Bab 2 - eLisa UGM

2. METODE ELEMEN
2. 1 Pengantar
Metoda Elemen Hingga membagi daerah yang ditinjau dalam pias-pias kecil
yang disebut elemen (Lihat Gambar 2.1.). Persamaan yang merupakan
proses fisik misalnya aliran air diberlakukan pada elemen-elemen tersebut
sehingga diperoleh rumusan dalam bentuk hubungan nilai-nilai yang dicari di
antara elemen-elemen.
darat
laut
Gambar 2.1. Pembagian daerah yang ditinjau dalam elemen-elemen.
Elemen-elemen dapat bermacam-macam bentuknya. Bentuk elemen yang
biasa dipakai pada masalah satu dimensi adalah elemen garis. Sedangkan
pada masalah dua dimensi elemen segi tiga atau elemen segi empat dan
pada masalah tiga dimensi elemen tetrahedral (bentuk tiga dimensi dengan
empat bidang sisi) atau elemen balok yang mempunyai enam bidang sisi (lihat
Gambar 2.2.). Bentuk-bentuk tersebut adalah bentuk yang paling sederhana
dan bentuk yang mungkin dibuat di tiap dimensi yang bersangkutan.
Pemilihan bentuk-bentuk sederhana adalah sesuai dari filosofi Metoda Elemen
Hingga yaitu menyederhanakan bentuk rumit daerah yang sedang ditinjau
sehingga permasalahan dapat dipecahkan.
10
Proses-proses yang terlibat dalam prosedur metoda ini adalah
•
•
•
•
•
interpolasi,
integrasi,
fungsi pembobot,
fungsi transformasi koordinat, dan
pembentukan deret Taylor.
Proses yang terakhir diperlukan dalam menghadapi masalah-masalah
aliran tak permanen. Di bawah ini akan diuraikan proses interpolasi dan
kaitan antara proses interpolasi dalam Metoda Elemen Hingga. Prosesproses yang lain akan dijelaskan kemudian saat diperlukan dalam
penjelasan MEH selanjutnya.
11
2.2. Interpolasi dan Aplikaslnya dalam Metoda Elemen Hingga
Apabila pada suatu daerah diketahul nilai-nilai suatu besaran di titik-titik tertentu,
misalnya tinggi tekanan piezometris di beberapa tempat diketahui, maka nilal
besaran tersebut di tempat lain dapat ditaksir. Penaksiran ini dalam bahasa
matematika disebut interpolasi atau ekstrapolasi. Interpolasi dipakai untuk
menyatakan penaksiran nilai di suatu tempat yang berada di antara tempat-tempat
lain yang nilainya dipakai sebagai pegangan dalam penaksiran tersebut. Pada
proses ekstrapolasi tempat yang ditaksir nilainya berada di luar kelompok tempat--
tempat yang diketahui nilainya. Adakalanya interpolasi dan ekstrapolasi mempunyai
prosedur atau rumus yang sama.
Metoda Elemen Hingga menggunakan teknik interpolasi untuk merumuskan
persamaan diskret, yaltu persamaan yang berdasarkan nilainilal di titik-titik di dalam
daerah yang ditinjau, dan pada proses fisik yang dihadapi. Di dalam Metoda
Elemen Hingga perumusannya melibatkan proses integrasi atau penjumlahan
seluruh nhlai-nilai yang berada di dalam daerah yang ditinjau. Proses integrasi mi
dibawa ke suatu perumusan yang hanya mengandung niIai-nilai di titik-titik tertentu
(titik-titik sudut-sudut batas antar elemen-elemen yang disebut juga sebagai “node”
atau simpul) saja, sehingga interpolasi diperlukan untuk mendapatkan nilai-nilai di
tempat-tempat di antara titik-titik tersebut (di dalam elemen-elemen).
12
Karena interpolasi ini dipakai dalam suatu proses perumusan, maka nilai pada
simpul yang dipakai sebagai dasar perkiraan juga merupakan nilai-nilai yang belum
diketahui.
Interpolasi yang paling sederhana adalah yang berdasarkan pada anggapan bahwa
nilai di antara dua simpul adalah sama dengan nilai rata-rata nilai di dua simpul
tersebut. Jadi nilai di dalam suatu elemen dianggap seragam sebesar rata-rata nilai
di titik-titik sudutnya ( nilai di “node”).
Interpolasi setingkat Iebih tinggi adalah menganggap nilai di antara dua simpul
berada pada garis yang menghubungkan nilai-nilai di dua simpul tersebut. Dalam
perumusan matematisnya interpolasi garis ini dapat ditulis dalam bentuk yang
13
berlaku umum sebagai suatu seri penjumlahan berikut ini.
f(x)= f(x1)N1(x)+f(x2) N2(x)
2
=
 f x N x 
i 1
i
2.1
i
dengan
f(x) : nilai fungsi di x ( yang ditaksir),
f(x1) : nilal fungsi di x1 ( diketahui atau seakan-akan diketahul),
f(x2) : nilai fungsi di x2 (diketahui atau seakan-akan diketahui),
N1(x) : fungsi dasar (“basis function”) atau sering pula disebut sebagai fungsi
bentuk (“shape function”) titik x1,
N1(x) = (1-x)/(x2-x1),
N2(x) : fungsi dasar (“basis function”) titik x2,
N2(x) = x/(x2-x1).
Formulasi di atas dijelaskan secara grafis di Gambar 2.6. berkut ini (lihat juga
Gambar 2.4.).
Fungsi dasar milik simpul ke-i (basis function) dalam intenpolasi pada Metoda
Elemen Hingga mempunyal sifat khusus yaitu dia berharga satu pada simpul ke-i
tersebut dan berharga nol pada simpul yang lain (simpul ke-j, ji) dalam elemen yang
sama.
Interpolasi yang Iebih teliti lagi adalah yang menggunakan fungsi dasar berupa fungsi
parabolis atau fungsi kuadratis. Dalam satu elemen garis diperlukan tiga titik yang
dipakai sebagai dasar interpolasi.
Pada umumnya untuk menyederhanakan bentuk persamaan fungsi dasar seperti ini
dipakai sumbu koordinat lokal. Sumbu koordinat lokal ini dibuat
14
sedemikian rupa sehingga x1= -1, x2=0 dan x3=1. Interpolasi kuadratis dalam elemen
dapat dUelaskan dalam bentuk persamaan dan gambar sebagai berikut ini.
Interpolasi untuk fungsi 2 dimensi pada elemen 2 dimensi menggunakan metoda yang
sama seperti di atas. Bahkan untuk dimensi yang Iebih besar lagi metoda interpolasi
yang dipakai juga sama. Pada elemen 2 dimensi fungsi dasar merupakan fungsi yang
berubah terhadap sumbu x dan sumbu y. Fungsi basis pada elemen 2 dimensi
merupakan bidang yang mempunyai nilai 1 pada titik tersebut dan memotong semua
titik-titik lain dalam elemen yang sama pada bidang sumbu x dan y (benilai 0 pada titiktitik tersebut).
15
Sebagai contoh, interpolasi linier pada elemen segi tiga mempunyai bentuk persamaan
3
f x, y    f xi , yi N i x, y 
2.3
i 1
dengan
Ni (x,y) = ai + bi x + ci y,
ai
= (xjyk – xkyj)/2A
bi
= (yj – yk)/2A,
ci
= (xk - xj)/2A,
A
= luas elemen segi tiga
Untuk lebih jelasnya perumusan interpolasi tersebut pembaca dapat memeriksa sketsa
pada Gambar 2.8.
16
2.3. Metoda Sisa Berbobot (“Weighted Residual”)
Proses penaksiran atau pendekatan suatu nilai fungsi dengan menggunakan teknik
interpolasi seperti diuraikan di atas memberikan hasil penaksiran yang mempunyai
beda dengan ‘’solusi eksak”. Solusi eksak pada masalah-masalah sederhana adalah
solusi analitis (jika ada), sedangkan pada masalah rumit solusi eksak dapat tidak
ditemui. Beda tersebut disebut juga sebagai kesalahan (“error”’). Kesalahan antara
hasil pendekatan dan solusi eksak mempunyai nilai yang berbeda-beda di titik-titik
maupun di dalam elemen-elemen.
Berangkat dari ide meminimumkan kesalahan tersebut secara “over all” dalam
daerah yang dihitung, Metoda Sisa Berbobot membentuk suatu persamaan yang
menyatakan bahwa integral error dikalikan dengan suatu set fungsi pembobot dalam
domain komputasi sampai dengan nol sebagai berikut ini.
 W ( x, y) fungsi error (x,y) d = 0 ; j = 1, N
j
2.4

