Materi Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
OLEH: RUSBANDI

Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya paling banyak
berpangkat satu.

Persamaan linear satu variabel adalah: persamaan linear yang mengandung
satu variabel.
Contoh:

a. x + 5 = 0
d. 2x = 2(4 – x)
b. 4x – 3 = 3x
e. 4 – 5x = 6
c. 2x – 5 = 3
f. 3(x – 2) = 9
Persamaan linear dua variabel adalah: Persamaan Linear yang mengandung
dua variabel.
Contoh:

a. 7x – y = 21
d. 8x – 10y = 16
b. 5 – 6s + 9t = 0
e. s = -(3t – 2) + 6
c. 4r – 6 = 8s
f. 2a = 8b - 3
Persamaan linear tiga variabel adalah: Persamaan linear yang mengandung
tiga variabel.
Contoh:
a. x + 4y + 2z = 14
d. 2x + 5y + 3z = 1
b. 2p + 3q + r = 11
e. 4x – 4y + z = 5
c.

2 1 2
  3
x y z
f. x – 2y + z = 3
Variabel atau peubah adalah: Lambang yang digunakan untuk mewakili
anggota sembarang dari suatu semesta pembicaraan.

Konstanta pengganti variabel yang menyebabkan atau menjadikan persamaan
linear menjadi benar disebut penyelesaikan persamaan linear.

Himpunan dari semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan
penyelesaian.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 1
A. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah: beberapa persamaan linear yang
saling terkait.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear adalah: pasangan bilangan yang
memenuhi setiap persamaan linearnya, yang bila digantikan ke
persamaannya akan menghasilkan suatu pernyataan benar.
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah: sistem persamaan linear
yang terdiri dari dua persamaan linear yang masing-masing mengandung
dua variabel.

Bentuk Umum SPLDV:
Bentuk umum SPLDV x dan y dapat ditulis sebagai berikut:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, b1, c1, a2, b2, c2 merupakan bilangan-bilangan real.
-
Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV tersebut dikatakan homogen.
Contoh:
-
a. 4x – 2y = 0
b. 8x + 2y = 0
2x + 4y = 0
6x – 4y = 0
Jika c1  0 atau c2  0 maka SPLDV tersebut dikatakan tak homogen.
Contoh:
a. 4x + 2y = 10
2x - 2y = 9

b. x + 4y = 12
2x + 3y = 14
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Nilai-nilai pengganti variabel x dan y yang membuat SPLDV bernilai besar
disebut penyelesaian SPLDV. Himpunan yang beranggotakan penyelesaianpenyelesaian SPLDV disebut Himpunan Penyelesaian SPLDV. Dengan kata
lain:
Jika nilai x = x0 dan y = y0, dalam pasangan terurut ditulis (x0, y0) disebut
penyelesaian SPLDV dan himpunan penyelesaiannya ditulis:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
x0 , y0 
Page 2
Contoh:
SPLDV : |x + 4y = 12
mempunyai penyelesaian (4,2)
|2x + 3y = 14
Maka himpunan penyelesaiannya ditulis: {(4,2)}
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan
beberapa cara antara lain:
1. Metode Grafik
2. Metode Substitusi
3. Metode Eliminasi
4. Metode Gabungan Substitusi dan Eliminasi
5. Metode Determinan
1. METODE GRAFIK

Untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV
dengan metode grafik. Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Gambarlah grafik dari masing-masing persamaan pada bidang cartesius.
2) a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan
penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.
b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memilik
ianggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan
kosong, ditulis  atau { }.
c. Jika kedua garis berimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki
anggota yang tak hingga banyaknya.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode grafik:
(1) x + y = 3
x–y=0
(2) x + y = -2
x + y = -3
(3) x + y = -1
3x + 3y = -3
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 3
Jawab:
1)
y
x+y=3
x–y=0
x
0
3
y
3
0
(x,y)
(0,3)
(3,0)
x
x-y=0
x
0
2
y
0
2
(x,y)
(0,0)
(2,2)
x+y=3
2)
y
x + y = -2
x
0
-2
y
-2
0
(x,y)
(0,-2)
(-2,0)
x + y = -3
-2
x + y = -3
x
0
-3
y
3
0
(0,-2)
(-3,0)
(x,y)
x
0
-3
-2
-3
x + y = -2
3)
y
x+y=1
x
0
-1
y
-1
0
(x,y)
(0,-1)
(-1,0)
3x + 3y = -3
x
x
0
-1
y
-1
0
(x,y)
(0,-1)
(-1,0)
x + y = -1
x + y = -3
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 4
SPLDV No.3 yaitu:
x + y = -1
3x + 3y = -1
Jika
x = -3 maka y = 2
x = -2 maka y = 1
x = -1 maka y = 0
x = 0 maka y = -1
x = 1 maka y = -2
x = 2 maka y = -3
x = 3 maka y = -4
Jadi himpunan penyelesaian SPLD tersebut memiliki anggota yang tak
hingga banyaknya. Beberapa diantaranya adalah: (-3,2), (-2,1), (-1,0),
(0,-1), (1,-2), (2, -3), (3,-4). Himpunan penyelesaiannya dapat ditulis:
{ …, (-3,2), (-2,1), (-1,0), (0,-1), (1,-2), (2,-3), (3,-4), …}
Dengan menggunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis berimpit
dan dua garis sejajar, banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian
SPLDV:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dapat ditentukan sebagai berikut:
1) Jika a1b2 – a2b1  0, maka SPLDV tepat memiliki satu anggota dalam
himpunan penyelesaiannya.
2) Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1  0, atau b2c1 - b1c2  0, maka
SPLDV tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
3) Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a1c1 = 0, atau b2c1 – b1c2 = 0, maka
SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya dalam
himpunan penyelesaiannya.
LATIHAN 1
1) Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV:
a.
x+y–4=0
x – 2y – 16 = 0
b.
2x - 3y = 8
3x + y – 1 = 0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 5
c.
4x – y = 2
2x – y = -2
2) Untuk masing-masing SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya
anggota dalam himpunan penyelesaiannya (tepat memiliki satu
anggota, tidak memiliki anggota, atau memiliki anggota yang tak
hingga banyaknya).
a.
-x + y = 2
g.
x+y=0
b.
x-1=0
x+y=3
h.
y = 2x
c.
3x - 3y = 3
i.
2x + 2y = 2
j.
4x - 2y = 4
2x - y = 2
2x - 2y = 4
k.
x-y=1
f.
3x + 6y = 6
x + 2y = 2
x+y=1
e.
x+y=0
x+1=0
x-y=1
d.
x-3=0
2x - 4y = 0
x - 2y = 2
x-y–4=0
l.
2x - y + 1 = 0
2x + y – 5 = 0
x + y +2 = 0
Jawab:
 1  1  2
a 1 = - 1, b1 = 1, c1 = 2 
a.
 0  2  2
a 2 = 2, b 2 = - 1, c 2 = 0
20  2
a 1 = 1, b1 = 1, c1 = - 3 
b.

a 2 = 2, b 2 = - 1, c 2 = 0
 1  1  3
06  6
30  3
33  0
a 1 = 3, b1 = -3, c1 = 3 
c.
 33  0
a 2 = 1, b 2 = - 1, c 2 = 1
-33  0
22  0
a 1 = 2, b1 = 2, c1 = 2
d.
 22  0
a 2 = 1, b 2 = 1, c 2 = 1 
2-2  0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
SPDV punya satu anggota dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV punya satu anggota dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV punya satu anggota tak
hingga banyaknya dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV punya satu anggota tak
hingga banyaknya dalam
himpunan penyelesai annya
Page 6
22  0
a 1 = 2, b1 = -2, c1 = 4 
e.
 2  4  2
a 2 = 1, b 2 =  1, c 2 = 1
- 4  2  2
f.
11  2
a 1 = 1, b1 = -1, c1 = 4 
 - 2  4  6
a 2 = 1, b 2 = 1, c 2 = - 2
4-2  2
00  0
a 1 = 1, b1 = 0, c1 = 3 
g.
 1  3  2
a 2 = 1, b 2 = 0, c 2 = 1
0-0  0
i.
j.
a 1 = 4, b1 = -2, c1 = 4 

a 2 = 2, b 2 = - 1, c 2 = 2
a = 2, b1 = -4, c1 = 0 
k. 1

a 2 = 1, b 2 = - 2, c 2 = 2
l.

