Mahdhivan Syafwan

Mahdhivan Syafwan
PAM 123 Pengantar Matematika
APAKAH LOGIKA ITU PENTING ?
http://hukum.kompasiana.com/2012/03/31/dpr-menunda-sementara-kenaikan-bbm-bersubsidi-451248.html
Pasal 7

Ayat 6 :
Harga jual eceran BBM bersubsidi tidak mengalami
kenaikan.

Ayat 6(a) [tambahan]:
Dalam hal harga rata-rata minyak Indonesia
(Indonesia Crude Oil Price/ICP) dalam kurun waktu
berjalan mengalami kenaikan atau penurunan ratarata sebesar 15 persen dalam enam bulan terakhir
dari harga minyak internasional yang diasumsikan
dalam APBN Perubahan Tahun Anggaran 2012, maka
pemerintah berwenang untuk melakukan
penyesuaian harga BBM bersubsidi dan kebijakan
pendukungnya
Ketua tim peneliti haruslah berpendidikan S3
atau S2 dengan jabatan minimal Lektor Kepala.
 Yang diperbolehkan ikut dalam proyek penelitian
itu adalah mahasiswa fakultas ekonomi dan
mahasiswa fakultas kedokteran angkatan ’88.
 Suami saya yang tinggal di Bandung sangat
romantis.
 Semua cowok sama aja!
 Ia tidak bisa menyanyi karena memang tidak bisa
menyanyi.
 Banyak orang yang melakukan sholat, tetapi
prilakunya buruk. Sementara itu ada orang yang
tidak sholat, tetapi kelakuannya baik dan
santun. Jadi sholat itu tidak perlu.


Secara etimologis
berasal dari kata ‘logos’ (Yunani)
= kata, ucapan, pikiran secara utuh,
ilmu pengetahun

Secara terminologis
logika = suatu cabang ilmu yang mengkaji
penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih
(valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid,
incorrect).

Proses berpikir yang terjadi saat menurunkan
atau menarik kesimpulan tersebut dinamakan
penalaran (reasoning).
Kalimat
berarti
Kalimat
Kalimat takberarti
Kalimat
deklaratif
(pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak
deklaratif
Contoh:
5 habis dibagi 2. (kalimat berarti)
 Agus habis dibagi 3. (kalimat tak-berarti)
 Presiden RI pertama adalah Soekarno. (kalimat berarti)
 1 adalah presiden pertama bilangan asli. (kalimat tak-berarti)

Kalimat
berarti
Kalimat
Kalimat takberarti
Kalimat
deklaratif
(pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak
deklaratif
Contoh:
Apakah pintu itu tertutup? (kalimat tanya->tidak deklaratif)
 Tutup pintu itu! (kalimat perintah ->tidak deklaratif)
 Pintu itu tertutup. (kalimat deklaratif)
 Tolong pintunya ditutup. (kalimat permintaan->tidak deklaratif)

Kalimat
berarti
Kalimat
Kalimat takberarti
Kalimat
deklaratif
(pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak
deklaratif
Contoh:
Apakah pintu itu tertutup? (kalimat tanya->tidak deklaratif)
 Tutup pintu itu! (kalimat perintah ->tidak deklaratif)
 Pintu itu tertutup. (kalimat deklaratif)
 Tolong pintunya ditutup. (kalimat permintaan->tidak deklaratif)

Kalimat
berarti
Kalimat
Kalimat takberarti
Kalimat
deklaratif
(pernyataan)
Bernilai benar
Bernilai salah
Kalimat tidak
deklaratif
Proposisi = kalimat yang bernilai benar (true) atau
salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.

Dasar penalaran dalam penarikan kesimpulan ada
dua:


Deduksi
Induksi

Deduksi = penarikan kesimpulan merupakan
konsekuensi logis dari premis-premisnya (hipotesishipotesisnya)

Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid,
bukan benar atau salah.

Contoh argumen deduktif
Hipotesis:


Setiap mamalia punya sebuah jantung.
Semua kuda adalah mamalia.
Kesimpulan:
Setiap kuda punya sebuah jantung.
 Induksi
= penalaran yang berangkat dari
serangkaian fakta-fakta khusus untuk
mencapai kesimpulan umum.
 Contoh argumen induktif
Fakta-fakta:




Kuda Sumba punya sebuah jantung.
Kuda Australia punya sebuah jantung.
Kuda Amerika punya sebuah jantung.
Kuda Inggris punya sebuah jantung.
Kesimpulan:
Setiap kuda punya sebuah jantung.
 Satu
atau lebih hipotesis bisa jadi salah
Suatu deduksi memberikan Anda alasan untuk yakin pada
kesimpulannya jika Anda yakin hipotesisnya.
 Hipotesis
bisa jadi gagal dalam merumuskan
suatu kesimpulan
Hipotesisnya mungkin benar, kesimpulannya bisa jadi salah
(deduksinya lemah)

Nilai kebenaran
Benar atau salah dikatakan sebagai nilai kebenaran dari
suatu pernyataan/proposisi.

