- Free Documents

MO ODUL MATA KULIA A AH AN NALISA NUM A MERIK
Candra Mecc Sufy ca yana S.S Si
Disus Oleh sun h
Poli iteknik P PIKSI Ganesha Ban ndung
Kata Pengantar
Maha Besar Allah SWT yang memberikan kekuatan pada penyusun, sehingga mampu
menyelesaikan modul kuliah analisa numerik ini. Mudahmudahan modul kuliah ini dapat
bermanfaat dan dimanfaatkan sebaikbaiknya bagi para pembaca yang berkepentingan
mempelajari dan memahami konsep analisa numerik.
Elemenelemen dasar pemahaman yang cukup baik tentang materi kalkulus, aljabar
linear, dan algoritma akan membantu dalam memahami permasalahanpermasalahan yang
menggunakan konsep penyelesaian dengan analisa numeric ini.
Cara yang paling efektif dalam mempelajari analisa numerik ini adalah aktif dengan
membaca, bertanya, dan terus mencoba dan mencoba berbagai latihanlatihan soal yang ada
dan tentunya mengaplikasikanya dalam bahasa pemograman.
Cukup banyak keterbatasan dan kekurangan yang ada dalam modul kuliah analisa
numerik ini. Untuk itu adanya saran dan kritik dari pembaca sangat diperlukan penyusun
untuk perbaikan modul ini dimasa mendatang agar lebih baik lagi.
Atas terselesaikannya modul ini, penyusun ucapkan terima kasih kepada pihakpihak
yang telah membantu dalam keberadaan dan keberlangsungan modul ini terutama semua
civitas akademik Politeknik Piksi Ganesha dan pihak lain yang ikut membantu dan
mendoakan penyusun sehingga mampu menyusun modul kuliah analisa numerik ini.
Bandung , April
Penyusun
Daftar Isi
Kata Pengantar ............................................................................................................ Daftar
isi......................................................................................................... Daftar
Gambar.............................................................................................. Daftar
Tabel................................................................................................... Deskripsi Mata Kuliah....
Tujuan Mata Kuliah Umum....... Tujuan Mata Kuliah Khusus..... BAB I PENDAHULUAN
. Definisi analisa numerik..................................................... . Tahap penyelesaian secara
numerik...................................... . Galat Kesalahan.
BAB II
SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR
. Metode Tertutup .. Metode tabel.... .. Metode grafik.. .. Metode bisection..... .. Metode
regulasi falsi ... . Metode Terbuka .. Metode iterasi.. .. Metode Newton Rapshon... .. Metode
secant .....
BAB III INTERPOLASI
. Interpolasi Linear .... . Interpolasi Kuadratik.. . Interpolasi Polinomial.. . Interpolasi
Lagrange..
BAB IV
INTEGRASI NUMERIK
. Dasar pengintegralan numerik.... . Metode Reimann... . Metode Trapesium.. . Metode
Simpson /.. . Metode Simpson /.... . Metode Integrasi Gauss.. . Penerapan Integrasi
Numerik....
..BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN . ..... Eliminasi Gauss Jordan............. DAFTAR
PUSTAKA ....... ............. Dekomposisi LU....... Eliminasi Gauss ... ............................. Iterasi
GaussSeidel... .............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Daftar Gambar Gambar . . . . . . Nama gambar Bagan Metode
Analisa Numerik Grafik akar persamaan kuadrat Metode Grafik Bisection Daerah akar fungsi
Regulasi Falsi Newton Rapshon Penyelesaian dengan Newton Rapshon Metode Secant
Grafik fungsi metode secant Flowchart Metode Secant Grafik Interpolasi Interpolasi Linear
Interpolasi kuadratik Dasar pengintegralan numeric Pendekatan solusi integrasi numeric
Grafik Linear dan kuadratik Grafik kubik dan polinomial Grafik polynomial data Grafik luas
dengan integral Metode Reimann Grafik Solusi reimann Metode Trapesium Metode Simpson
/ Pembagian h metode simpson / Metode Simpson / Solusi sitem persamaan linear
Flowchart system persamaan linear Halaman . . . .
Keterangan Metode tabel Contoh metode tabel Penentuan metode bisection Iterasi Iterasi
Newton Rapshin Perbandingan Metode system persamaan linear Halaman . .Daftar Tabel
Tabel . . . . .
