di atas dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat
f ( x)  ax 2  bx  c  0 atau parabola
dapat digunakan untuk
menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0 ;
ax 2  bx  c  0 ; ax 2  bx  c  0
2
Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui
langkah–langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Gambar sketsa grafik kuadrat ( )
jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X.
atau parabola
Langkah 2
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat
menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
,
c. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan
Dalam pasal ini kita akan menyekesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan
garis bilangan. Sebabagai contoh, kita akan menentukan penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat
.
Langkah-langkah yangdiperlukan sebagai berikut:
Langkah 1
Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan
x 2 3x  4  0
 ( x  1)( x  4)  0
 x  1 atau x  4
Langkah 2
Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Langkah 3
Tentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4.
Misalnya:
 x  2 maka nilai dari x 2 3x  4  (2) 2  3(2)  4  6 sehingga tanda
dalam interval x < -1 (+) atau >0
 x  1 maka nilai dari x 2 3x  4  (1) 2  3(1)  4  6 sehingga tanda dalam
interval -1 < x < 4 (1) atau < 0
 x  5 maka nilai dari x 2 3x  4  (5) 2  3(5)  4  6 sehingga tanda dalam
interval x > 4 (+) atau >.
Langkah 4
Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x 2 3x  4  0
adalah x < -1 atau x > 4.
Jadi himpunan penyelesainnya adalah HP  {x | x  1 atau x > 4}
Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
,
dapat ditentukan dengan
menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan
Langkah 2
Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh intervalinterval.
Langkah 3
Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang
berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat
menetapkan interval yang memenuhi.
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya
beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada 2 macam bentuk khusus dari
suatu bentuk kuadrat yaitu:
(1) Definit positif, yaitu bentuk kuadrat
berlaku untu semua x ϵ R.
Bentuk
disebut definit positif, jika
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
(2) Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat
Bentuk
disebut definit negatif jika
berlaku untuk semua x ϵ R.
.
1. Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1, carilah
himpunan penyelesaian tiap pertidaksamaan berikut.
a. x 2  2 x  1  0
b. x 2  2 x  1  0
c. x 2  2 x  1  0
d. x 2  2 x  1  0
2. Dengan menggunakan garis bilangan,Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:
a.
b.
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
 Akar-akar persamaan kuadrat
Dalam menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara,
diantaranya adalah dengan cara :
a. Memfaktorkan
b. Melengkapkan kuadrat sempurna
 Mengubah persamaan kudrat semula kedalam bentuk
(x + p)2 = q dengan q ≥ 0
Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.
 Menentukan akar – akar persamaan kuadrat sesuai dengan persamaan yang
terakhir
(x + p) = ± √ atau
c. Menggunakan rumus kuadrat
akar-akar persamaan kuadrat
ditentukan oleh:
√
√
d. Menggambarkan sketsa grafik fungsi ( )
 Jenis – jenis akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat
dengan nilai diskriminan
1. Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan
Jika D berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya rasioanal
Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna , maka kedua akarnya irrasional.
2. Jika D=0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar
kembar) real, dan rasional.
3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau
keduaakarnya tidak real (imajiner)
 Rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah :
1.
2.
+
.
 Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar – akarnya
1. Memakai faktor
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
(
)(
)
2. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar –akar
(
)
(
)
 Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik
fungsi kuadrat
Langkah 1
Gambar sketsa grafik kuadrat ( )
jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X.
atau parabola
Langkah 2
Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1.kita dapat
menetapkanselang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat
,
 Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan Menggunakan Garis Bilangan
Langkah 1
Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan
Langkah 2
Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh intervalinterval.
Langkah 3
Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang
berada dalam masing-masing interval.
Langkah 4
Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3. Kita dapat menetapkan
interval yang memenuhi.
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
BAB III
EVALUASI
A. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat !
1. Diketahui akar-akar persamaan kuadrat
adalah...
a. 18
b. 17
c. -18
2. Jika α dan β akar-akar persamaan
a. -1
c.
b. 0
d. 1
adalah a dan b.nilai dari
d. -16
e. 19
maka
mencapai minimum untuk ....
e. 3
3. Akar-akar persamaan kx  (2k  4) x  (k  8)  0 adalah sama. Hasil kali kedua akar
2
persamaan tersebut adalah ….
a. 1
b. 4
c. 9
d. 16
e. 2
4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya saling berlawanan tanda dari akar-akar
persamaan
adalah ….
a.
b.
c.
d.
e.
