3.17 b

BAB III
Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear secara umum :
a11x1+a12x2+a13x3+…..+a1nxn = c1
a21x1+a22x2+a33x3+….+a2nxn = c2
……..
An1x1+an2x2+an3x3+…..+annxn = cn
Dengan a adalah koefisien konstan dan c adalah konstan.dalam bentuk notasi matriks
notasi tersebut dapat ditulis seperti berikut :
a11
a12
a13
....
a1n
X1
C1
a21
a22
a23
….
a2n
X2
C2
….
….
….
….
….
….
….
An1
an2
an3
….
ann
Xn
cn
Berikut beberapa cara untuk mencari nilai x1,x2 … xn
1. Metode Eliminasi Gauss
Adalah dengan cara memanipulasi persamaan-persamaan yang ada dengan
menghilangkan salah satu variabel dari persamaan-persamaan tersebut sehingga pada
akhirnya hanya tertinggal satu persamaan dengan satu variabel.maka, persamaan
yang terakhir ini dapat diselesaikan dan hasilnya dapat didistribusikan ke persamaan
lain untuk memperoleh penyelesaian.
Misalkan persamaan spl berikut,
a11x1+a12x2+a13x3+…..+a1nxn = c1
a21x1+a22x2+a33x3+….+a2nxn = c2
……..
An1x1+an2x2+an3x3+…..+annxn = cn
Dengan notasi matriks,
a11
a12
a13
....
a1n
x1
c1
a21
a22
a23
….
a2n
x2
c2
….
….
….
….
….
….
An1
an2
an3 ….
ann
xn
=
….
cn
Langakah pertama adalah membuat matriks yang memuat koefisien-koefisien
Spl menjadi sebuah matriks segitiga atas (upper triangle).kemudian eliminasi bilangan
anu pertama dari x1 dari persamman kedua hingga ke n untuk melakukan hal ini maka
kalikanlah pesamaan 33.a dengan a21/a11 untuk memberikan:
a21x1+a21/a11.a12x2 + ….. +a21/a11.a1ncn = a21/a11.c1
3.6.a
persamaan ini kemudian dikurangi dari persamaan 34.a untuk mendapat :
[ a22-a21/a11.a12 ].x2 + …. +[ a2n-a21/a11.a1n ].xn = c2-a21/a11.c1
3.7.a
Atau
a22/x2 + …. + a2n/xn = c2/
prosedur dapat diulang untuk persamaan selanjutnya.misalnya persamaan 33.a
dikalikan dengan a31/a11 dan hasilnya dikurangi dengan persamaan 34.a dan akhirnya
bila prosedur dilaksanaakan terhadap seluruh persamaan maka akan diperolaeh bentuk
seperti berikut :
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…. + a1nxn = c1
3.8.a
a/22x2 + a/23x3 + …. + a/2nxn = c/2
3.9.a
a/32x2 + a/33x3 + …. + a/3nxn = c/3
3.1.b
……..
a/n2x2 + a/n3x3 + …. + a/nnxn = c/n
3.2.b
dalam langkah diatas persamaan 3.3.a disebut persamaan tumpuan(pivot equation) dan
a11 disebut sebagai koefisien tumpuan.langkah selanjutnya kalikanlah persamaan 3.9.a
dengn a/33/a/22 dan kurangkanlah hasilnya dari persamaan 3.1.b lakukan langkah serupa
untuk persamaan lainnya ,sehingga diperoleh :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. +a1nxn = c1
3.3.b
a/22x2 + a/23x3 + …. + a/2nxn = c/2
3.4.b
……..
a//n3x3 + …. + a//nnxn = c//n
3.5.b
jika langkah tersebut dilanjutkan hingga akhirnya diperoleh seatu bentuk sistem segitiga
atas sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. +a1nxn = c1
3.3.b
a/22x2 + a/23x3 + …. + a/2nxn = c/2
3.4.b
……..
a(n-1) nn .xn = c(n-1)n
3.5.b
dari persamaan 3.5.b akhirnya didapat solusi bagi xn.
xn = cn(n-1) /a=nn(n-1)
3.6.b
hasil ini kemudian disubstitusikan mundur (backward substitution) ke persamaan yang
(n-1)dan seterusnya,yang dirumuskan :
xi =ci(i-1)-Ʃnj=i+1 aij(i-1).XJ/aij(i-1)
3.7.b
untuk I = n-1,n-2, …, 1
2. Pivoting
Jika elemen pivot adalah sama dengan nol maka akan muncul pembagian dengan
nol.untuk menghindari hal ini maka harus dilakukan proses pivoting,yaitu dngan
mempertukarkan baris-baris yang ada didalam spl
Sehingga elemen pivot adalah elemen terbesar.
Contoh :
Selesaikan spl berikut dengan metode eliminasi gauss
0,0003.x1 + 3,0000.x2 = 2,0001
1,0000.x1 + 1,0000.x2 = 1,0000
Perhatikan bahwa elemen pivot adalah a11 = 0,0003 yang sangat dekat dengan nilai
nol.sehingga harus dilakukan pivoting dengan mempertukarkan barisnya.
1,0000.x1 + 1,0000.x2= = 1,0000
0,0003.x1 + 3,0000.x2 = 2,0001
Dngan penormalan dan eliminasi,diperoleh :
X1 = 1-(2/3) / 1
Ternyata dengan melakukan pivoting,banyaknya angka benar tidak sensitive dalam
perhitungannya
Angka benar
X2
X1
Relative error X1
3
0.667
0.333
0.1
4
0.6667
0.3333
0.01
5
0.66667
0.33333
0.001
6
0.666667
0.333333
0.0001
7
0.6666667
0.3333333
0.00001
Jadi pivot cukup memberikan keuntungan dalam perhitungan.
3.
Metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan pengembangan dari metode eliminasi Gauss.
Dalam metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks koefisien diubah hingga menjadi matriks
identias.
Contoh:
Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan:
3x + y – z = 5
4x + 7y – 3z = 20
2x – 2y + 5z = 10
Dalam bentuk matriks :
3
1
-1
x
4
7
-3
y
2
-2
5
z
5
=
20
10
Bagilah baris pertama dengan elemen pivot, yaitu 3, sehingga:
1
0.3333
-0.3333
x
4
7
-3
y
2
-2
5
z
1.6666
=
20
10
Kalikan persamaan pertama dngan elemen pertama dari persamaan kedua,lalau
kurangkan hasilnya dari prsamaan kedua.lakukan hal serupa untuk persamaan