A. Deskripsi Mata Kuliah
Pada mata kuliah ini disajikan beberapa analisa numerik. Pertamatama diberikan beberapa
definisi, teorema yang berhubungan dengan analisa numerik, termasuk penyajian bilangan,
galat dan beberapa konsep dasar yang terkait. Selanjutnya dibahas penyelesaian
persamaaan non linear dengan menggunakan metode grafik, tabel, Bisection, Newton
Raphson, Secant, dan Modifikasi metode Newton untuk Polinomial. Pembahasan Sistem
Linear meliputi aljabar matriks, metode penyelesaian Sistem Linear dengan metode iterasi
Jacobi, Gauss Seidel dan penyelesaian sistem linear tridiagonal. Sementara metode numerik
untuk aljabar matriks dibahas mengenai menghitung determinan dan invers matriks. Untuk
Interpolasi dibahas Interpolasi Polinomial yang meliputi Interpolasi Linear dan Kuadrat,
Interpolasi Beda terbagi Newton, dan Interpolasi Lagrange, Integral numerik yang meliputi
Konsep dasar Integral Numerik, Diantaranya Metode Reimann dan Trapezoid juga Metode
NewtonCotes termasuk Aturan Simpson / dan Aturan Simpson /. Ditambah pengenalan
tentang differensiasi numeric seperti konsep finite difference dan berbagai analisa numerik
tersebut diaplikasikan dalam bahasa pemograman
B. Tujuan Kompetensi Umum
Setelah mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menggunakan dan
menginterpretasikan beberapa analisa numerik beserta algoritmanya kepada berbagai
masalah yang berhubungan dengan masalah numerik.
C. Tujuan Kompetensi Khusus
Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan, pemilihan metode aritmetika dan
konsepkonsep dasar yang berhubungan dengan metode numerik Menyelesaikan persamaan
non linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya
Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya
beserta algoritmanya Menentukan determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan
hasilnya beserta algoritmanya Menentukan suatu interpolasi dari barisan data dengan
beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menghitung
integral secara numerik dengan beberapa metode.
BAB I PENDAHULUAN
A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa dapat mengetahui dan memahami pengertian dan
maksud pembelajaran analisa numerik dan mampu mengetahui perbedaanya dengan
metode analitik dan metode empirik Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan
galat, pemilihan metode aritmetika dan konsepkonsep dasar yang berhubungan dengan
metode numeric B. Uraian Materi . Definisi Analisa Numerik Dalam metode penyelesaian
permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,
matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa engineering, seperti
Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus
diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara
analitik secara eksakta ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang
menggunakan metode penyelesaian secara empiris melalui percobaan.
Metode Penyelesaian
Analitik
Numerik
Empirik
Gambar .. Bagan Metode Penyelesaian Metode analitik adalah metode sebenarnya yang
dapat memberikan solusi sebenarnya exact solution atau solusi sejati artinya metode
penyelesaian model matematika dengan rumusrumus aljabar yang sudah baku lazim dan
solusi yang dihasilkan memiliki galat atau error . Namun metode analitik hanya unggul pada
sejumlah persoalan matematika yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia
nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis
penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi
diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan
metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika
biasa tambah, kurang, kali, dan bagi. Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya
angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan
angkaangka. Dari penjelasan tersebut terdapat dua hal mendasar mengenai perbedaan
antara metode numerik dengan metode analitik yaitu pertama, solusi dengan menggunakan
metode numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik umumnya menghasilkan
solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat
dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik,
kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi
sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan approxomation, namun
solusi pendekatan dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat
sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut
dengan galat error. Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di
bawah ini. Tentukan akarakar persamaan polinom . x . x x x . x x Selesaikan sistem
persamaaan lanjar linear
Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra dimension
Hitung nilai integraltentu berikut
Diberikan persamaan differensial biasa PDB dengan nilai awal
Hitung nilai y pada t . Untuk menyelesaikan soalsoal seperti di atas dengan metode analitik,
sangatlah sulit. Soal misalnya, biasanya untuk polinom derajat dua masih dapat mencari
akarakar polinom dengan rumus abc, grafik atau difaktorkan. Sedangkan untuk polinom
berderajat banyak seperti diatas memerlukan bantuan numerik. Soal pun sama, untuk
menyelesaikan persamaan linear dengan banyak peubah juga sulit untuk diselesaikan
secara analitik, begitupun dengan soal lainya. Dari Ilistrusi diatas dapat disimpulkan
mengenai alasan menggunakan MetodeNumerik Tidak semua permasalahan matematis
atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Dibutuhkan metode yang
menggunakan analisisanalisis pendekatan persoalan non linier untuk menghasilkan nilai
yang diharapkan. Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact
dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi
penting untuk menyelesaikan permasalahan ini Pemakaian metode analitik terkadang sulit
diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numeric
yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik
dalam menyelesaian persoalanpersoalan perhittungan yang rumit.
Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh. . tahap
selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik. Pemrograman Tahap selanjutnya
adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah
satu bahasa pemrograman yang dikuasai. yaitu memasukkan banyak peubah variable atau
parameter.Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika Bila persoalan
merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorem analisa matematika yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut. faktor gesekan udara diabaikan
sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. antara lain a.apakah metode
tersebut teliti . .apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup
kecil b. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap mungkin saja
terlalu kompleks. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan
prinsip dasar dan hasilhasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik.apakah metode
tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat . maka penyelesaian matematis
metodeanalitik adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. program komputer
dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. maka dapat digunakan
metode numerik. . . dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk
memperoleh hasil yang lebih baik. dan sebagainya. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke
dalam persamaan matematika lihat contoh ilustrasi pada upabab . maka hasil yang diperoleh
diinterpretasi. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersamasama dengan
analisis galat awal yaitu taksiran galat. Semakin kompleks model matematikanya. penentuan
ukuran langkah. . TahapTahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap
yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik.
Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa
parameter dapat diabaikan. maka dapat digunakan metodemetode simulasi. menyusun
algoritma dari metode numerik yang dipilih. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan
dengan data yang sesungguhnya. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode
pendekatan. Operasional Pada tahap ini. Pemilihan metode didasari pada pertimbangan .
sehingga metode numeric pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik. Bila
persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi. yaitu . semakin
rumit penyelesaiannya.Contohnya. Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin
diselesaiakan secara matematis analitik karena tidak ada theorem analisa matematik yang
dapat digunakan. . . Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih
sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.
. pemograman. Rangkuman Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk
memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi
perhitungan/aritmetika biasa tambah. Galat pembulatan Galat bawaan Inheren Yaitu Galat
dalam nilai data dan terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data. operasional. Contoh
Pengukuran selang waktu . TahapTahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yaitu
pemodelan. metode numerik. Galat Kesalahan Penyelesaian secara numerik dari suatu
persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak yang
benar dari penyelesaian analitis. detik Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu
kebetulan selang waktu akan diukur tepat . Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren
diketahui Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa
prosedur numerik. Galat pembulatan .. evaluasi Penyelesaian secara numerik dari suatu
persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak yang
benar dari penyelesaian analitis. Galat pemotongan . Galat bawaan . Galat pemotongan.
penyederhanaan model... salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya
pengertian mengenai hukumhukum fisik dari data yang diukur. dan bagi.. . kurang. C. Ada
macam kesalahan dasar. Galat Pemotongan Truncation Error Berhubungan dengan cara
pelaksanaan prosedur numerik Contoh pada deret Taylor tak berhingga x x x x sin x x .
detik... angka Penjumlahan . kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau
mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan
approxomation. Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian Jelas
kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret. Ini terdiri angka sehingga tidak dapat
disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi . kali. yaitu Galat bawaan.
karena deretnya tak berhingga Kita berhenti pada suku tertentu misal x Suku yg dihilangkan
menghasilkan suatu galat Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting Galat
Pembulatan Akibat pembulatan angka Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka
tertentu misal.. hasilnya . .