Kebenaran logis




Kontingensi -> pernyataan yang bisa benar atau bisa
salah
Tautologi -> pernyataan yang selalu benar secara
logika
Kontradiksi -> pernyataan yang selalu salah secara
logika
Ekivalensi
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen jika kedua
pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang
sama.
 Hari
ini hujan. (kontingensi)
 Hari ini hujan atau tidak hujan. (tautologi)
 Hari ini hujan dan tidak hujan. (kontradiksi)
Contoh lain ?
Setelah mencuci piring, Andi pergi ke toko.
 Sebelum pergi ke toko, Andi mencuci piring.

3 adalah bilangan prima.
 Tidak benar bahwa 3 bukan prima prima.

Jika terjadi devaluasi, maka banyak timbul
pengangguran.
 ….

Contoh lain?
 Suatu
deduksi dikatakan valid jika dan hanya
jika kesimpulannya benar bilamana semua
hipotesisnya benar. Sebaliknya, suatu deduksi
dikatakan tidak valid.
Catatan: untuk memeriksa kevalidan suatu deduksi,
cukup dibuktikan bahwa konjungsi dari semua
hipotesis yang mengakibatkan kesimpulan adalah
sebuah tautologi (dipelajari nanti).

Contoh (1)
Hipotesis:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami
datang.
 Air laut surut setelah gempa di laut.
Kesimpulan: Tsunami datang.

Deduksi di atas valid.

Contoh (2)
Hipotesis:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami
datang.
 Tsunami datang.
Kesimpulan: Air laut surut setelah gempa di laut.

Deduksi di atas tidak valid.

Contoh (1)
Hipotesis:
Jeruk adalah buah-buahan atau instrumen musik.
 Jeruk bukan buah-buahan.
Kesimpulan: Jeruk adalah instrumen musik.

Deduksi di atas valid meskipun hipotesis dan
kesimpulannya mungkin salah secara faktual.

Contoh (2)
Hipotesis:
 London ada di Inggris
 Jakarta ada di Indonesia.
Kesimpulan: Paris ada di Perancis.
Meskipun hipotesis dan kesimpulannya benar secara
faktual, deduksi di atas tidak valid karena kesimpulan
tidak ada hubungannya dengan hipotesis.
Mahdhivan Syafwan
PAM 123 Pengantar Matematika


Untuk kemudahan dan penyederhanaan, proposisi
dapat dilambangkan dengan huruf (dalam hal ini kita
gunakan huruf besar).
Contoh
Hipotesis:
 Es mencair di kutub.
 Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
Kesimpulan: Permukaan air laut naik.

Misalkan kita gunakan simbolisasi proposisi sbb:
A: Es mencair di kutub.
B: Permukaan air laut naik.

Maka deduksi di atas, dapat disederhanakan menjadi
Hipotesis:
 A
 Jika A, maka B
Kesimpulan: B
 Proposisi
yang disimbolkan dengan suatu
huruf tunggal dinamakan dengan proposisi
atomik/tunggal.
 Dua
atau lebih proposisi tunggal dapat
dikombinasikan dengan menggunakan
operator logika.
 Proposisi
baru yang diperoleh dari
pengkombinasian tersebut dinamakan
proposisi majemuk (compound proposition).
Simbol
Nama
Arti
~
negasi
“Tidak benar bahwa …”
Λ
konjungsi
“ … dan …”
V
disjungsi
“ … atau …”


implikasi
“ Jika …, maka …”
biimplikasi
“ … jika dan hanya jika …”


Negasi (ingkaran) dari proposisi P adalah proposisi
“Tidak benar bahwa P” dan dilambangkan dengan ~P.
Sebagai contoh, perhatikan proposisi-propisisi
berikut:
1.
2.
3.
Maya bermukim di Padang.
Maya tidak bermukim di Padang.
Maya bermukim di suatu kota selain Padang.
 Misalkan
proposisi 1 kita simbolkan dengan M.
 Proposisi 2 dan 3 mempunyai maksud yang sama,
yaitu “Tidak benar bahwa Maya bermukim di
Padang”. Jadi, kita dapat menyatakan proposisi 2 dan
3 dengan ~M.
 Bagaimana menyimbolkan pernyataan “Tidak benar
bahwa Maya tidak bermukim di Padang”?
Jawab: ~~M (ekivalen dengan M).
 Contoh
lain, misalkan
P: x adalah bilangan bulat negatif.
Apakah proposisi “x adalah bilangan bulat
positif” dapat dinyatakan dengan ~P ?
Jawab: Tidak, karena …
 Nilai
kebenaran dari ~P berlawanan dengan
nilai kebenaran P.
P
~P
B
S
S
B
Mahdhivan Syafwan
PAM 123 Pengantar Matematika
Buktikan P  Q.
Bukti.
Misalkan P benar.

