Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Pertemuan Ke 2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
By
SUTOYO,ST.,MT
Pendahuluan
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier
simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak
diketahui.
Bentuk umum:
a11x1    a1n xn  b1
a21x1    a2n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    am nxn  bm
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui
yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya
merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang
diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut
sistem persamaan homogen
Sistem Persamaan Linear
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set
nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak
penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem
persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,
bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai
satu solusi?
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
ILUSTRASI GRAFIK
 SPL 2 persamaan 2 variabel:
 Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar
kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL
BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.
Cara Penyelesaian SPL
 Metode Subtitusi
 Metode Eliminasi
Contoh Penyelesaian SPL menggunakan Metode subtitusi
Tentukan penyelesaian 3 persamaan linear berikut :
𝑥+𝑦+𝑧
=2
𝑥−𝑦+𝑧
=0
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
JAWAB
𝑥+𝑦+𝑧
=2
𝑥−𝑦+𝑧
=0
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
𝑦−𝑧 +𝑦+𝑧
=2
𝑥 =𝑦−𝑧
ℎ𝑖𝟐𝒚 = 2
5y+4z =1
2 𝑦 − 𝑧 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
𝑺𝒐𝒍𝒖𝒔𝒊 𝑺𝑷𝑳
𝒙=𝟐
y=𝟏
𝒛 = −𝟏
ℎ𝒙 + 𝒚 + 𝒛 =2
𝒙 + 𝟏 +-1 =2
𝒙 =2
ℎ𝑖𝒚 = 1
5(1) +4z =1
4z =- 4
Z=- 1
Metode Eliminasi
𝑥+𝑦+𝑧
=2
𝑥−𝑦+𝑧
=0
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛
2𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟐
𝒙 − 𝟑𝒛
=𝟓
𝑥+𝑦+𝑧 =2
𝑥−𝑦+𝑧 =0 +
2𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟐
𝑥+𝑦+𝑧
=2
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 1
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧
2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧
𝒙 − 𝟑𝒛
Kalikan 3
𝐾𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑛 1
=6
=1 −
=𝟓
Lanjutan
2 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛
2𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟐 𝑲𝒂𝒍𝒊𝒌𝒂𝒏 𝟏
𝒙 − 𝟑𝒛
= 𝟓 𝑲𝒂𝒍𝒊𝒌𝒂𝒏 2
𝑥 − 3𝑧
=5
𝑥 − 3(−1) = 5
𝑥+3
=5
𝑥 = 2 maka y =1
2𝑥 + 2𝑧 = 2
2𝑥 − 6𝑧 =10 8𝑧 = −8
𝑧 = −1
Latihan
 Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode subtitusi
a+b+c
=2
a+b+2c = 0
2a+b+3c = 1
 Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode Eliminasi
4a+3b+5c = 18
2a-6b+4c = -42
a-b+c
=-5
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN
PENYELESAIAN SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
2. Menukar posisi dua baris
sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
Sistem Persamaan Linier
Operasi Baris
a11x1    a1n xn  b1
a21x1    a2n xn  b2
. . . . . . . . . . .
am1x1    am nxn  bm
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut
operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan
dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan
sistem persamaan tersebut.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri
persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini
tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu
himpunan sistem persamaan.
CONTOH
DIKETAHUI
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)
kalikan pers (i)
dengan (-2), kemudian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i)
dengan (-2), lalu
tambahkan ke
baris (ii).
kalikan pers (i)
dengan (-3), kemudian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).
kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu tambahkan
ke brs (iii).
kalikan pers (iii)
dengan (-2).
kalikan brs (iii)
dengan (-2).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk
memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan
merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka
eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Contoh:
Suatu sistem persamaan linier:
x A  xB  8
 x A  4 x B  2 xC  0
x A  3 x B  5 xC  2 x D  8
 x A  4 x B  3 xC  2 x D  0
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
0   x A  8
 1 1 0
  1 4  2 0   x  0 

  B  
 1  3 5  2  xC  8

   

1
4

3
2

  x D  0 
Matriks gandengnya
adalah:
0
 1 1 0
 1 4  2 0

 1 3 5 2

 1 4  3 2
| 8
| 0
| 8

| 0
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks
gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil
baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris
berikutnya menjadi bernilai nol.
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan
dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1
dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi
ini adalah
0
1  1 0
0 3  2 0

0  2 5  2

0 3  3 2
| 8
| 8
| 0

| 8
pivot
( baris1)
( baris 1)
( baris 1)
0
1  1 0
0 3  2 0

0  2 5  2

0 3  3 2
| 8
| 8
| 0

| 8
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks
gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku
kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan
mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris
ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini
adalah
0
0
1  1
0 3
2
0

0 0 5  4 / 3  2

1
2
0 0
8 
|
8 
| 16 / 3

|
0 
|
(pivot)
(2/3 baris 2)
(-baris 2)
0
0
1  1
0 3
2
0

0 0 5  4 / 3  2

1
2
0 0
8 
|
8 
| 16 / 3

|
0 
|
(pivot)
(2/3 baris 2)
(-baris 2)
Kalikan baris ke 3 dengan
3 agar diperoleh bilangan
bulat
0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 0  1 2
8
| 8 
| 16 

| 0
|
0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 0  1 2
8
| 8 
| 16

| 0
|
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot
dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita
lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian
menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 16
0 0
8
| 8 
| 16 
pivot

| 16   11  baris 3
|
0
1  1 0
0 3  2 0

0 0 11  6

0 16
0 0
Hasil terakhir
langkah ketiga
adalah:
8
| 8 
| 16

| 16
|
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
0   xA   8 
1  1 0
0 3  2 0   x   8 

 B   
0 0 11  6  xC  16

   
0
0
0
16

  x D  16
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
x A  xB  8
3 xB  2 xC  8
11 xC  6 xD  16
16 xD  16
yang dengan substitusi
mundur akan memberikan:
xD  1 ; xC  2 ; xB  4 ; x A  12