Evaluasi . Apa perbedaan dari metode analitik. Apa yang dimaksud pemodelan dan model
matematika . dan metode numerik . Apa yang dimaksud ketidakpastian dalam proses fisis
dan pengukuran . metode empirik. Jelaskan tahapantahapan penyelesaian secara numerik
dan dimanakah peran orang informatika dalam tahapan tersebut . Jelaskan definisi dan
berbagai jenisjenis galat . Sebutkan manfaat apa saja yang akan kalian dapat dalam
mempelajari analisa numerik . Mengapa dalam konsep analisa numerik ada yang dinamakan
galat . maupun informatika E. Tugas Buatlah sebuah kajian literatur tentang manfaat analisa
numeric di berbagai bidang baik sains.D. rekayasa.
Sebagai contoh. Akar persamaan fx adalah titik potong antara kurva fx dan sumbu X.
Tujuan Kompetensi Khusus Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode
pengurung dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menyelesaikan
persamaan non linear dengan beberapa metode terbuka dan menginterpreasikan hasilnya
beserta algoritmanya B. x a m BAB II SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR A. Gambar . Atau
dalam arti lain kita menentukan akarakar persamaan non linier tersebut. dapat dihitung
dengan mx c . Penyelesaian persamaan kuadrat ax bx c dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ABC. sering solusi yang harus dicari berupa suatu nilai variabel x
sehingga fx artinya nilainilai x yang menyebabkan nilai fx sama dengan nol. untuk mencari
akar dari persamaan x x ruas kiri difaktorkan menjadi x x sehingga diperoleh akar
persamaannya adalah x dan x . Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal
adalah Dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. sehingga. Uraian Materi Pada
umumnya untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model
persoalan nyata di berbagai bidang. x . Grafik akar persamaan kuadrat Penyelesaian
persamaan linier mx c dimana m dan c adalah konstanta.
Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masingmasing
bagian dihitung nilai fx sehingga diperoleh tabel Tabel .b tertentu juga dibutuhkan dua
tebakan awal..b dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode
konvergen Yang termasuk meode tertutup antara lain Metode Tabel dan Grafik Metode
Bisection Metode Regulasi Falsi .Akan tetapi. Metode Tabel . Sebagai contoh adalah akar
dari persamaan polinom derajat tiga atau lebih. Metode Tertutup Akolade atau Bracketing
Methods Mencari akar pada range a. akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan
tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan dan caracara
analitik diatas... Dalam range a. Metode Tabel X xa x x x xnb Algoritma Metode Tabel fx fa fx
fx fx fb . Sehingga terdapat metodemetode secara numerik untuk menyelesaikan kasuskasus
persamaan nonlinear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka.
. ya dibagi maka diper roleh fx te erdekat deng gan ngan Fx . . dibagi men njadi e h ian
berada di Dari table diperoleh penyelesai antara . . . . Conto metode ta bel oh abel X . den ui
n ngan membu grafik fu uat ungsi tuk oleh taksiran akar persamaan fx yaitu m n mengamati
dimana letak dia d k unt mempero mem motong sum x. . . e an tuk atkan penyelesaian dari
persamaan di atas range x e Unt mendapa b bagian sehin ngga diperoleh Tab .. . . .. . . . den
mahan Meto Tabel ode Kelem Metod table in secara u de ni umum sulit mendapatk kan
penye elesaian deng error yan kecil. Gamba . . . . . . . fx f .. . dan .. y . .. . .. . . kar gan ng
rena itu meto ode ini tid digunaka dalam pe dak an enyelesaian p persamaan n non linier. . .
Metode Grafik Selain metode table dapat pula melalu pendekatan grafik. . . . . . nol pada x . .
. me emberikan s suatu pendek katan kas dari akar tersebut. sehingga da apat masing
diambil ke eputusan pen nyelesaianny di x. dan . Mi sar isalkan kita akan menyelesaikan per
rsamaan f x x x x ma grafik ter x aka rsebut diluki iskan . . .. yx x x x . .Con ntoh Selesaikan
pers samaan xex denga range x . dengan nila fx masin ai ng. . . . . Metod grafik ar de Jad
terlihat bah fx y . terletak diantara su di hwa k umbu x . . Titik ini untuk m mbu menyatakan fx
. . Tetapi me etode ini di igunakan se ebagai taksi iran mengetahui area penyele esaian yang
benar sebel lum awal m mengg gunakan metode ya m ang lebih baik dal lam menen ntukan
penyelesaian . .