44  0
88  0
-44  0
44  0
40  4
08  8
22  4
a 1 = 2, b1 = -1, c1 = -1
 10  2  12
a 2 = 2, b 2 = 1, c 2 = 5 
-1  5  4
himpunan penyelesai annya
SPDV tepat mempunyai satu
anggota dalam himpunan
penyelesai annya
SPDV tak punya anggota dalam
0  1  1
a 1 = 1, b1 = 1, c1 = 0 
h.
 1 0  1
a 2 = 1, b 2 = 01, c 2 = 1
0 - 1  1
66  0
a 1 = 3, b1 = 6, c1 = 6 
 66  0
a 2 = 1, b 2 = 21, c 2 = 2
12 - 12  0
SPDV tak punya anggota dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV punya anggota dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV mempunyai anggota
yang tak hingga banyaknya
SPDV punya anggota tak hingga
banyaknya
SPDV tak punya anggota dalam
himpunan penyelesai annya
SPDV punyai satu anggota dalam
himpunan penyelesai annya
Ketidakkonsistenan dan Sistem yang Saling Tergantung
1. SPLDV yang grafik-grafiknya saling berpotongan di satu titik dan
mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV
tersebut disebut: sistem pertidaksamaan yang konsisten dan saling lepas.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 7
Contoh:
x–y=1
disebut SPLDV yang konsisten dan saling lepas
x+y=3
y
Bukti:
x–y=1
x-y=1
1
0
x
0
-1
y
(x,y) (0,-1) (1,0)
3
(2,1)
1
x+y=3
3
0
x
0
3
y
(3,0)
(0,3)
(x,y)
x
-3
-1
x+y=3
2. SPLDV yang grafiknya saling sejajar (tidak berpotongan) dan tidak punya
anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV tersebut disebut:
sistem persamaan yang tidak konsisten.
Contoh:
x–y=1
merupakan SPLDV yang tidak konsisten
x-y=2
Bukti:
y
x-y=1
1
0
x
0
-1
y
(x,y) (0,-1) (1,0)
x - y = -2
-2
0
x
0
2
y
(0,2) (-2,0)
(x,y)
x – y = -2
x–y=1
2
-2
1
x
-1
3. SPLDV yang grafiknya saling berimpit dan mempunyai tak hingga banyak
anggota dalam himpunan penyelesaiannya, maka SPLDV tersebut disebut
sistem persamaan yang saling bergantung.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 8
Contoh:
2x – 2y = 4
merupakan SPLDV yang saling tergantung
3x - 3y = 6
y
Bukti:
2x - 2y = 4
2
0
x
0
-2
y
(x,y) (0,-2) (2,0)
3x - 3y = 6
2
0
x
0
-2
y
(x,y) (0,-2) (2,0)
2x – 2y = 4
3x – 3y = 6
x
2
-2
LATIHAN 2
1) Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV:
berikut, kemudian tentukan mana yang merupakan sistem persamaan
yang konsisten, tidak konsisten atau yang saling tergantung.
a.
3x – 4y = 1
g.
5x + 4y – 20 = 0
x+y=0
b.
3x + y = 11
h.
5x – 2y = 1
i.
2x + y = 4
d.
-3x + 4y = 5
j.
5x - 6y = -17
e.
3x – 2y – 8 = 0
x–4-2=0
5x + 4y – 20 = 0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
2x + 3y – 6 = 0
2x + y
= -2
2x + y
=9
3x + 2y - 15 = 0
k.
x + 3y + 1 = 0
f.
6x + 7y – 42 = 0
-2x + 4y – 8 = 0
x-y=5
c.
x + 5y - 5 = 0
x + 4y + 1 = 0
2x + 8y
l.
= -2
y = 2x – 2
y=x+4
Page 9
2) Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut ini, kemudian
masing-masing tentukan mana yang konsisten, tidak konsisten, atau
yang saling tergantung:
a.
2y = x + 2
d.
y=x–2
b.
y=1-x
y=x-1
e.
y = 3x – 9
c.
y=1-x
y=2–x
y = 4x - 3
f.
2y = 8x – 6

y=2-x
x = -2x + y
x=1+y
Menentukan Persamaan Garis dengan Gambar, Jika Titik-titik Potong
Garis dengan Sumbu Koordinatnya Diketahui
a.
Persamaan garis pada gambar
y
disamping adalah:
a
ax + by = ab
b
x
0
x y
 1
b a
l
Contoh:
1) Tentukan persamaan garis dari gambar berikut ini:
i)
y
ii)
y
x
-5
3
-4
5
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
x
Page 10
Jawab:
i) a = 3
Persamaan garisnya adalah: 3x + 5y = (3)(5)
b=5
3x + 5y = 15 atau
x y
 1
5 3
ii) a = -4
Persamaan garisnya adalah: -4x + (-5y) = (-4)(-5)
b = -5
-4x - 5y = 20 atau
x y
-  1
5 4
2) Tentukan persamaan garis dari gambar berikut ini:
y
i)
y
ii)
x
-2
2
x
7
-4
Jawab:
i) a = 2
Persamaan garisnya adalah: 2x + 7y = 14
b=7
atau
ii) a = -4
x y
 1
7 2
Persamaan garisnya adalah: -4x + (-2y) = 8
atau 
b = -2
x y
 1
2 4
3) Tentukan persamaan garis dari gambar berikut ini:
i)
y
y
ii)
2
x
3
-4
x
-7
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 11
iii)
iv)
y
y
x
7
4
-3
x
-2
Jawab:
i)
Persamaan garisnya adalah  4x  2y  8
a  4

x y
b  2  atau   1
2 4
Persamaan garisnya adalah4x - 2y  8
a4 
ii)

x y
b  2 atau -   1
2 4
Persamaan garisnya adalah 3x - 7y  21
a 3 
iii)

-x y
b  7 atau
 1
7 3
Persamaan garisnya adalah  3x  7 y  21
a  3
iv)

x y
b  7  atau   1
7 3
b.
Persamaan garis pada gambar
disamping adalah:
y
a1
g = a1x + b1y = a1b1 atau
x y
 1
b1 a1
l = a2x + b2y = a2b2 atau
x
y

1
b2 a 2
l
a2
b2
0
x
b1
g
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 12
Contoh:
1) Tentukan sistem persamaan dari gambar grafik berikut:
i)
y
ii)
y
l
l
4
4
3
2
1
4
x
x
3
-4
g
g
Jawab:
i)
g = 4x + 4y = 16
l = 2x – 4y = -8
ii)
g = x + 3y = 3
l = 4x – 4y = -16
2) Tentukan sistem persamaan dari gambar grafik berikut ini:
ii)
ii)
y
y
4
x
-3
2
x
4
-2
l
-4
-5
g
g
l
Jawab:
i)
g = -4x - 3y = 12
l = -2x = 4y = -8
ii)
g = 4x + 2y = 8
l = -5x + 4y = -20
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 13
LATIHAN
1) Keliling sebuah persegi panjang adalah 28 meter, ukuran panjang 4
meter lebih panjang dari ukuran lebarnya.
a. Tentukanlah sistem persamaan yang terbentuk!
b. Selesaikanlah sistem persamaan tersebut!
c. Tentukan luas persegi panjang tersebut!
2) Jumlah dua bilangan adalah 25 dan selisihnya 9. Apabila x dan y
menyatakan kedua bilangan itu.
a. Tentukan sistem persamaan yang terbentuk!
b. Tentukan kedua bilangan tersebut dengan metode grafik!
3) Diketahui SPLDV:
x + 3y = 6
y=x–2
a. Gambarlah grafik persamaan tersebut dengan sumbu x dan
sumbu y dari -3 sampai 9 pada kertas berpetak.
b. Tentukan solusi persamaan simultan x + 3y = 6 dan y = x – 2
dari grafik yang telah kamu buat.
4) a.
Gambarlah pada sistem koordinator Cartesius garis
y = 2x – 1 dan 4x + 3y – 12 = 0
b.
i) Carilah gradient dari garis lurus y = 2x - 1
ii) Carilah gradient dari garis lurus 4x + 3y – 12 = 0
5) Pada sistem koordinat Cartesius lukislah garis-garis berikut dalam
satu gambar
i)
2x + 3y = 9
ii) 4x – 3y = 0
Jika persamaan di atas adalah SPLDV, tentukan akar-akarnya.
6) Selesaikan SPLDV:
2x + y = 5
x – 2y = 0
2x – 5y = -1
7) Grafik SPLDV ditunjukkan pada gambar berikut ini. Tuliskan
sistem persamaannya kemudian selesaikan dan tuliskan himpunan
penyelesaiannya.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 14
a)
b)
y
y
7½
2
6
2
2
x
-2
2½
-3
x
c)
d)
y
y
4
4
2
-4
2
x
4
x
Karena setiap persamaan linear secara geometri merupakan grafik
sebuah garis pada bidang, maka tafsiran geometri tentang solusi sistem
persamaan linear x dan y adalah sebagai berikut:
 SPL mempunyai solusi tunggal  beberapa garis berpotongan di
satu titik
 SPL tidak mempunyai solusi  beberapa garis sejajar
 SPL mempunyai banyak solusi  beberapa garis berimpit
Pada setiap SPL berlaku salah satu dari tiga kemungkinan berikut:
i.
Mempunyai solusi tunggal
ii.
Tidak mempunyai solusi
iii.
Mempunyai banyak solusi
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 15
Situasi geometrinya diperlihatkan seperti gambar berikut:
Sistem Persamaan Linear
Garis Lurus
a1x + b1y = c1
g : a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
g : a2x + b2y = c2
a1x+b1y = c1 y
y
x
y
x
a1x+b1y = c1
a2x+b2y = c2
a1x+b1y = c1
x
a2x+b2y = c2
a2x+b2y = c2
a1b2 – a2b1  0
SPL mempunyai solusi tunggal