ketiga,sehingga :
1
0.3333
-0.3333
x
0
5.6668
-1.6668
y
0
-2.6666
5.66
z
1.6666
=
13.3336
6.6668
Baris kedua dari persamaan tersebut dibagi dengan elemen pivot,yaitu 5.6668,sehingga
diperoleh :
1
0.3333
-0.3333
x
0
1
-0.2941
y
0
-2.6666
5.6666
z
1.6666
=
2.3529
6.6668
Kalikan persamaan kedua dengan elemen kedua dari persamaan pertama
(0.3333),kemudian kurangkan dari persamaan pertama.lakukan hal serupa untuk
persamaan keiga,untuk mendapatkan :
1
0
-0.2353
x
0.8824
0
1
-0.2941
y
= 2.3529
0
0
4.8824
z
12.941
Persamaan ketiga dibagi dengan pivot,yaitu 4.8824,sehingga peramaannya menjadi
sebagai berikut,
1
0
-0.2353
x
0.8824
0
1
-0.2941
y
= 2.3529
0
0
1
z
2.6505
Kalikan persamaan ketiga dengan elemen ketiga dari persamaan pertama.hasilnya
kemudian dikurangkan dari persamaan pertama.halserupa dilakukan terhadap
persamaan kedua,sehingga spl menjadi :
1
0
0
x
1.5061
0
1
0
y
= 2.3529
0
0
1
z
2.6505
Jadi penyelesaian spl tersebut adalah ;
X = 1.5061
y = 3.1324
z = 2.6505
4. METODE MATRIKS INVERS
Jika [a] adalah suatu matriks bujur sangkar dengan ukuran m x m,maka akan terdapat
matriks invers[A]-1,sehingga diperoleh hubungan :
[A].[A]-1 = [I]
Maka jika terdapat suatu SPL dalam notasi matriks :
[A].{X} = {C}
Jika ruas kiri dan kanan kitapremultiply dengan [A]-1,maka :
[A]-1.[A].{X} = [A]-1.{C}
[I].{X] = [A]-1.{C}
{X} = [A]-1.{C}
Banyak cara dapat digunakan untuk mencari matriks invers.salah satunya dengan cara
menggunakan metode Gauss-jordan.untuk melakukan hal ini,matriks koefisien dilengkapi
dengansuatu matriks identitas.kemudia gunakan metode Gauss-Jordan untuk mengubah
matriks koefisien menjadi matriks identitas.jika langkah ini telah selesai maka ruas kanan
matriks itu akan merupakan matriks invers.atau secara ilustrasi,prosesnya akan seperti
berikut :
a11
a12
a13 1
0
0
a21
a22
a23 0
1
0
a31
a32
a33 0
0
1
[A]
[I]
1
0
0
a11 -1 a12-1
0
1
0
a21 -1 a22-1 a23-1
0
0
1
a31 -1 a32-1 a33-1
[I]
a13-1
[A]
5. ITARASI JACOBI
Penggunaan metode eliminasi terkadang mengalami masalah pada saat menemui
pembulatan dan pada SPL-SPL yang berukuran besar,maka dari itu dikembangkan metode
itarasi yang ada,metode itarasi Jacobi adalah salah satunyauntuk menyelesaikan SPL-SPL
berukuran besar.
6. ITARASI GAUSS-SEIDEL
Sama seperti itarasi Jacobi itarsi gauss –seidel disusun dalam bentuk :
X1 = c1-a11.x2-a13x3- … -a1nxn
a11
X2 = c2-a21.x1-a23x3- … -a2nxn
a22
X3 = c3-a31.x2-a32x2- … -a3nxn
a33
3.17 a
3.17 b
3.17 c
…………….
Xn = cn-an1.x1-an2x2- … -an.n-1.xn-1
ann
3.17 d
7. DEKOMPOSISI LU
Suatu SPL dalam bentuk matriks berikut :
[A].{X} = {C}
Yang dapat disusun menjadi bentuk :
[A].{X}-{C} = 0
Jika dinotasikan ulang menjadi matriks segitiga atas akan menjadi seperti berikut :
1
u12
u13
u14
x1
d1
0
1
u23
u24
x2
d2
0
0
1
u34
x3
= d3
0
0
0
1
x4
d4
Persamaan ini miripdengan eliminasi gauss,yang dalam notasi matriks dapat dinyatakan
dan disusun ulang sebagai :
[U]{X}-{D} = 0
Jika terdapat matriks segitiga bawah :
[L] =
l11
0
0
0
l21
l22
0
0
l31
l32
l33
0
l41
l42
l43
l44
yang apabila persamaan 7.2.a dipremultiply dengannya akan menghasilkan persamaan
7.2.a,yaitu :
[L] { [U] {X}-{D} } = [A]{X}-{C}
Dan bila dilakukan perkalian matriks berlaku :
[L][U] = [A]
Dan [L]{D} = {C}
Persamaan tersebut adalah dekomposi LU dari [A]
 DEKOMPOSI LU METODE ELIMINASI GAUSS
Metode eliminasi gauss dapat digunakan pula untuk mendekomposisi matriks [A]menjadi
[L] dan [U].
 DEKOMPOSISI LU METODE CROUT
Metode crout diturunkan dengan mengalikan matriks untuk menghitung ruas kiri suatu
persamaan matriksdengan cara menyamakan dengan ruas kananyang secara umum
dapat dinotasikan sebagai berikut :
Li1 = ai1 untuk I = 1,2,3,…,n
 DEKOMPOSISI CHOLESKY
Dalam dekomposisi cholesky,mtriks koefisien [A]dapat didekomposisikan menjadi bentuk :
[A] = [L][L]t
Suku-suku dalam persamaannya dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti cara
crout.
 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BIDANG TEKNIK SIPIL
Sistem persamaan linear dalam bidang teknik sipil ini terdiri dari system persamaan
linear dalam bidang rekayasa struktur,system persamaan linear dalam bidang rekayasa
transportasi dan system persamaan linear dalam bidang management konstruksi.
BAB IV
INTERPOLASI
Dalam mencari nilai di antara titik data yang tak diketahui sebelumnya metode yang
sering digunakan adalah metode polinom (suku banyak)yang dalam bentuk umumnya
adalah sebagai berikut :
F(x) = a0 +a1.x + a2.x2 +a3x3 + …. + anxn
Untuk n+1 buah titik data maka akan terdapat suatu polinom orde n atau kurang yang
melalui semua titik.dalam bab ini akan dibahas mengenai arti interpolasi menggunakan
metode polinom newton dan lagrange.
 POLINOM INTERPOLASI NEWTON
Terdiri dari interpolasi linear,interpolasi kuadrat dan interpolasi orde n.