Hal ini dilakukan berulangulang hingga diperoleh akar persamaan. fb lt Gambar .. c . Hanya
saja metode bisection ini membagi range menjadi bagian. dari dua bagian ini dipilih bagian
mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. dimana area
dibagi menjadi N bagian. Bisection Langkah Taksiran nilai akar baru. Atau periksa apakah
benar bahwa fa . Langkah Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk
taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Bisection
METODE BAGI DUA Prinsip Ide awal metode ini adalah metode tabel. c diperoleh dari .
yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu. maka fx lt z dan fx gt z saling berbeda
tanda. Dengan memisalkan bahwa xl batas bawah a xu batas atas b xr nilai tengah x maka
diperoleh tabel biseksi sebagai berikut . Langkah Menentukan daerah yang berisi akar fungsi
o Jika z merupakan akar fungsi. dengan menggunakan range x. berarti di antara a amp c
ada akar fungsi. o fbfc positif. o fafc negatif. berarti di antara b amp c tidak ada akar fungsi
Gambar . Daerah akar fungsi Langkah Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi
berhenti Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan
dicapai. Contoh Carilah salah satu akar persamaan berikut xex disyaratkan bahwa batas
kesalahan relatif a ..
Metode Regula Falsi o Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan
kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. dan fx . . o Dua titik a dan b pada
fungsi fx digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. dapat dilakukan
dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. Untuk menghentikan iterasi.
Grafik Regulasi Falsi . dibutuhkan iterasi.. Catatan Dengan menggunakan metode biseksi
dengan tolerasi error . a perkiraan awal Tabel . semakin teliti kecil toleransi errornya maka
semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan.. o Dikenal dengan metode False Position
Gambar . Tabel Penentuan Metode Bisection Pada iterasi ke diperoleh x .
x..... . Jika diambil dari nilai xo . maka . x. yaitu xn cukup dekat pada menurut tingkat
kecermatan yang diinginkan. xk.. i ii iii iv Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan
iterasinya sebagai dengan n . sehingga g. Metode Iterasi Sederhana Bentuk lain metode
penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan
yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini. Dimana n... . Contoh menyusun
kembali persamaan tersebut dalam bentuk g. akhirnya konvergen pada .... x b f x x Algoritma
Metode Regulasi Falsi . mulai x perkiraan awal... dapat ditulis sebagai berikut fx x gx .
Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk xngxn.. Metode Terbuka Diperlukan
tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn Hasil dapat konvergen atau divergen .....
Hitung Xbaru gX. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut Tabel . . .jika tidak. . Tabel
Iterasi iterasi x . . X Xbaru. . . . . dan kembali ke langkah b. dan jumlah iterasi maksimum.
Jika jumlah iterasi gt iterasi maksimum. Jika nilai mutlak Xbaru X lt toleransi. Grafik Newton
Rapshon . Algoritma program dengan metode Iterasi a. diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil
perhitungan. . . . . d. dengan rumus Grafik Pendekatan Metode NewtonRaphson f xi
Kemiringan xi f xi f x i f x fx i Kemiringan f xi f xi xi xi xi x xi xi Gambar . . dengan menentukan
satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi.. . .. gx . Ea .. . . . Dan seterusnya. b. . . e. . c.
lanjutkan ke langkah berikutnya. . . toleransi. . Tentukan X. x . . . . akhiri program. Newton
Rapshon Salah satu metode penyelesaian akarakar persamaan non linier fx.
Penyelesaian metode newtonrapshon Pernyataan Masalah Gunakan Metode
NewtonRaphson untuk menaksir akar dari fx exx . Langkah Turunan pertama dan kedua dari
fungsi fx exx . dapat dievaluasikan sebagai Langkah Lakukan uji syarat persamaan .
menggunakan sebuah tebakan awal x .Gambar .
. ar mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan p r m persamaanny ya. . . . .
Jika fungsi f mempun beberap akar titik penyelesai fx nyai pa k ian. n x . Untuk persa amaan
non li inier yang cu ukup komple pencaria turunan p eks. Tidak dapat mencari aka kompleks
imajiner. .xk .xk . Dengan demikian x k xk . Tabel Iterasi New bel wton Rapsho on Contoh m
fx x . . iterasi Xk Xk fxk fxk .E lemahan Metode Newt M tonRaphson n Kel . Fx F k . . .x . U
kedua fx akan menjadi sulit. an pertama dan . . . . . . Perkiraa awal xo an Maka f. f xbaru /. . k
a i . / xk . . akarak penyelesa kar aian tersebut tida dapat dica secara ber t ak ari rsamaan. . .