a1 b1
c

 1
a 2 b2 c 2
SPL tidak mempunyai solusi
a1 b1 c1


a 2 b2 c 2
SPL mempunyai banyak solusi
Cara menentukan x:
a1x + b1y = c1 (x b2)  a1b2x + b1b2y = b2c1
a2x + b2y = c2 (x b1)  a2b1x + b1b2y = b1c2 _
(a1b2 – a2b1) x =
Jika a1b2 – a2b1  0, maka x =

b2 c1  b1c2
a1b2  a 2 b1
Cara menentukan y:
a1x + b1y = c1 (x a2)  a1a2x + a2b1y = a2c1
a2x + b2y = c2 (x a1)  a1a2x + a1b2y = a1c2 _
(a2b1 – a1b2) x = a2c1 – a1c2
Jika a2b1 – a1b2  0, maka x =
a 2 c1  a1c2
a 2 b1  a1b2
Berdasarkan gradien dari masing-masing persamaan penyusun SPLDV,
maka ada 3 kemungkinan hubungan kedua grafik, antara lain:
1) Kedua grafik/garis akan berpotongan, jika gradient kedua garis
berbeda.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 16
Contoh:
2x + y = 4
3x – 2y = -1
Dari SPLDV di bawah:
a. Gambarlah grafiknya!
b. Tentukan gradien dari masing-masing persamaannya !
a.
y
4
2x + y = 4
3x - 2y = -1
½
x
-½
2
b. 2x + y = 4
 y = -2x + 4  Gradiennya -2
3x – 2y = -1
 -2y = -3x – 1

y=
3
1
3
x +  Gradiennya
2
2
2
 Terbukti bahwa kedua garis berpotongan, jika gradien
persamaan garis tersebut berbeda.
2) Dua garis/grafik akan sejajar, jika gradien kedua garis sama
Contoh:
Diketahui SPLDV
2x – y = 8
2x – y = 6
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 17
a) Tentukan gradiennya!
b) Gambar grafiknya!
Jawab:
a) 2x – y = 8

y = 2x – 8  gradiennya 2
2x – y = 6

y = 2x – 6  gradiennya 2
b)
y
2x - y = 6
2x - y = 8
x
0
3
4
-6
-8
 Terbukti bahwa dua persamaan yang gradiennya sama maka
grafik/garisnya sejajar.
3) Dua garis/grafik akan berimpit, jika persamaan linear yang satu
merupakan kelipatan persamaan linear yang lain.
Contoh:
Diketahui SPLDV
x+y=5
2x + 2y = 10
Gambarlah grafiknya!
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 18
Jawab:
y
x+y=5
2x + 2y = 10
x
Terbukti bahwa, jika persamaan linear yang satu merupakan
kelipatan persamaan linear yang lain, maka kedua grafik berimpit.
KESIMPULAN
 a x + b1 y = c1
Penyelesaian SPLDV:  1
a 2 x + b 2 y = c 2
dengan metode grafik, akan
diperoleh hal-hal sebagai berikut:
1) Dua grafik/garis berpotongan di satu titik, hal-hal yang terjadi adalah:
a) Himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.
b) a1b2 – a2b1  0
c) SPLDV disebut sistem persamaan yang konsisten dan saling lepas.
d) Gradien dari masing-masing persamaan Penyusun SPLDV
berbeda.
2) Dua grafik/garis sejajar (tidak berpotongan), hal-hal yang terjadi
adalah:
a) Himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Dikatakan
bahwa himpunan penyelesaiannya merupakan himpunan kosong.
Ditulis { } atau .
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 19
 a1b2  a2b1  0 dan
 a1 b1 c1

b)   
atau a1c2  a2 c1  0 atau
 a2 b2 c2
 b c b c  0
 2 1 1 2
c) SPLDV disebut sistem persamaan yang tidak konsisten.
d) Gradien dari masing-masing persamaan Penyusun SPLDV sama.
3) Dua grafik/garis berimpit (berpotongan di sepanjang garis), hal-hal
yang terjadi adalah:
a) Himpunan penyelesaiannya memiliki tidak hingga banyak anggota.
 a1b2  a2 b1  0 dan
 a1 b1 c1

b)  
atau a1c2  a2 c1  0 atau

 a2 b2 c2
 b c bc  0
 2 1 1 2
c) SPLDV disebut sistem persamaan yang saling menguntungkan
d) Persamaan linear yang satu merupakan kelipatan dari persamaan
linear yang lain.
2. METODE SUBSTITUSI
Substitusi artinya menggantikan/menyatakan salah satu variabel dalam
variabel yang lain.
Untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV
dengan metode substitusi langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian
nyatakan dalam bentuk y = ax + b atau x = cy + d
2) Substitusikan x atau y pada langkah (1) ke dalam persamaan yang
lainnya.
3) Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah (2) untuk
mendapatkan nilai x = x0 atau y = y0.
4) Substitusikan nilai x = x0 yang diperoleh untuk mendapatkan y0 atau
substitusikan nilai y0 yang diperoleh untuk mendapatkan x0.
5) Himpunan penyelesaiannya adalah {(x0, y0)}.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 20
Contoh:
1) Dengan metode substitusi tentukan himpunan penyelesaian SPLDV!
a)
2x  y  4
1
2
b)
2 x  3 y  12
x y 5 0
x  13 y  3  0
Jawab:
 2x  y  4
 y  2 x  4..........(1)
a) 

2 x  3 y  12 2 x  3 y  12........(2)
-
Substitusi (1) ke (2), sehingga diperoleh
2x + 3(2x – 4) = 12
2x + 6x – 12 = 12
8x = 24
x=3
-
Substitusikan x = 3 ke (1), diperoleh
y = 2x – 4 = 2(3) – 4 = 6 – 4 = 2
-
Himpunan Penyelesaiannya: { (3,2) }
1 x  y  5  0
b)  2 1
diubah menjadi
x  3 y  3  0
-
Persamaan (1):
1
2
 12 x  y  5.........(1)
 1
 x  3 y  3.........(2)
x – y = 5, tiap ruas dikalikan 2
 x – 2y = 10
-
Persamaan (2): x + 13 y = 3, tiap ruas dikalikan 3.
 3x + y = 9
Dengan demikian, SPLDV semula ekuivalen dengan SPLDV
 x  2 y  10  x  2 y  10..........(1)


 3x  y  9
3x  y  9............(2)
-
Substitusikan (1) ke (2), sehingga diperoleh:
3(2y + 10) + y = 9
6y + 30 + y
=9
7y = 9 – 30 = -21
y = -3
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 21
-
Substitusikan y = -3 ke (1) diperoleh
x = 2y + 10 = 2(-3) + 10 = -6 + 10 = 4
-
Himpunan Penyelesaiannya {(4,-3)}
LATIHAN 4
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari masingmasing SPLDV berikut:
3x  4 y  2  0
a. 
 2x  y  5  0
2 x  3 y  13
b. 
 x  2 y  10
3x  4 y  30  0
c. 
2 x  3 y  14  0
2 x  4 y  1
d. 
 x  y 1
 5x  y  6
e. 
2 x  3 y  5
f.
5 x  3 y  7  0

 2x  5 y  9
 4 x  3 y  14
g. 
3x  4 y  23  0
3x  2 y  5  0
h. 
6 x  5 y  7  0
i.
 3x  4 y  24

2 x  5 y  23  0
j.
 7 x  3 y  2

6 x  7 y  40  0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 22
3. METODE ELIMINASI
Eliminasi artinya penghapusan atau pelenyapan/penghilangan salah satu
variabel untuk menentukan nilai variabel lainnya dan sebaliknya.
Untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLDV
dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Perhatikan koefisien dari variabel (misal x atau y). Jika koefisien salah
satu variabel dari kedua SPLDV belum sama maka samakan dengan
mengalikan atau membagi dengan suatu bilanga.
2) Jika koefisien dari salah satu variabel (misal x atau y) sudah sama,
maka:
-
Jika tandanya sama, kurangi persamaan (1) dari persamaan (2) atau
sebaliknya.
-
Jika tandanya berbeda, tambahkan persamaan (1) dari persamaan
(2) atau sebaliknya.
Contoh:
1) Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV
berikut:
a) 2x – y = 2
b. x + y = 2
3x – 2y = 1
3x + 2y = 8
Jawab:
a)
2x – y = 2 ………. (1)
3x – 2y = 1 ……… (2)
 Misalnya kita akan mengeliminasi variabel
y, karena
koefisiennya tidak sama, maka kita menyamakan dulu dengan
mengalikan persamaan (1) dan (2) dengan konstanta yang
bersesuaian, sehingga koefisien y menjadi sama.
2x – y = 2 | x 2
 4x – 2y = 4
3x – 2y = 1 _ (koefisien sama, kurangi)
3x– 2y= 1 | x 1
x =3
 Mengeliminasi variabel x
(samakan koefisien x)
2x – y = 2 | x 3
 6x – 3y = 6
3x– 2y= 1 | x 2
6x – 4y = 2 _ (koefisien sama, kurangi)
y=4
 HP = {(3,4)}
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 23
b)
x+y=2
3x + 2y = 8
 Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x
x+y=2 |x2
 2x + 2y = 4
(koefisien sama,
3x+2y= 8 | x 1
 3x + 2y = 8 _
kurangkan!)
-x
= -4
 x
=4
 Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y
x+y=2 |x3
 3x + 3y = 6
3x+2y= 8 | x 1
 3x + 2y = 8 _
(koefisien sama,
kurangi!)
y = -2
 HP = {(4,-2)}
Untuk menyelesaikan soal-soal SPLDV yang belum bentuk baku, maka
kita ubah SPLDV belum baku menjadi SPLDV yang baku.
Contoh:
2) Carilah Himpunan Penyelesaian dari SPLDV:
 x 4 2  y  3.......... ....(1)