dengan Wj(x,y) adalah suatu fungsi pembobot sejumlah N sehingga terdapat N
persamaan yang harus dipenuhi. Fungsi error (x,y) adalah selisih antara solusi eksak
dan solusi oleh fungsi pengganti/pendekat (approximating function) dan  adalah
domain komputasi pada sumbu x dan y.
Fungsi error adalah selisih antara solusi persamaan diferensial parsial fungsi asal
(yang dicari) yang di mana-mana dalam  disyaratkan sama dengan nol dan solusi
persamaan diferensial parsial fungsi pendekat yang tidak sama dengan nol. Sebagai
contoh persamaan diferensial parsial fungsi asal h (x,y).
 2h  2h

0
x 2 y 2
2.5
Persamaan di atas harus dipenuhi di seluruh domain komputasi.
Metode sisa berbobot akan mencari (mencoba dan men-set angka koefisiennya)
suatu fungsi pengganti untuk h(x,y) dengan hˆ x, y  yang kita kenal sifat-sifatnya
dengan baik sehingga persamaan pengganti karena variabelnya pendekat menjadi
 2 hˆ  2 hˆ

 error atau residu = R (x,y)
x 2 y 2
Metode sisa berbobot akan mencari : ĥ (x,y) dengan syarat
17
2.6
W
j
R d  0 ; j = I, N
2.7