Tidak bisa m meskipun ad akar peny da yelesaiannya a. . . . . .Langkah h Lak kukan Iterasi
dengan x x f xi i i i f xi ar emakin akura jika nilai f semakin mendekati at. maka fx x. . fx n Aka
x akan se Tab .
s an sehingga tu urunan dapat dihampiri oleh beda hingga ter t rbagi. aru perhitun ngan.
Jika nil mutlak Xbaru . dan kem mbali ke langk b. kah baru e . Metod Secant ar de . akh
program.X lt toleransi diperoleh tulisan xba sebagai hasil lai i. i xi xi dapat xi xi did f xi xi xi f xi
f xi tode secant m memerlukan dua taksiran awal untuk x. Masalah potensial dalam meto
Newtonh ode Raphson ad dalah eva aluasi turuna f xi.. Seh hingga denga jalan pend an
dekatan f x f xi f xi . mlah m Hitung Xbaru x .fx/fX. n h a. hiri . jika tid lanjutkan ke langkah
berikutnya dak. tolera an ansi.Alg goritma Tentuka Xo. n n k met Gamba . Jika jum iterasi gt
iterasi mak mlah ksimum. Metode Secant asalah yang d didapat dalam metode N m
NewtonRaph hson adalah terkadang su mendapa ulit atkan Ma turu unan pertam yakni f ma.
dan jum iterasi maksimum. x. X Xb .
maka X . Iterasi Metode Secant adalah sbb Gambar . . .. Algoritma Metode Secant .b
dengan jumlah pembagi p . Grafik fungsi untuk range .Contoh Selesaikan Persamaan
Berdasarkan gambar grafk didapatkan akar terletak pada range . Masukkan torelansi error e
dan masukkan iterasi n . Sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik
pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang
diharapkan. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x dan x untuk setiap
range yang diperkirakan terdapat akar dari Fxk Fxklt maka x xk dan xxba/p . sehinggay Fx .
Definisikan fungsi Fx . dan x ..y Fx .. Ambil range nilai x a.
Flowchart Metode Secant . Untuk iterasi I s/d n atau Fxi e Hitung yi Fxi ... Hitung Fx dan Fx
sebagai y dan y . Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir Gambar .
Dari berbagai metode.Perbandingan Berbagai Metode. maka dapat disimpulkan seperti
disajikan dalam tabel berikut ini Tabel . Perbandingan berbagai metode system persamaan
nonlinear Metode Tebakan Laju awal konversi relatif Stabilitas Akurasi Luas aplikasi Upaya
Komentar program Langsung Grafik Kurang Sangat terbatas Akar sesungguhnya Memakan
waktu lebih banyak daripada metode numerik Memerlukan evaluasi fx Memerlukan evaluasi
fx dan fx Tebakan awal tak harus mengurung akar Bagidua Regula Falsi Perlahan Sedang
Perlahan Cepat Selalu Baik konvergen Selalu Baik konvergen Bisa divergen Bisa divergen
Bisa divergen Baik Baik Iterasi satu titik Newton Raphson Modifikasi NewtonRaphson Akar
sesungguhnya Akar sesungguhnya Umum Mudah Mudah Mudah Secant Cepat bagi akar
berganda. Mudah dibatasi jika fx Mudah Umum. baik metode tertutup maupun terbuka.
didesain khusus bagi akar berganda Umum Mudah Modifikasi Secant Bisa divergen Baik
Umum Mudah . sedang bagi akar tunggal Sedang hingga cepat Sedang hingga cepat Baik
Bisa divergen Baik Umum.