y4
 x  3  8.......... ...( 2)
Jawab:
 Persamaan (1) :
x2
 y  3, tiap ruas dikalikan 4
4
 x – 2 + 4y = 12
x +
4y = 14 ………. (1)
 Persamaan (2) : x +
x4
 8, tiap ruas dikalikan 3
3
 3x + y + 4 = 24
 3x + y
= 20 ………. (2)
 Selanjutnya persamaan yang terakhir diselesaikan dengan metode
eliminasi.
 Mengeliminasi variabel y diperoleh nilai x
x + 4y = 14
|x1
 x + 4y = 14
(koefisien sama,
3x + y = 20
|x4
 12x + 4y = 80 _
dikurangi)
-11x
x
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
= -66
=6
Page 24
 Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y
x + 4y = 14
|x3
 3x + 12y = 42
(koefisien sama,
3x + y = 20
|x1
 3x +
kurangi!)
y = 20 _
11y = 22
y=2
 HP = {(6,2)}
3) Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
x y
 4  2 1
a) 
x y
  5
2 2
 x  8  2( y  3)
b) 
 x  4 y  4( x  2 y  2)
 2 6
   1

 x y
c) 
4 1
1
   2

3
x y
 x 8  y  2
d)  x  y 22 x 3y 1
 5  4  3
Jawab:
a) - Persamaan (1):
x y
  1 , tiap ruas dikalikan 4
4 2
 x + 2y = 4 ………. (1)
-
Persamaan (2):
x y
  5 , tiap ruas dikalikan 2
2 2
 x – y = 10 ………. (2)
-
Selanjutnya persamaan yang terakhir diselesaikan dengan
metode eliminasi.
-
Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x
x + 2y = 4 | x 1
|  x + 2y = 4
(koefisien beda,
x – y = 10 | x 2
|  2x–2y = 20 _
ditambah)
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
3x
= 24
x
=8
Page 25
-
Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y
x + 2y = 4
(Koefisien sama, dikurangi)
x – y = 10 _
3y = -6
y = -2
 HP = {(8, -2)}
b) - x + 8 = 2(y + 3)
 x – 2y = -2 ……. (1)
-
x – 4y = 4(x – 2y + 2)
 -3x + 4y = 8 ….. (2)
-
Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x
x – 2y = -2 | x -3 |  -3x + 6y = 6
-3x+4y= 8 | x 1
|  -3x + 4y = 8 _
2y = -2
y
-
(koefisien sama
kurangi)
= -1
Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y
x – 2y = -2 | x 2
|  2x - 4y = -4
(koefisien sama
-3x+4y= 8 | x 1
|  -3x + 4y = 8 _
-x
=4
kurangi)
y
= -4
 HP = {(-4,-1)}
 2 6
 x  y  1............(1)
c) 
4 1
1
   2 ...........(2)
3
 x y
Misal:
1
 A maka SPLDV di atas menjadi:
x
1
B
y
 2 A  6 B  1.............(1)


 4 A  B  2 1 .............(2)

3

-
Mengeliminasi variabel B, diperoleh nilai A
-2A + 6B = -1
|x1
|  -2A + 6B = -1
4A + B = - 73
|x6
|  24A + 6B = -14 _
-26A
= 13
A
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
= - 12
Page 26
-
Mengeliminasi variabel A, diperoleh nilai B
-2A + 6B = -1
|x2
|  -4A+12B = -2
4A + B = - 73
|x1
|  4A + B
= - 73 +
13B = -2 -
7
3
=
6
3
-
7
3
=  133
B= - 133 : 131   13
Jika A = 
1
1
1
maka    x = -2
x
2
2
Jika B = 
1
1
1
maka    y = -3
3
y
3
 HP = {(-2,-3)}
d) -
x 8
2
 3y  2 , kedua ruas dikalikan 6, diperoleh:
 x 8  y 
 6
  6   6(2)
 2  3
 3(x + 8) + 2(y)
= 12
 3x + 24 + 2y = 12
 3x + 2y
-
x y 2
5

x  y 1
4
= -12 …………… (1)
 3 , kedua ruas dikalikan 20, diperoleh:
 20(  x 5y 2   20 x4y 1   20(3)
 4(x + y – 2) + 5 (x – y + 1)
= -60
 4x + 4y – 8 + 5x – 5y + 5
= -60
 9x – y = -57 ………….. (2)
-
Mengeliminasi variabel y, diperoleh nilai x
3x + 2y = -12
| x1
|  3x + 2y = -12
9x – y = -57
| x2
|  18x – 2y = -114 +
21x
x
-
= -126
=6
Mengeliminasi variabel x, diperoleh nilai y
3x + 2y = -12
| x3
|  9x + 6y = -36
9x – y = -57
| x1
|  9x – y = -57 _
7y
= 21
y
36
 HP = {(6,3)}
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 27
LATIHAN 5
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut:
 x y
 56 2

a) 
3
2
 5 x  3 y  1

 x y
 4  7  23

b) 
x
y
14 x  8  6

 0,25 x  0,25 y  3

c) 
0,75 x  0,125 y  2

0,5 x  0,6 y  2
d) 
 1,5 x  0,8 y  7
 0,5 x  0,2 y  9
e) 
0,6 x  0,25 y  1
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
1
1 8
x  y 12

a) 
 4 4
 x  y 3

4 3
 x  y 1

b) 
6 4
x  y  6

10 x  5 y  2 xy


c) 
1
5 x  10 y  1 xy

2

 4 x  3 y  xy
d) 
48 x  6 y  5 xy
12 x  3 y  xy
e) 
9 x  4 y  7 xy
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 28
3) Tentukan HP dari SPLDV berikut ini:
x  5 3y  9

9
2
3
2x  3y
69
4
4) Diketahui SPLDV
100x + 3y = 106
25x – 7y = 11
Maka nilai dari 3x + y adalah …
5) Dua buah bilangan x dan y mempunyai perbandingan 2 : 3. Jika
jumlah 2 kali bilangan x ditambah 1,5 kali bilangan y sama dengan 68,
maka bilangan tersebut berturut-turut adalah …
6) Keliling suatu persegi panjang 50 cm, dan panjangnya lebih 7 cm dari
lebarnya, maka lebarnya adalah …
 3x  y  9
7) Jika x dan y memenuhi SPLDV : 
maka nilai x + y
5 x  2 y  16
adalah …
8) SPLDV:
6x + 8y = 19
3x + 4y = 13
memiliki ….
a) banyak penyelesaian
b) empat penyelesaian
c) dua penyelesaian
d) satu penyelesaian
e) tak ada penyelesaian
9) Diberikan persamaan
Nilai
a  2 b 1
a  3 2b  1

 2 dan

1
3
6
4
2
1
 ....
ab
10) Nilai x + y yang memenuhi persamaan
2x  3y  4
 3 dan
3x  y  10
x y7
 3 adalah ….
 2x  y  5
 9 14
x  y  0

11) Himpunan penyelesaian dari SPLDV: 
adalah {(x,y)}.
6 2
 x  y 1

Nilai x + y = ….
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 29
12) Himpunan
penyelesaian
dari
SPLDV:
 a  8 x  2(b  3)