Interpolasi linear
Adalah
bentuk
interpolasi
yang
paling
sederhana,yang
dilakukan
dengan
menggunakan dua buah titik data dengan suatu garis lurus.

Interpolasi kuadrat
Jika terdapat tiga buah titik maka dapat dilakukan dengan menggunakan interpolasi
kuadratyang mempunyai bentuk umum :
F2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0)(x-x1)

Interpolasi orde n
Jika terdapat n+1 data maka dapat dilakukan interpolasi orde n,
 POLINOM INTERPOLASI LAGRANGE
Dari interpolasi newton orde pertama diperoleh betuk :
F1(x) = f(x0) ) + (x-x0).f[x1,x0]
Secara umum bentuk polinom interpolasi lagrange adalah :
Fn(x) = Ʃni=0LI(X).F(XI)
 INTERPOLASI SPLINE
Untuk n+1 terkadang tidak hanya cukup dengan menggunakan method interpolasi
orde ke n karena terkadang tidak memberikan kcocokan yang bagus.cara yang yang
lebih mudah adalah dengan menggunakan method polinom interpolasi yang lebih
rendah pada sebagian titik data. Yang lebih dikenal dengan sebutan polinom
interpolasi spline.

SPLINE LINEAR
Hubungan yang paling sederhana yang dapat dibangun oleh dua titik adalah
hubungan linear.spline orde satu untuk sekelompok titik data.

SPLINE KUADRAT
Dalam spline kuadrat antara dua titik data akan dibagun suatu polinom orde kedua
polinom tiap selang dapat dinyatakan secara umum sebagai :
Fi(x) = aix2 + bix + ci

SPLINE CUBIC
Jika diantara dau titik datadibagun suatu polinom orde tiga,disebut polinom spline
cubic.dalam bentuk umum :
Fi(x) = aix3 + bix2 + cix + di
 INTERPOLASI DALAM BIDANG TEKNIK SIPIL
Terdiri dari interpolasi dalam bidangrekayasa struktur,intrepolasi dalam bidang
rekayasa dalam bidang sumber daya air,interpolasi dalam bidang rekayasa transportasi
dan interpolasi dalam bidang management konstruksi.