Rangkuman . . metode iterasi adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar
persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini NewtonRapshon
menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi. a dan b .b dipastikan terdapat satu
akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen Yang termasuk meode tertutup
antara lain Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi Metode tabel
ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil. Metodemetode
secara numerik untuk menyelesaikan kasuskasus persamaan nonlinear yang kompleks dan
rumit yaitu metode tertutup dan terbuka. Metode bisection ini membagi range menjadi
bagian. .b tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal.. Metode Terbuka Diperlukan tebakan
awal xn dipakai untuk menghitung xn Hasil dapat konvergen atau divergen Yang termasuk
metode terbuka adalah Metode Iterasi Sederhana Metode NewtonRaphson Metode Secant. .
. dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak
mengandung akar dibuang. Metode Tertutup Akolade atau Bracketing Methods Mencari akar
pada range a. .C. Evaluasi Gunakan Metode Bisection dan Newton Rapshon untuk
memperkirakan akar dari fx . . dengan rumus x x f xi i i f xi metode secant memerlukan dua
taksiran awal untuk x D. Dalam range a. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan
persamaan nonlinear diatas. . kemudian cobalah membuat programnya dengan
menggunakan bahasa MATLAB E. . Yang ada diantara titik a dan b berkut ini. f x x x . .
Metode Regula Falsi yaitu metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan
kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. karena itu metode ini tidak digunakan
dalam penyelesaian persamaan non linier. Hal ini dilakukan berulangulang hingga diperoleh
akar persamaan. . .
Tabel data interpolasi y meter t detik . Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh
benda ketika waktu tempuhnya . Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat
tinggi. Grafik interpolasi Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode
numerik. . Menentukan suatu polinomial dari barisan data dengan beberapa metode dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya B. Sebagai gambaran. Di sini kita
dikatakan melakukan interpolasi titiktitik data dengan sebuah fungsi Gambar disamping
Gambar . tetapi cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang
menghubungkan dua variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan. . . maka kurva
pencocokannya dibuat melalui titiktitik. Uraian Materi Interpolasi adalah teknik mencari harga
suatu titik diantara titik yang nilai fungsi pada ke titik tersebut sudah diketahui. sebuah
eksperimen di laboratorium fisika dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda
yang jatuh bebas terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam tabel
berikut Tabel . .BAB III INTERPOLASI A. persis sama apabila kurva fungsi yang sebenarnya
diplot melalui setiap titiktitik yang bersangkutan. Tujuan Kompetensi Khusus Menentukan
suatu Interpolasi linear dan kuadratik dari barisan data dengan beberapa metode dan
menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya. Fungsi yang tampak sangat rumit akan
menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Kegunaan dari interpolasi itu
sendiri sangat penting karena Data yang sering dijumpai di lapangan sering dalam bentuk
data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. . metode persamaan difrensial
biasa dan metode . Sebagian besar metode integrasi numerik. . . Tentu saja nilai fungsi yang
diperoleh juga merupakan nilai hampiran hasilnya tidak setepat nilai eksaknya. . Salah satu
solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan fit titiktitik dalam tabel di atas. karena
fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui. Permasalahan yang sering
ditemui pada data di atas adalah menentukan suatu nilai di antara titiktitik tersebut yang
dapat diketahui tanpa melakukan pengukuran kembali. detik Pertanyaan ini tidak secara
langsung dapat dijawab. . Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva curve fitting
dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran.
x .y dan x. Grafik Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui titik Px. Ada
beberapa jenis interpolasi diantaranya Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi
Polinomial Interpolasi Lagrange . Interpolasi Linear Interpolasi linear adalah interpolasi dua
buah titik dengan sebuah garis lurus. y . Misalkan dua buah titik.y Tentukan nilai x dari titik
yang akan dicari Hitung nilai y dengan Tampilkan nilai titik yang baru Qx. Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk Gambar .y dan Px. y
dan x .y .y dapat dituliskan dengan Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier
sebagai berikut Algoritma Interpolasi Linier Tentukan dua titik P dan P dengan koordinatnya
masingmasing x.turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak
yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam
metode numerik.