a  4b  4(a  2b  2)
adalah…
3 p  4q  2  0
13) Jika penyelesaian dari SPLDV : 
 2p  q  5  0
adalah p dan q,
maka nilai p + q adalah …
4 x  3 y  3  0
14) Pada sistem persamaan 
2 x  5 y  9  0
selisih nilai x dan y
adalah…
 2x  3y  4
15) Jika himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 
 3x  y  5
adalah {(x,y)}, maka nilai xy = …
4. METODE GABUNGAN ELIMINASI DAN SUBSTITUSI
Metode eliminasi dan substitusi dapat digunakan secara bersama-sama
untuk menyelesaikan SPLDV. Adapun langkah-langkahnya sebagai
berikut:
1) Eliminasikan (hilangkan) salah satu variabel:
-
Misalnya: menghilangkan variabel x, sehingga diperoleh nilai y
-
Misalnya: menghilangkan variabel y, sehingga diperoleh nilai x
2) Substitusikan nilai variabel x atau variabel y yang diperoleh dari
langkah (1) ke persamaan yang lain, sehingga diperoleh nilai x atau y.
3) Tulislah himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode
gabungan Eliminasi dan Substitusi
a) 5x + y = 10
2x + 3y = -22
b) 3x – y = 7
-2x + 4y = -8
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 30
Jawab:
a) - Eliminasi y sehingga diperoleh nilai x
5x + y = 10
|x3
 15x + 3y = 30
2x + 3y = -22
|x1
 2x + 3y = -22 _
13x
x
-
= 52
=4
Substitusikan nilai x = 4 ke persamaan 5x + y = 10 sehingga
diperoleh nilai y
5(4) + y = 10
20 + y = 10
y = 10 – 20 = -10
 HP = {(4,-10)}
b) -
Eliminasi y, sehingga diperoleh nilai x
3x – y = 7
| x4
 12x – 4y = 28
-2x + 4y = -8
| x1
 -2x + 4y = -8 +
10x = 20
x =2
-
Substitusi nilai x = 2 ke persamaan 3x – y = 7 sehingga
diperoleh nilai y
3(2) – y = 7
6 -y =7
y = 6 – 7 = -1
 HP : {(2,-1)}
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut:
a) 3x + 5y = 21
2x – y = -5
b) 3x + 5y = 11
4x – y = 7
Jawab:
a) - Eliminasi x sehingga diperoleh nilai y:
3x + 5y = 21
|x2
 6x + 10y = 42
2x – y = -5
|x3
 6x – 3y = -15 _
13y
y
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
= 57
=4
5
13
Page 31
-
Substitusi nilai y = 4
5
ke persamaan 2x – y = -5, sehingga
13
diperoleh nilai x:
2x - 4
5
13
2x
x
= -5
= -5 + 4
=-
5
13
5
8
= -4
+4 =13
13
13 13
8
1
4
x
=13 2
13
 4 5 
 HP =   ,4 
 13 13 
b) - Eliminasi x sehingga diperoleh nilai y:
3x + 5y = 11
|x4
 12x + 20y = 44
4x – y = 7
|x3
 12x – 3y = 21 _
23y = 23
y =1
-
Substitusi nilai y = 1 ke persamaan 4x – y = 7, sehingga
diperoleh nilai x
4x – 1
=7
4x
=7+1=8
x
=2
 HP: {(8,1)}
3) Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode
gabungan eliminasi dan substitusi.
a) 3x – 2y – 6 = 0
9x – 8y – 2 = 0
b) 2x + y = 6
x+y=3
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 32
5. METODE DETERMINAN
Determinan adalah suatu jajaran bilangan yang terdiri atas baris dan kolom
serta dibatasi oleh dua buah garis vertikal.
Bentuk umum determinan
a11
aij  Baris 1
a2 j  Baris 2
a12
a13
a21 a22
a23
a31
a32
a33



a3 j  Baris 3

ai1
ai 2
ai 3
aij  Baris i
Kolom 1
Kolom 3
Kolom 2
Kolom j
Determinan sering dilambangkan dengan huruf D. Ordo atau derajat dari
suatu determinan ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom.
Contoh:
D=
0 1
Determinan berorde/berderajat 2
2 3
2
0
1
D = 3 1 1
5 3 2
Determinan berorde/berderajat 3
1 0 2 5
D=
3
2 7 4
2 1 3 0
5

Determinan berorde/berderajat 4
2 7 1
Cara Menentukan Nilai Determinasi
Karena sistem persamaan linear yang dipelajari di SMA hanyalah
sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel yang juga hanya
berhubungan dengan determinan ordo 2 dan orde 3, maka determinan
yang akan ditentukan nilainya hanyalah determinan ordo 2 dan ordo 3.

Untuk Determinan Ordo 2:
Bentuk Umum:
D=
a
b
c
d
Tanda panah menunjukkan elemen-elemen yang dikalikan
Nilai determinan D = (a.d) – (c.b)

Untuk Determinan Ordo 3:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 33
a b
Jika determinan berordo 3 adalah D = d
g
c
e
f , maka langkah-
h
i
langkah menentukan nilai determinan tersebut adalah:
1) Tulis ulang langkah kolom 1 dan 2 secara berurut disamping
determinan yang dicari nilainya.
a
b ca b
d e fd e
g h
ig h
2) Kalikan elemen-elemen diagonal dari kiri atas ke kanan bawah dan
juga dari kanan atas ke kiri bawah.
3) Hasil kali elemen-elemen dari diagonal kiri atas ke kanan bawah
dijumlahkan kemudian dikurangi jumlah dari hasil kali elemen
diagonal kanan atas ke kiri bawah.
a
b c
a
d
e
f
d e
g h
i
g h
- - -
b
+ + +
Nilai D = (a.e.i + b.f.g + c.d.h) – (c.e.g + a.f.h + b.d.i)
Contoh:
Tentukan nilai dari:
a)
2 3
b)
4 5
0 7
8
7
1
2
3
c) 4 5 6
- 2 -1 0
2
2
2
d) 1 5 6
- 2 3 -1
Jawab:
a)
b)
c)
2 3
= (2 x 5) – (3 x 4) = 10 – 12 = -2
4 5
0 7
8
7
1
2
= (0 x 7) – (-7 x 8) = 0 – (-56) = 56
3
6 = [(1x5x0)+(2x6x2)+(3x4x(-1)] –
- 2 -1 0
4
5
[(3x5x2)+(1x6x(-1)] + (2x4x0)]
= (0 + 24 + (-12)] – [30 + (-6) + 0)
= [12] – [24] = -12
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 34
d)
2
2
2
1
5
6 = [(2x5x(-1)] + (2x6x(-2) +(2x1x3)] –
- 2 3 -1
[(2x5x(-2)] + (2x6x3) + (2x1x1(-1)]
= [-10+(-24)+6) – (20+36+(-2)]
= [-28] – [14]
= -42

Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Determinan
 a x  b1 y  c1
Jika bentuk umum SPLDV:  1
a2 x  b2 y  c2
a1
Maka: D =
x=
b1
Dx =
a2 b2
c1
b1
c2
b2
Dy =
a1
c1
a2
c2
Dx
Dy
serta y =
D
D
Contoh:
Dengan metode determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLDV:
2x + 3y = 10
4x + 5y = 12
Jawab:
2 3
D=
4 5
Dx =
Dy =
10 3
12 5
2 10
4 12
= (2 x 5) – (3 x 4) = 10 – 12 = -2
= (10 x 5) – (3 x 12) = 50 – 36 = 14
= (2 x 12) – (10 x 4) = 24 – 40 = -16
x=
Dx 14

 7
D 2
y=
Dy  16

8
D
2
 HP = {(-7,8)}
c1
Dari penyelesaian: x =
b1
c b2
Dx
= 2
a1 b1
D
a2 b2
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
y=
a1
c1
a
Dy
= 2
a1
D
a2
c2
b1
b2
Page 35
Diketahui bahwa jika:
1) D  0, Dx  0, Dy  0 atau
a1
b1
 0,
a2 b2
c1
b1
c2
b2
 0,
a1
c1
a2
c2
0
atau a1b2  a2b1, c1b2  c2b1, a1c2  a2c1
atau
a1 b1 b1 c1 a1 c1
 ,  , 
a2 b2 b2 c2 a2 c2
atau
a1 b1 c1


a2 b2 c2
maka SPLDV mempunyai satu anggota dalam himpunan
penyelesaiannya.
2) D = 0, Dx  0, Dy  0
atau
a1
b1
a2 b2
= 0,
c1
b1
c2
b2
 0,
a1
c1
a2
c2
0
atau a1b2  a2b1, c1b2  c2b1, a1c2  a2c1
atau
a1 b1 c1 b1 a1 c1
 ,  , 
a2 b2 c2 b2 a2 c2
maka SPLDV tidak mempunyai anggota dalam himpunan
penyelesaiannya
atau
himpunan
penyelesaiannya
himpunan
kosong.
3) D = 0, Dx = 0, Dy = 0
atau
a1
b1
a2 b2
= 0,
c1
b1
c2
b2
= 0,
a1
c1
a2
c2
=0
atau a1b2 = a2b1, c1b2 = c2b1, a1c2 = a2c1
atau
a1 b1 b1 c1 a1 c1
 ,  , 
a2 b2 b2 c2 a2 c2
maka SPLDV mempunyai tak hingga banyak anggota dalam
himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
Dengan metode determinan tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLDV berikut:
a) x + y = 4
b) 2x – 2y = 4
4x+3y = 13
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
x–y=1
c. x + y = 1
3x+3y = 3
Page 36
Jawab:
a) D =
Dx =
Dy =
b) D =
Dx =
Dy =
c) D =
Dx =
Dy =
1 1
4 3
4
1
13 3
1
4
4 13
2 2
1 1
4
x=
Dx  1