(argumentasi)

Maka Q benar.
Perhatikan bahwa P  Q  Q  P.
Buktikan P  Q .
Bukti.
Misalkan Q salah.

(argumentasi)

Maka P salah.
Perhatikan bahwa ( P  Q)  P  Q.
Buktikan P  Q .
Bukti.
Misalkan P benar dan Q salah.

(argumentasi)

Hal ini merupakan suatu kontradiksi.
Oleh karena itu mestilah berlaku P  Q.
Teorema.
Bilangan bulat berurutan non-negatif a, b, dan c yang memenuhi
a2 + b2 = c2 hanyalah 3, 4 dan 5.
Pernyataan pada teorema di atas setara dengan:
“Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif yang
memenuhi a2 + b2 = c2, maka a, b, dan c adalah 3, 4 dan 5”.
Bukti.
Misalkan a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif
yang memenuhi a2 + b2 = c2 dan a, b, dan c bukan 3, 4 dan 5.
Karena a, b, dan c adalah bilangan bulat berurutan non-negatif,
maka dapat ditulis b = a + 1 dan c = a + 2. Karena a2 + b2 = c2, maka
a2 + (a + 1)2 = (a + 2)2  a2 -2a-3 = 0  (a-3)(a+1)=0. Jadi a=3 atau
a=-1. Namun hal ini kontradiksi dengan a ≠ 3 dan a bilangan nonnegatif. Dengan demikian teorema di atas terbukti.
Perhatikan bahwa
( P  Q)  R  ( P  R)  (Q  R).
Buktikan ( P  Q)  R.
Bukti.
Kasus 1: Misalkan P benar.
...(argumentasi).
Maka R benar.
Kasus 2: Misalkan Q benar.
...(argumentasi).
Maka R benar.
Teorema.
Misalkan n bilangan bulat. Maka n2 + n adalah
bilangan genap.
Bukti.
Kasus 1: Misalkan n genap, sehingga dapat
ditulis n = 2k untuk suatu bilangan bulat k.
Perhatikan bahwa n2 + n = … = 2(2k2+k). Karena
k bilangan bulat, maka 2k2+k juga bilangan
bulat. Oleh karena itu n2 + n adalah bilangan
genap.
Kasus 2: Misalkan n ganjil (lanjutkan!).
Perhatikan bahwa P  Q  ( P  Q)  (Q  P).
Buktikan P  Q.
Bukti.
() Misalkan P benar.
….(argumentasi).
Maka Q benar.
() Misalkan Q benar.
….(argumentasi).
Maka P benar.
Teorema.
Misalkan a dan b bilangan bulat tak-nol. Maka a|b
dan b|a jika dan hanya jika a = b atau a = -b.
Bukti.
() Misalkan a|b dan b|a, yaitu am = b dan bk = a,
untuk suatu m dan k bilangan bulat. Dari dua
persamaan terakhir diperoleh am = b  (bk)m=b 
b(km)=b. Karena b≠0, maka km=1. Karena k dan m
bilangan bulat, maka haruslah k=1 dan m=1 yang
mengakibatkan a=b, atau k=-1 dan m=-1 yang
mengakibatkan a=-b.
() Misalkan a = b. Maka a∙1=b sehingga a|b, dan
b∙1=a sehingga b|a. Sekarang misalkan a=-b. Maka
a∙(-1)=b sehingga a|b, dan b∙(-1)=a sehingga b|a.
Buktikan (x U ) P( x).
Pernyataan di atas ekivalen dengan
“Jika x di U, maka P(x) benar”.
Bukti.
Ambil sebarang x0 di U.
…(argumentasi).
Maka P(x0) benar.
Bisa juga dengan bukti tak-langsung.
Buktikan (x U ) P( x).
Pernyataan di atas ekivalen dengan
“Jika x=z0 di U, maka P(x) benar”.
Bukti.
Pilih z0=…
…(argumentasi).
Maka z0 di U.
…(argumentasi).
Maka P(z0) benar.