2
5. Akar-akar persamaan kuadrat 2 x  qx  (q  1)  0 adalah m dan n. Jika m 2  n 2  4 maka
nilai q adalah ......
a. -6 dan 2
c. -4 dan 4
e. -2 dan 6
b. -5 dan 3
d. -3 dan 5
6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
adalah...
a.
d.
b.
e.
c.
7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x 2  9 x  x 2  4 adalah ....
a.
d.
b.
e.
c.
8. Himpunan penyelesaian dari persamaan
a. HP  {x | 5  x  2}
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
x2
 0 adalah ....
x5
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
b.
c.
d.
e.
HP  {x | 5  x  2}
HP  {x | x  1 atau x  2}
HP  {x | x  5 atau x  2}
HP  {x | x  1 atau x  1}
9. Himpunan penyelesaian (
a. -11
b. -12
c. -13
10.Nilai terbesar x agar
a. -2
b. -3
c. -4
)
(
)
(
) adalah...
d. -14
e. -15
adalah....
d. 1
e. -1
11.Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (
+
a. * |
+
b. * |
c. { |
}
(
)
(
)
12.Agar persamaan
a.
b.
c.
√
13.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
a.
)
(
d. { |
e. { |
) adalah...
}
}
mempunyai akar kembar maka nilai k = ...
d.
e.
adalah...
b.
c.
d.
e.
14.Nilai yang memenuhi
a.
b.
c.
15.Bentuk pertidaksamaan
a.
b.
adalah...
d.
e.
akan bernilai benar jika...
d.
e. Semua bilangan real
c.
B. Jawablah pertanyaan –pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas !
1. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
3. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akarakar persamaan
!
(
)
4. Jika salah satu akar persamaan
adalah empat kali akar
yang lain maka tentukan nilai k dan akar-akar tersebut.
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Latihan 1
1. a.
(
)(
)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat
x = 1 atau x = 3
(
)(
)
(
)(
)
adalah
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat
2. a.
(
)
(
)
Dengan demikian penyelesaian persamaan kuadrat
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
adalah
adalah
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
(
)
(
)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan kuadrat
3. a.
(
)(
)
Jadi,persamaan kuadrat yang diminta adalah
(
(
(
))(
)(
)
)
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah
e.
( ))(
( ))
(
(
)(
)
Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah
Latihan 2
1. Sketsa grafik fungsi kuadrat f ( x)  x 2  2 x  1, atau parabola y  x 2  2 x  1,
diperlihatkan pada gambar berikut:
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
adalah
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
a. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah
Himpunan kosong ditulis 
b. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah
HP  {x | x  1}
c. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah
HP  {x | x  R dan x  1}
d. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x 2  2 x  1  0 adalah
HP  {x | x  1 atu x  1, x  R } dapat juga ditulis HP  {x | x  R}
2.
(
Harga nol pembilang
Harga nol penyebut
Jadi, himpunan penyelesaianya adalah
)
3. a.
(
)(
)
Ambil
(negatif)
+
Jadi, himpunan penyelesaian adalah * |
b.
(
)(
)
Ambil
(negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian adalah * |
Uji kompetensi
A. 1. a
6.d
2.d
7.a
3.d
8.e
4.c
9.c
5.e
10.c
B. Uraian
1. Dari persamaan
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I
diperoleh
+
11.d
12.c
13.a
14.e
15.b
Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang akan dicari adalah a dan b, dimana
(
)
)(
(
)
)(
(
(
)
)
(
Jadi, persamaan kuadrat yang akr-akarnya
adalah:
(
(
)(
)
—
)
(
(
)
(
)
)
2.
)
Nilai-nilai nol dan tanda-tanda intervalnya diperlihatkan pada gambar 2.24
Jadi, himpunan penyelesaian adalah { |
}
3.
Misalkan persamaan kuadrat baru memiliki akar a
Substitusikan
(
)
(
(
)
kedalam persamaan kuadrat semula sehingga diperoleh:
)
Jadi persamaan kuadrat barunya adalah
(
)
4.
Dengan nilai a=1, b = -10, c = k-2 dan salah satu akar = empat kali akar yang
lain.
+
Jadi, nilai k =18
=4.2=8
Matematika SMA/MA Kelas X Semester I