1
D 1
= -1
x=
Dy  3

3
D
1
= -3
 HP ={(1,3)}
=0
x=
Dx  6

~
D
0
= -6
x=
Dy  2

 ~
D
0
= -1
2
1 1
2 4
= -2
1 1
1 1
3 3
 HP ={ } =  = Tak punya
=0
x=
Dx 0
  TT
D 0
=0
x=
Dy 0
  TT
D 0
=0
 HP mempunyai tak hingga
1 1
3 3
1 1
3 3
banyak penyelesaian
Keterangan:
~
= dibaca tak terhingga
TT
= dibaca tak terdefinisi
Latihan
1) Dengan metode determinan, tentukan himpunan penyelesaian SPLDV
berikut:
a. x + y = 3
2x + 3y = 7
b. x – y = 5
2x + 5y = -4
c. x – 2y = 6
2x – y = 9
d. 4x – 3y + 11 = 0
2x – 5y = 5
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 37
e. x + 8 = 2 (y + 3)
4(x – 2y + 2) = x – 4y
f.
x y
 2
5 6
3
2
x  y  1
5
3
g.
x y
  23
4 7
x y
  6
14 8
h. 0,25x + 0,25y = 3
0,75x – 0,125y = 2
i.
5{x  ( y  1)}  3x  2(3 y  1)  20
2{2x – 3(2y-1)} = -5x + y
j.
2x  y  4
x  2 y  27
 ( y  4) 
3
2
3
x  3y 1
x y5
x
 ( x  y )
5
4
2) Tentukan nilai determinan berordo dua berikut:
a.
1
32
5
7
3
2
3
2
b.
c.
3
2
1
3
2
d.
7
1
3
2
7
3
6
2 12
4
5
3
5
1
7
3
2 13
1
3 3
2 2
3 5
3
e. 2
7
2 5
f.
1
7
1
g. 2
1
3
5
h. 1
7
1
2
3
4
3
5
2
3
2
3
2
3
1
6
3) Yang manakah dari SPLDV berikut yang tidak memiliki penyelesaian,
yang memiliki satu penyelesaian dan tentukan penyelesaiannya serta
yang memiliki tak hingga banyak penyelesaian.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 38
a. x + 3y = 5
e.
3 5 1
 
x y 4
2x + 3y = -2
b. 5x – 2y = 3
f. x = 0
10x - 4y = 6
y=0
c. 2x – 4y = 7
3x + 3y = -
1 1 3
 
x y 4
g. y – 5 = 0
7
2
y–7=0
d. 3x + 4y = 17
h. 3x – 7y = 29
5x + 7y = 29
3x – 7y = 33
C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)
-
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang
terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.
-
Bentuk Umum SPLTV:
Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3,  R
Persamaan a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, dan a3x + b3y + c3z =
d3 merupakan persamaan di R3. Ketiga bidang tersebut dapat saling
berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.
1) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka
SPLTV
tersebut
mempunyai
satu
anggota
dalam
himpunan
penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong
tersebut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
Titik potong
(x1, y1, z1)
a3x + b3y + c3z = d3
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 39
Dari gambar di atas terlihat, bahwa ketiga bidang bertemu
(berpotongan) di satu titik, yaitu titik (x1, y1, z1).
Jadi titik (x1, y1, z1) merupakan penyelesaian tunggal dari sistem
persamaan linear tiga variabel tersebut.
2) Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka
SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu
titik-titik pada garis potong ketiga bidang tersebut.
Terlihat pada gambar di atas, bahwa ketiga bidang berpotongan pada
satu garis. Jadi titik-titik pada garis berpotongan merupakan
penyelesaian dari SPLTV tersebut. Dengan kata lain SPLTV tersebut
mempunyai
tak
hingga
banyak
anggota
dalam
himpunan
penyelesaiannya (mempunyai lebih dari satu penyelesaian).
3) Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV
tersebut dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 40
Terlihat pada gambar di atas bahwa, ketiga bidang tidak mempunyai
titik atau garis potong. Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai
anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya
adalah himpunan kosong).
Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa
cara/metode antara lain:
1) Metode substitusi
2) Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi
3) Metode determinan
1. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan
metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian
nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z
sebagai fungsi x dan y.
2) Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1)
ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV.
3) Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)
Contoh:
1) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi
x + y + 2x = 9 ……….. (1)
2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)
3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)
Jawab:
-
Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)
-
Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)
2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1
 2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)
Dan
3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0
 3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)
Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.
2y – 7z = -17 …………………………………………………
(5)
3y – 11z = -27 ………………………………………………..
(6)
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 41
Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi
seperti pada SPLDV.
 17  7e
…………………. (7)
2
-
Dari persamaan (5) diperoleh: y =
-
Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)
  17  7e 
3
  11z  27
2


 -51 + 21z – 22z = -54
 -z = -3
z=3
-
Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh
nilai y = 2
-
Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1.
Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3)
atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.
2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi
2x + y – z = 2 ………… (1)
x – 2y + 3z = 1 ……….. (2)
3x – y + 2z = 3 ……….. (3)
Jawab:
Misalkan substitusi dimulai pada variabel z terlebih dahulu (persamaan
yang paling sederhana).
-
Dari persamaan (1) diperoleh: z = 2x + y – 2 …………….. (4)
-
Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:
x – 2y + 3(2x + y – 2) = 1
 7x + y = 7 ………………………………………………….. (5)
Dan
3x – y + 2(2x + y – 2) = 3
 7x + y = 7 …………………………………………………. (6)
-
Persamaan (5) sama dengan persamaan (6), sehingga dari kedua
persamaan ini dapat kita peroleh nilai satu peubah sebagai fungsi
dari peubah yang lain, misalnya:
y = 7 – 7x ………………………………………………………. (7)
-
Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4), maka diperoleh:
z = 2x + (7 – 7x) – 2
z = -5x + 5
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 42
Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah:
x=x
y = 7 – 7x
z = 5 – 5x
Penyelesaian dari SPLTV ini banyak sekali, tergantung pada nilai x
yang kita tentukan, misalnya.
 Jika x = 1, maka y = 0 dan z = 0 atau
 Jika x = 0, maka y = 7 dan z = 5 atau
 Jika x = -1, maka y = 14 dan z = 10 dan seterusnya
Dengan kata lain SPLTV ini mempunyai tak hingga banyak
anggota dalam Himpunan Penyelesaiannya.
Cara lain
-
Persamaan (5) sama dengan persamaan (6): berarti persamaan yang
satu merupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka
himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak
anggota.
3) Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi
x + 2y – 3z = -1 …………………………………………………. (1)
3x - y + 2z = 7 …………………………………………………… (2)
5x + 3y – 4z = 2 …………………………………………………. (3)
Jawab:
-
Misalkan substitusi dimulai pada variabel x, dari persamaan (1)
diperoleh:
x = -2y + 3z – 1 ……………………………………………….. (4)
-
Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:
3(-2y + 3z – 1) – y + 2z = 7
 -7y + 11z = 10 …………………………………………….. (5)
dan
5(-2y + 3z – 1) + 3y – 4z = 2
 -7y + 11z = 7 ………………………………………………. (6)
Persamaan (5) dan (6) menyatakan bahwa SPLDV tersebut tidak
konsisten sehingga SPLTV tidak mempunyai penyelesaian.
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 43
2. Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi
Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan
metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:
1) Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).
2) Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)
3) Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah
2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai
variabel yang lainnya.
Contoh:
1) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi
x + y + 2z = 9 ………………. (1)
2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)
3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)
Jawab:
-
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:
x + y + 2z = 9
| x 3  3x + 3y + 6z = 27
2x + 4y – 3z = 1
| x 2  4x + 8y – 6z = 2 +
7x + 11y
-
= 29 ……………..(4)
Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh
persamaan:
2x + 4y - 3z = 1
| x 5  10x + 20y - 15z = 5
3x + 6y – 5z = 0
| x 3  9x + 18y – 15z = 0 _
x + 2y
-
= 5 ………….. (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:
7x + 11y = 29 …………… (4)
x + 2y = 5 …………….. (5)
-
Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y
7x + 11y = 29
| x1
 7x + 11y = 29
x + 2y = 5
| x7
 7x + 14y = 35 _
-3y = -6
y =2
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 44
-
-
Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x
7x + 11y = 29
| x2
 14x + 22y = 58
x + 2y = 5
| x11
 11x + 22y = 55 _
3x
=3
x
=1
Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling
sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z
x + y + 2x = 9
 1 + 1 + 2z = 9
2z = 6
z=3
 Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau
(1, 2, 3)
Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}
2) Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi
2x + y – z = 2 ……………… (1)
x – 2y + 3x = 1 ……………. (2)
3x – y + 2z = 3 …………….. (3)
Jawab:
-
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)
2x + y – z = 2 | x3
 6x + 3y – 3z = 6
x - y + 3z = 1 | x1
 x - 2y + 3z = 1 +
7x + y
-
Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)
2x + y – z = 2 | x2
 4x + 2y – 2z = 4
3x - y + 2z = 3 | x1
 3x - y + 2z = 3 +
7x + y
-
= 7 ……………….. (4)
= 7 ……………….. (5)
Terlihat bahwa persamaan (4) sama dengan persamaan (5)
sehingga kita peroleh nilai satu variabel yang merupakan fungsi
dari variabel yang lain, yaitu y = 7 – 7x.
-
Substitusikan nilai y = 7 – 7x ke persamaan (1), diperoleh:
2x + (7 – 7x) – z = 2