Selanjutnya ada beberapa varian dari Metoda Sisa Berbobot yang ditentukan oleh
pemilihan fungsi pembobot yang dipakai. Untuk mendapatkan pendekatan yang akurat
pemilihan fungsi pembobot ini perlu dicermati karena efektifitas fungsi pembobot tertentu
dipengaruhi oleh bentuk persamaan diferensial yang dihadapi. Karena bidang ini di luar
konteks yang dibahas dalam tulisan ini maka pemilihan varian-varian tersebut tidak akan
dibahas lebih lanjut.
2.4. Metoda Bubnov-Galerkin
Dalam Metode Elemen Hingga diantara banyak metode dikenal dua metode yang umum
yaitu Metode Bubnov-Galerkin dan Metode Petrov-Galerkin. Metode yang disebut pertama
adalah yang sesuai untuk menyelesaikan masalah-masalah /problem-problem simetris,
misalnya masalah difusi, sedangkan yang ke dua sesuai untuk menyelesaikan masalah
tidak simetris seperti masalah aliran/ konveksi.
Metode Bubnov-Galerkin menggunakan bentuk fungsi yang sama untuk fungsi pembobot
dan fungsi dasar yang dipakal dalam proses interpolasi. Metode ini menghasilkan sifat
simetri dalam persamaan diskret yang diperoleh. Sifat simetri ini sesuai untuk
penyelesaian masalah yang persamaannya mempunyai sifat eliptik atau parabolik. Pada
masalah satu dimensi metode ini memberikan skema diskrit orde satu yang menyerupai
skema “central difference” pada Metode Beda Hingga.
2.8
Untuk masalah yang diangkat dalam contoh di atas, dapat diperoleh perumusan diskret,
karena
 2 hˆ  R( x, y )
maka
 w x, y  hˆ dx dy  0
2
2.9
j

18
Bentuk  2h dapat dijabarkan lagi dalam bentuk persamaan interpolasi. Interpolasi

tersebut adalah usaha untuk mendapatkan h di suatu tempat dalam koordinat (x,y) dan


nilai-nilai h di titik-titik sudut elemen yang bersangkutan (elemen tempat h yang

diinterpolasi), yaitu h i,, dan dapat ditulis sebagai berikut,
2.10
dengan penulisan ringkas menjadi
n
hˆ   hˆi N i
2.11
i 1

sedangkan interpolasi untuk turunan dan fungsi h adalah
2.12
2.13
2.14
2.15
19
Dengan mengingat bahwa fungsi pembobot sama (dalam Bubnov-Galerkin) dengan
fungsi interpolasi
(W = N) diperoleh persamaan diskret sebagai berikut,
2
n
 n

2 N j
ˆ  N i  dxdy  0 , j=1, N
N
h

h


j
j
2
2
 j 
x
y 
i 1
 i 1
2.16
Persamaan diskret di atas mengandung turunan derajat dua fungsi interpolasi. Oleh
karena itu mensyaratkan pemilihan fungsi interpolasi yang berupa fungsi, minimal
berderajat dua (fungsi kuadratis). Dalam usaha menyederhanakan formulasi diskret
dapat digunakan Hukum Integrasi Bagian dari Green (“Green’s Lemma”)
2.17
2.18
Dengan mengaplikasikan hukum tersebut di atas dapat diperoleh persamaan diskret,
2.19
dengan notasi tensor dapat ditulis
2.20
Karena keadaan pada batas domain komputasi tinggi tekanan diketahui maka suku ke
dua persamaan di atas dapat dipindah ke ruas kanan sehingga diperoleh persamaan
20
i,j = 1,N
2.21
Persamaan tersebut di atas terdiri dari N persamaan, karena j=1,N. Oleh karena itu
dapat dibentuk dalam persamaan matriks-vektor sebagai berikut ini.
2.22
2.5. Penyelesaian Persamaan Matriks dan Vektor
Persamaan terakhir di atas (2.22) adalah suatu persamaan matriks dan vektor. Dalam
persamaan tersebut di atas hanya vektor h saja yang tidak diketahui, sehingga
persamaan dapat diselesaikan.
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yaltu mencari vektor h dapat dilakukan
operasi matriks standar yang ada seperti dengan mencari invers matriks K
menggunakan metode eliminasi Gauss atau Metode Faktorisasi Matriks LU atau
dengan cara iterasi seperti metode iterasi Jacobi maupun Gauss-Seidel.
Perlu diketahui bahwa sebelum operasi matriks tersebut dilakukan, kondisi batas harus
sudah dimasukkan ke dalam persamaan.
21