Notasi Sigma Barisan Deret

BAB XVIII. NOTASI SIGMA,
BARISAN, DERET DAN INDUKSI
MATEMATIKA
n
4.
∑ KU
i =1
n
i
= K ∑U i
i =1
n
5.
∑ (U i ± Vi ) =
i =1
Notasi Sigma :
n
6.
∑
adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan
penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah
berpola.
∑ merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani
adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti
jumlah.
∑U i =
i =1
n
7.
∑U i =
i =1
n
8.
∑U i =
i =m
Bentuk umum notasi sigma:
n
9. a.
∑U i = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
n −1
∑U
i =0
m
∑U i +
i =1
i =2
∑U
i =1
i
dibaca penjumlahan suku U i untuk i=1 sampai
b.
∑U
i = m +1
∑U i− p =
i =m+ p
i =1
; dimana 1< m < n
i
n− p
∑U
i =m− p
n
∑ (U i + Vi ) 2 =
∑ (U i − Vi ) 2 =
i −1
n
n+ p
n
n
i
i =1
n +1
∑U i +1 =
i =1
i =1
∑V
i =1
n
n
n
∑U i ±
i+ p
n
n
∑U i + 2
∑U iVi +
∑V
n
n
n
2
i =1
∑U i - 2
2
i =1
i =1
∑U iVi +
i =1
i =1
∑V
i =1
2
i
2
i
dengan i=n
Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):
i = indeks penjumlahan
i =1 disebut batas bawah penjumlahan
i = n disebut batas atas penjumlahan
{1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut barisan
aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap,
dimana selish tersebut dinamakan beda (b).
Contoh:
b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U n - U n −1
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan
50
notasi sigma yaitu
∑ 2i
i =1
Sifat-sifat notasi sigma:
Bentuk umum barisan aritmetika :
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
Bentuk umum deret aritmetika:
n
1.
∑U
i =1
i
= U1 + U 2 + U 3 + . . . + U n
a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b}
dimana:
n
2.
∑U
i =1
n
i
=
∑U
k =1
k
n
3.
∑K
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku
= nK ; dimana K adalah konstanta
i =1
www.belajar-matematika.com - 1
Rumus-rumus :
1. Suku ke n barisan aritmetika (U n ) ditulis sbb:
2. Menentukan banyaknya suku baru (n ' )
Barisan lama : U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n
U n = a + (n-1) b
Barisan baru: U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4 ,… U n
2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S n ) ditulis
sbb:
n
S n = U 1 + U 2 + U 3 + . . . + U n = (a + U n )
2
n
= (2a +(n-1) b)
2
hubungan U n dan S n adalah:
k suku
banyaknya suku baru: n ' = 2 + k = 2 +(2-1)k
U n = S n - S n −1
3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U t )
ditulis sbb:
Ut =
k suku k suku k suku k suku
dari barisan baru dapat dilihat bahwa U n ' = U n
a. jika banyaknya suku =2
U 1 , …,U 2
1
(a + U n )
2
b. jika banyaknya suku =3
U 1 , …,U 2 ,…, U 3
k suku k suku
banyaknya suku baru: n ' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k
c. . jika banyaknya suku =4
U 1 , …,U 2 ,…, U 3 ,…, U 4
Sisipan:
Suatu barisan aritmetika :
k suku k suku k suku
a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b
banyaknya suku baru: n ' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka
barisan aritmetika yang baru adalah sbb:
a , (a+ b ' ), (a+2 b ' ),…,(a+k b ' ),{a+(k+1) b ' },…
k buah bilangan sisipan
U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku
baru adalah:
n ' = n + (n-1) k
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' )
Sn
'
n'
n'
'
'
=
(a + U n ) atau S n = { (2a + (n ' -1) b ' }
2
2
dengan b ' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan
'
1. Beda barisan baru (b )
hubungan barisan baru dan lama :
a +b = a+(k+1) b '
b = (k+1) b '
b
b'=
k +1
U n ' = U n maka,
Sn '=
n'
(a + U n )
2
contoh soal sisipan :
1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan
sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret
b = beda deret lama
'
aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .
b = beda deret baru
k = banyaknya bilangan yang disisipkan
www.belajar-matematika.com - 2
jawab:
sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku
tersebut disebut pembanding atau rasio (r).
banyaknya suku awal = 2 Æn
deret setelah sisipan 60+ … + 110
Jadi r =
U
Un
U2
= 3 = . . .=
U1
U2
U n −1
Bentuk umum barisan geometri:
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
10 bilangan
Banyaknya suku baru: n ' = n+(n-1)k
= 2+(2-1)10 = 12
Jumlah deret yang terbentuk :
n'
Sn '=
(a + U n )
2
12
(60+110)
=
2
= 1020
Bentuk umum deret geometri:
a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n
a = suku pertama
n = banyaknya suku
r = rasio
Rumus-rumus:
2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,…
disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan
aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama
dari barisan yang terbentuk
dari barisan 5, 15, 25,…
diketahui a = 5
b = 10
k=4
beda barisan yang baru:
b
b'=
k +1
10
=2
=
4 +1
S 10
Sn =
a(r n − 1)
untuk r >1
r −1
Sn =
a(1 − r n )
untuk r <1
1− r
Hubungan U n dan S n
Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk :
Sn
U n = ar n −1
2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S n ) ditulis sbb:
Jawab:
'
1. Suku ke n barisan geometri (U n ) ditulis sbb:
U n = S n - S n −1
3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U t )
adalah :
n'
= { (2a + (n ' -1) b ' }
2
Ut =
10
=
{2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140
2
a.U n
Sisipan:
Suatu barisan geometri:
Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):
Suatu barisan U 1 , U 2 , U 3 ,…, U n −1 , U n disebut
barisan geometri jika perbandingan antara dua suku
a, ar, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n −1 , ar n
www.belajar-matematika.com - 3
apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka
barisan geometri yang baru adalah sbb:
Jawab:
Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768
a, ar ' , a(r ' ) 2 , a(r ' ) 3 ,…, a(r ' ) k , a(r ' ) k +1 ,…
3 sisipan
k buah bilangan sisipan
U 1 barisan lama
U 2 barisan lama
Banyaknya suku barisan lama n = 2
banyaknya suku barisan baru :
n ' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5
r ' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan
rasio barisan lama , r =
1. Banyaknya suku baru:
768
= 16
48
k +1
Rasio barisan baru, r ' =
n ' = n + (n-1) k
=
=
2. Rasio baru (r ' ) :
hubungan rasio lama dan baru
3+1
4
r
16
24 = 2
ar = a(r ' ) k +1
Barisan geometri tak hingga:
r = (r ' ) k +1
r'=
k +1
Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak
hingga dinamakan deret geometri tak hingga.