z = -5x + 5
 Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 45
x=x
y = -7x + 7
z = -5x + 5
Dengan kata lain, SPLTV ini mempunyai banyak penyelesaian
tergantung pada nilai variabel x yang kita tentukan.
Cara Lain
Persamaan (4) sama dengan persamaan (5), berarti persamaan yang
satu mrupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan
penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.
3) Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi
x + 2y – 3z = -1 …………. (1)
3x - y + 2z = 7 …………. (2)
5x + 3y – 4z = 2 ………… (3)
Jawab:
-
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)
x + 2y – 3z = -1
| x3
 3x + 6y – 9z = -3
3x – y + 2z = 7
| x1
 3x – y + 2z = 7 _
7y – 11z = -10 ………… (4)
-
Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)
x + 2y – 3z = -1
| x5
 5x + 10y – 15z = -5
5x + 3y + 2z = 2
| x1
 5x + 3y - 4z
= 2_
7y – 11z = -7 ………..… (5)
-
Persamaan (4) dan persamaan (5) menyatakan bahwa persamaan
tersebut tidak konssten (sesuatu yang tak mungkin terjadi),
sehingga dapat dikatakan bahwa SPLTV tersebut tidak mempunyai
penyelesaian.
3. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Determinan
Jika bentuk umum SPLTV:
a1x + b1y + c1z = d1 …………………………………………………… (1)
a2x + b2y + c2z = d2 …………………………………………………… (2)
a3x + b3y + c3z = d3 …………………………………………………… (3)
maka:
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 46
a1
b1
c1
D = a2
a3
b2
c2
b3
c3
d1
b1
c1
Dx = d 2
d3
b2
c2
b3
c3
a1
d1
c1
Dy = a 2
a3
d2
c2
d3
c3
a1
b1
d1
Dz = a 2
a3
b2
d2
b3
d3
Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:
x=
Dx
D
y=
Dy
D
z=
Dz
D
1) Jika D  0, Dx  0, Dy  0, Dz  0, maka SPLTV tersebut mempunyai
satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
2) Jika D = 0, Dx  0, Dy  0, Dz  0, maka SPLTV tersebut tidak
memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
3) Jika D = 0, Dx = 0, Dy = 0, Dz = 0, maka SPLTV tersebut mempunyai
tak hingga banyak anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
Contoh:
1) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLTV:
x+y+z=1
x + 2y + 3z = 5
3x + 2y – z = -9
Jawab :
1
1
1
1
1
D= 1
2
3
1
2
3  2 1 3  2
- +
+
+
= [(1)(2)(-1)+(1)(3)(3)+(1)(1)(-2)] – [(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]
=6
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 47
-1
1
1
1
1
Dx = 5
2
3
5
2
- 9  2 1  9  2
- - +
+
+
= [(-1)(2)(-1)+(1)(3)(-9)+(1)(5)(-2)] –
[(-9)(2)(1)+(-2)(3)(-1)+(-1)(5)(1)]
= 18
1
-1
1
1 1
Dy = 1
5
3
1
5
3  9 1 3  9
- +
+
+
= [(1)(5)(-1)+(-1)(3)(3)+(1)(1)(-9)] –
[(3)(5)(1)+(-9)(3)(1)+(-1)(1)(-1)]
= -126
1
-1
1
1
5
Dz = 1 2
3 2 9
1
2
-
1
-
-
3 2
+
+
+
= [(1)(2)(-9)+(1)(5)(3)+(-1)(1)(-2)] –
[(3)(2)(1)+(-2)(3)(1)+(-1)(1)(1)]
= 24
x
=
Dx  18

 3
D
6
 HP = {(-3,-2,4)}
y
=
Dy  12

 2
D
6
SPLTV punya satu anggota dalam
z
Dz 24

4
=
D
6
HP nya.
2) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLTV:
x + 2y - z = 6
x + y + 2z = 7
2x + 2y + 4z = 5
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 48
Jawab :
1 2 -1 1 2
D
= 1 1
3 2
- -
2
1 1
4
2 2
-
+
+ +
= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] –
[(2)(2)(1) + (1)(2)(2) + (4)(1)(2)]
=0
6 2 -1
Dx = 7 1
5 2
-
-
6 2
2
7 1
4
5 2
-
+
+ +
= [(6)(1)(4) + (2)(2)(5) + (-1)(7)(2)] –
[(9)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]
= -45
1 6 -1
Dy = 1 7
2 5
-
-
1 6
2
1 7
4
2 2
-
+
+
+
= [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(5)] –
[(2)(7)(-1) + (5)(2)(1) + (4)(1)(6)]
= 27
1 2 6
1 1
Dz = 1 1 7
2 2 5
1 1
-
-
2 2
- + + +
= [(1)(1)(5) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] –
[(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (5)(1)(2)]
=9
x
=
Dx  45

~ (Tak terhingga)
D
0
y
=
Dy 27

~ (Tak terhingga)
D
0
z
=
Dz 9
  ~ (Tak terhingga)
D 0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
 SPLTV tak punya
anggota dalam HP nya.
Page 49
3) Dengan metode Determinan, tentukan himpunan penyelesaian dari
SPLTV:
x + 2y - z = 6
x + y + 2z = 7
2x + 2y + 4z = 14
Jawab :
1 2 -1 1 2
D
= 1 1
2 2
2
1 1
4
2 2
= [(1)(1)(4) + (2)(2)(2) + (-1)(1)(2)] –
[(2)(2)(-1) + (2)(2)(1) + (4)(1)(2)]
=0
6
Dx = 7
2 -1
6
2
1
7
1
2
14 2 4 14 2
= [(6)(1)(4) + (2)(2)(14) + (-1)(7)(2)] –
[(14)(1)(-1) + (2)(2)(6) + (4)(7)(2)]
=0
1
6
-1 1
6
Dy = 1
7
2
7
1
2 14 4 2 14
= [(1)(7)(4) + (6)(2)(2) + (-1)(1)(14)] –
[(2)(7)(-1) + (14)(2)(1) + (4)(1)(6)]
=0
1 2
6
1 2
Dz = 1 1
7
1 1
2 2 14 2 2
= [(1)(1)(14) + (2)(7)(2) + (6)(1)(2)] –
[(2)(1)(6) + (2)(7)(1) + (14)(1)(2)]
=0
x
=
Dx 0
  Tak terdefinisi (TT)
D 0
y
=
Dy 0
  Tak terdefinisi (TT)
D 0
z
=
Dz 0
  Tak terdefinisi (TT)
D 0
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
 SPLTV mempunyai tak
hingga banyak anggota
dalam himpunan
penyelesaiannyaanggota
dalam HP nya.
Page 50
LATIHAN
1. Dengan metode determinan, tentukan penyelesaian dari
a. 2x + y – z = 1
f. 3x + 2y + z = 3
-4x + 2y – 3z = 3
4x + 2y + z = 1
6x – y – 2z = 2
5x + 3y + z = 2
b. x + y – z = 0
g. x – 2y – 4z = 12
x–y+z=1
2x + 3y + 4z = 1
3x + y – z = 1
4x + 5y – 3z = 9
c. x + 2y + z = 1
h. 3x – y + 2z = 0
2x – y + 2z = 1
x+y–z=1
3x + y – z = 1
2x – 2y + 3z = 2
d. 3x + y – z = 1
i. x – y + z = 1
4x – 2y + z = 0
-x + y – z = -1
5x + 3y – 3z = -6
2x – 2 + 2z = 0
e. x – y + z = -2
j. x + 4y – z = 1
x–y–z=0
-x + 2y + z = 2
x + y + z = -6
2x + 6y + z = -8
2. Dengan metode eliminasi tentukan penyelesaian dari :
a. 4x + y – 3z = 11
2x – 3y + 2z = 9
x + y + z = -3
b. 2x – 5y + 3z = -10
e.
3 2 5
   10
x y z
3x + 4y + 7z = -11
4 5 5
   17
x y z
5x + 3y + 7z = -8
c. 5x + 3y + 2z = -9
-3x – y + 5z = -17
4x – 2y + z = -18
d.
2 2 3
  0
x 7 z
1 5 6
   12
x y z
2 2 4
  2
x y z
f.
1
1
x  y  3z  3
4
2
3
3
x  y  z  1
4
2
1
x  y  2 z  2
2
3 2 2
   35
x y z
3. Dengan metode substitusi tentukan penyelesaian dari
a. x + y – 3z = 2
2x + y + z = 0
6x – 3y + 5z = 6
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
b. 5x – y + z = 5
3x + y – z = 3
x + 2y – z = 3
Page 51
D. PENGGUNAAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Berikut ini beberapa contoh penggunaan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari:
1. Ari, Bobi, dan Coki berbelanja di Toko. Ari membeli 3 tas, 4 baju, dan 1
celana. Ari harus membayar Rp 21.000,- Bobi membeli 6 tas, 2 baju, dan 1
celana. Bobi harus membayar Rp 31.000,-. Coki membli 2 tas, 5 baju, dan
10 celana. Coki harus membayar Rp 28.000,a. Berapa harga sebuah tas, sebuah baju, dan sebuah celana
b. Jika Doni membeli 4 tas, 4 baju, dan 4 celana
Jawab :
Misalkan :
Harga 1 tas = x
Harga 1 baju = y
Harga 1 celana = z, maka
3x + 4y + z = 21.000 …………(1)
6x + 2y + z = 31.000 …………(2)
2x + 5y + 10z = 28.000 ………(3)
Jika diselesaikan dengan metode : determinan maka diperoleh :
D
3 4
1 3 4
= 6 2
1 6 2
2 5 10 2 5
= [3210+412+165] – [221+513+1064]
= - 161
Dx
21000 4
1 21000 4
= 31000 2
1 31000 2
28000 1 10 28000 5
= [2100021+2100012+1628000] –
[2310001+2800013+10621000]
= -714000
Dy
3 21000
1 3 21000
= 6 31000
1 6 31000
2 28000 10 2 28000
= [33100010+2100012+1628000] –
[2310001+2800013+10621000]
= - 266000
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 52
3 4 21000 3 4
= 6 2 31000 6 2
2 5 28000 2 5
Dz
= [3228000+4310002+2100065] –
[2221000+5310003+2800064]
= -175000
Diperoleh :
x=
Dx  714000