r
r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan
3. Jumlah n suku setelah sisipan (S n ' ):
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . . + ar n −1 + ar n disebut deret
terhingga dengan n suku.
Deret : a + ar + ar 2 + ar 3 + . . .
disebut deret tak hingga (n nya tak hingga)
Jumlah n suku pertama setelah sisipan :
Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :
a[(r ) − 1]
; r ' > 1 atau
'
r −1
' n ''
Sn ' =
1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1
a[1 − (r ' ) n ' ]
=
; r'< 1
1− r'
S∞ =
'
Sn
'
a
1− r
; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)
2. Bila |r| > 1
S ∞ = ∞ ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai)
Contoh soal sisipan:
Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan
sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan
jumlah barisan setelah sisipan.
Contoh deret tah hingga:
1 1 1
+ +
+...
2 8 32
Berapakan jumlah deret tsb?
1. Diketahui deret geometri :
jawab:
www.belajar-matematika.com - 4
Induksi Matematika:
1
1
1
; r= 8 =
Diketahui : a =
1
2
4
2
Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu
pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap
bilangan asli.
1
memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka
4
konvergen.
r=
S∞=
a
2
=
1− r
1− 1
1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1
2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1
1
1
=
4
2 = 4 = 2
3
6
3
4
contoh induksi matematika:
2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai
jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa
rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ?
diketahui S ∞ = 10 ; a = 5
karena S ∞ = 10 maka deret tak hingga ini adalah
konvergen.
a
S∞ =
1− r
5
5
10 =
; 1-r =
1− r
10
1
1
1
; r=1- =
2
2
2
Jadi rasionya: r =
1. Buktikan
2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n)
langkah 1 :
jawab:
1–r=
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika
adalah:
1
2
untuk n = 1
masukkan nilai n =1
2n = n (1+n)
2.1 = 1 (1+1)
2 = 2 Æ terbukti
langkah 2 :
untuk n = k
misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
langkah 3 :
jumlah 5 suku pertamanya:
untuk n = k+1
berdasarkan langkah 2
Karena r <1 maka
2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k)
a(1 − r n )
a
Sn =
=
( 1 - rn ) = S∞( 1 - rn )
1− r
1− r
jika n = k +1 didapat :
1 5
1
) ] = 10 ( 1 )
2
32
31
310
22
= 10 .
=
=9
32
32
32
S 5 = 10 [1 – (
2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)
k(1+k)
Catatan:
Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1
Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) Æ ini yang akan
dibuktikan
www.belajar-matematika.com - 5
ruas kanan dijabarkan
jika n = k +1 didapat :
k (1+k) + 2 (k+1) = k + k 2 + 2k +2
1
1
1
1
1
+
+
+...+
+
k (k + 1) (k + 1)(k + 2)
2
6 12
= k 2 + 3k +2
k
k +1
= (k+1)(k+2) Æ terbukti
2. Buktikan
n
1
∑ m(m + 1)
m =1
k
1
+
k + 1 (k + 1)(k + 2)
=
=
n
n +1
Catatan:
n
, kita masukkan n = k+1
n +1
k +1
k +1
=
Æ ini yang akan dibuktikan
Menjadi
k +1+1 k + 2
jawab:
Nilai m dimasukkan menjadi
n
1
1
1
1
+
+
+...+
=
2
6 12
n(n + 1)
n +1
Rumus kanan awal :
langkah 1 :
ruas kanan dijabarkan :
Untuk n = 1
masukkan n=1 ruas kiri dan kanan
n
1
=
n(n + 1)
n +1
k
1
1
1
+
=
+
k + 1 (k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)
=
1
1
=
1(1 + 1) 1 + 1
=
1
1
=
Æ terbukti
2
2
k 2 + 2k + 1
(k + 1)(k + 2)
=
(k + 1)(k + 1)
(k + 1)(k + 2)
=
k +1
Æ terbukti
k+2
Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi
k
1
1
1
1
+
+
+...+
=
2
6 12
k (k + 1) k + 1
k (k + 2) + 1
(k + 1)(k + 2)
=
Langkah 2:
Untuk n = k
k (k + 2)
1
+
(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
Langkah 3 :
Untuk n = k+1
Berdasarkan langkah 2 :
k
1
1
1
1
+
+
+...+
=
2
6 12
k (k + 1) k + 1
www.belajar-matematika.com - 6