 4434,78
D
 161
y=
Dy  266000

 1625,17
D
 166
z=
Dz  175000

 1086,96
D
 161
karena x, y, z harga bnarang maka dapat dibulatkan menjadi :
x = 4.400, y = 1.650, z = 1.100
a. Jadi harga 1 tas = Rp 4.400,- harga 1 baju = Rp 1.650,- dan harga 1
celana = Rp 1.100,b. Harga yang harus dibayarkan Doni jika membeli 4 tas, 4 baju dan 4
celana adalah 4  (4400 + 1650 + 1100) = Rp 28.600,2. Jika Adi, Beni, dan Ceri bekerja bersama dapat menyelesaikan pekerjaan
selama 20 hari, Beni dan Ceri bekerja bersama-sama dapat menyelesaikan
pekerjaan selama 12 hari serta Adi dan Ceri bekerja bersama-sama dapat
menyelesaikan pekerjaan selama 10 hari.
Berapa hari waktu yang diperlukan jika mereka bekerja sendiri-sendiri?
Jawab :
Jika jumlah hari yang diperlukan Adi, Beni, dan Ceri berturut-turut adalah
a, b, dan c, maka :
1 1 1
 
a b 20
1 1 1
 
b c 12
1 1 1
 
a c 10
Misal :
x=
1
1
1
, y = , dan z = z  , maka :
a
b
c
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 53
x+y=
1
…… (1)
20
y+z=
1
……..(2)
12
xz 
1
……..(3)
10
Eliminasi z pada persamaan (2) dan (3)
y+z=
1
12
x+z=
1
10
y–x= 
1
….. (4)
60
Eliminasi x pada persamaan (1) dan (4)
y+x=
1
20
y–x= 
2y =
y=
1
60
1
30
1
60
Substitusikan y =
x+
1
1

60 20
x
1
30
Substitusikan x =
1
1
ke persamaan (1) = x + y =
60
20
1
1
1
z
ke persamaan (3) =
30
10
30
1
1
z
30
10
z=
1
15
1
1
x
maka a = 30
a
30
1
1
y
maka b = 60
b
60
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 54
1
1
maka c – 15
z
c
15
 Waktu yang diperlukan Adi, Beni dan Ceri untuk menyelesaikan
pekerjaan jika bekerja sendiri-sendiri berturut adalah 30 hari, 60 hari dan
15 hari.
3. Diketahui segitiga ABC, DEF, dan GHI. Sudut-sudut D, E, dan F masing6 11
4
kali sudut-sudut yang terletak pada segitiga ABC,
, , dan
5 10
5
masing
begitu juga sudut-sudut segitiga GHI masing-masing
10 2
6
kali
, dan
9 3
5
sudut-sudut yang setelak pada segitiga ABC. Tentukan besar A, B, dan
C.
Jawab:
Misalkan A = x, B = y, dan C = z, maka besar jumlah sudut-sudut
dalam segitiga = 180°, maka:
x + y + z = 180 …………… (1)
x + y + z = 180
6
11
4
x
y  z  180
5
10
5

12x + 11 + 8z = 1800
………… (2)
10
2
6
x  y  z  180
9
3
5
50x + 30y + 54z = 00 ……….. (3)
Persamaan x + y + z = 180  z = 18 - x – y substitusi ke persamaan (2)
dan (3)
12x + 11y + 8z
= 1800
 12x + 11y + 8(180 – x – y) = 1800
 4x + 3y
= 360 ………………………………………….. (4)
Dan
50x + 30y + 54z
= 1800
50x + 30y + 54(180-x-y) = 8100
-4x – 24y
= -1620 ………………………………………...(5)
Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5):
4x + 3y
= 360
-4x – 24 y
= -1620 +
-21y
y
= -1260
= 60
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 55
Substitusi y = 60
ke dalam
4x + 3y
= 360
4x + 3(60)
= 360
x
= 45
Substitusi y = 60 dan x = 45 ke dalam persamaan (1):
x+y+z
= 180
45 + 60 + z
= 180
z
= 75
A = x
= 45°
B = y
= 60°
C = z
= 75°
 Besar sudut A = 45°; besar sudut B = 60°; besar sudut C = 75°
4. Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angkanya sama
dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka
ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali. Jumlah
ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu!
Jawab:
Misal bilangan itu adalah xyz.
x menempati tempat ratusan
y menempati tempat puluhan
z menempati tempat satuan
Jadi nilai bilangan itu 100x + 10y + z
Berdasarkan data pada soal diperoleh SPLTV sebagai berikut:
x+y+z
= 16
x+y
=z-2

100x+10y + z = 21(x+y+z)+13
-
x+y+z
= 16 …………….(1)
x+y-z
= -2 …………….(2)
79x-11y-20z = 13 …………….(3)
Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2)
x + y + z = 16
x+y–z
2z
z
-
= -2 _
= 18
= 9 …………………………………………………….. (4)
Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3)
x+y+z
= 16 | x11 |  11x + 11y + 11z
79x-11y-20z= 13 | x1 |
 79x - 11y - 20z
90x - 9z
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
= 176
= 13 _
= 189 ………….. (5)
Page 56
-
Substitusi nilai z = 9 ke persamaan (5) diperoleh:
90x – 9(9) = 189
 90x – 81 = 189
-
 90x
= 270
x
=3
Substitusi nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan (1) didapat
3 + y + 9 = 16

y =4
 Bilangan itu adalah xyz = 349
5. Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c melalui titik (-1,0), (1,6), dan
(2,12). Carilah nilai a, b, dan c kemudian tuliskan persamaan grafik fungsi
kuadrat itu!
NOTE:
Contoh ini merupakan penerapan SPLTV untuk mennetukan
Persamaan fungsi kuadrat yang melalui tiga titik sembarang.
Jawab:
-
Melalui titik (-1,0)  x = -1, y = 0
y = ax² + bx + c
0 = a(-1)² + b(1) + c
a–b+c=0
-
Melalui titik (1,6)  x = 1, y = 6
y = ax² + bx + c
6 = a(1)² + b(1) + c
a+b+c=6
-
Melalui titik (2,12)  x = 2, y = 12
y = ax² + bx + c
12 = a(2)² + b(2) + c
 4a + 2b + c = 12
Dengan demikian diperoleh model matematika SPLTV dalam a, b, c
sebagai berikut:
a–b+c=0
a+b+c=6
4a+2b+c = 12
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 57
-
Eliminasi variabel c:
a–b+c
=0
a + b + c
=6
4a + 2b + c
= 12 _
= -6
-3a – b
= -6
=3
3a + b
=6
a+b+c =6_
-2b
 b
-
Substitusi b = 3 ke persamaan 3a + b = 6 diperoleh:
3a + 3 = 6
a=1
-
Substitusi a = 1 dan b = 3 ke persamaan a – b + c = 0, didapat
1–3+c=0
c=2
Jadi nilai a = 1, b = 3, dan c = 2
Persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = x² + 3x + 2
LATIHAN
SOAL-SOAL TERAPAN:
1. Jumlah tiga bilangan sama dengan 6. Bilangan pertama ditambah bilangan
kedua sama dengan bilangan ketiga, dan bilangan kedua besarnya dua kali
bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut!
2. Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah angka-angkanya adalah 16,
jumlah angka ratusan dan puluhan 2 lebihnya dari angka satuan.
Sedangkan jika angka puluhan dan satuan ditukar, maka nilainya
berkurang 27. Berapakah bilangan tersebut?
3. Sebuah bilangan terdiri dari 2 angka. Besar bilangan pada angka satuan 4
kurangnya dari 3 kali angka puluhan. Jika posisi angka ditukar maka
nilainya 12 kurangnya terhadap 2 kali bilangan semula. Tentukan bilangan
tersebut!
4. Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah ketiga angkanya 16. Besar 2
kali angka ratusan ditambah angka puluhan adalah 2 lebihnya dari angka
satuan. Jika bilangan tersebut ditambah 27 maka nilainya sama dengan
angka satuan ditukar angka puluhan. Tentukan bilangan tersebut.
5. Diketahui bilangan-bilangan x, y, dan z. Jumlah ketiga bilangan itu sama
dengan 75. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan yang
lain. Bilangan kedua sama dengan ¼ dari jumlah bilangan yang lain.
Carilah bilangan-bilangan itu!
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 58
6. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama
dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilanganbilangan yang lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang
lain dikurangi empat. Carilah bilangan-bilangan itu!
7. Suatu bilangan terdiri atas tiga angka, jumlah ketiga angka itu sama
dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya.
Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3.
Carilah bilangan itu!
Rusbandi, SPd. Guru SMAN1 Surakarta
Page 59