Terlihat bahwa y . penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang
diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. terletak antara x dan x. dengan rumus
yang sama. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua interpolasi kuadrat atau
lebih mendekati fungsinya. Kesalahan mutlak E. . sehingga dengan menggunakan rumus . .
jadi dapat disimpulkan bahwa Semakin kecil interval antara titik data. . Interpolasi Kuadratik
digunakan untuk mencari titiktitik antara dari buah titik Px. Jawab x .y. didapat y . Gambar .y
dan Px. x dan y adalah y x maka untuk harga x . untuk y . Interpolasi Kuadratik Banyak
kasus. . didapat Alternatif x . Sedangkan untuk y . Px. y y x k x y k y y Contoh Diketahui data
sebagai berikut x y Tentukan harga y pada x . Grafik Interpolasi Kuadratik . lebih akurat.
terletak antara x dan x. . hasil perkiraan interpolasi akan semakin baik. didapat Jika kita
bandingkan kedua kedua hasil tersebut yakni Karena hubungan.y dengan menggunakan
pendekatan fungsi kuadrat. .
akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. a. an yang merupakan nilainilai koefisien dari fungsi
pendekatan polynomial yang akan digunakan.y dan Px. Interpolasi Polinomial Interpolasi
polynomial digunakan untuk mencari titiktitik antara dari n buah titik Px..y. a. Px. Px...Untuk
memperoleh titik Qx.y digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut Algoritma Interpolasi
Kuadratik Tentukan titik input Px. Memasukkan titiktitik yang diketahui Pi xi yi untuk i.y.
Algoritma Interpolasi Polynomial Menentukan jumlah titik N yang diketahui.y. . Dengan
memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya.y. . Menyusun koefisien
fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan . a. PNxN.N Menyusun augmented
matrik dari titiktitik yang diketahui sebagai berikut Menyelesaikan persamaan simultan
dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan.yN
dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n Masukkan nilai dari setiap
titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n
persamaan dan n variable bebas Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilainilai
a. Px.y Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari Hitung nilai y dari titik yang dicari
menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik Tampilkan nilai x dan y .
PNxN..y.. maka nilai diatas menjadi x y . x y .y x . Px. .. log x Carilah log Untuk menghitung
yx log dimana x .y. Dengan menggunakan interpolasi lagrange .yN dengan menggunakan
pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan
Algoritma Interpolasi Lagrange Tentukan jumlah titik N yang diketahui Tentukan titiktitik
Pixi.N Tentukan x dari titik yang dicari Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi
interpolasi lagrange Tampilkan nilai x. Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui
Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan Menampilkan titik x. x y . . x y . .yi
yang diketahui dengan i. simultan di atas. Interpolasi lagrange Interpolasi polynomial
digunakan untuk mencari titiktitik antara dari n buah titik Px. . .y.y . Px.y Contoh Nilai yang
berkorespondensi dengan y log x adalah X . y x .
y. Px.y dan Px. karena nilainilai atau data diatas adalah hasil dari polinom yx x . x . Misalkan
dua buah titik. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titiktitik antara dari buah titik
Px.y.y.y dan kemudian lakukan interpolasi pada saat x tertentu . .y. Adapun untuk
membentuk polinom derajat dengan diketahui titik. C. Rangkuman Interpolasi adalah teknik
mencari harga suatu titik diantara titik yang nilai fungsi pada ke titik tersebut sudah diketahui
Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Tugas Carilah
sebuah data di lapangan x. y dan x . . Px. . Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu
adalah persamaan garis lurus . Px. PNxN.yN dengan menggunakan pendekatan fungsi
polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan D.y. Px. . Px. Nilai
sebenarnya dari x adalah .y. maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog
dengan interpolasi Lagrange. y . y dan yx . Px.y. Interpolasi polynomial digunakan untuk
mencari titiktitik antara dari n buah titik Px.yN dengan menggunakan pendekatan fungsi
polynomial pangkat n .y dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat. carilah x Karena
yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui. dapat menggunakan cara yang sebelumnya
pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat. y . x x Contoh Bila
y . . PNxN.
. dengan interpolasi linear sampai angka dibelakang koma. x Carilah log dengan
menggunakan Interpolasi Lagrange dari data diatas. .. . Tentukanlah nilai n . . dengan
interpolasi kuadratik . dan n . Diketahui data berikut x log . . . . Cari nilai y untuk titik x .
dengan menggunakan interpolasi kuadratik . dan n ..E. b Diberikan data n . Soal . y yi i j N x
x j xi x j . yang berada diantara titik . Hitunglah interpolasi dari data yang diketahui berikut ini
Jika dari datadata diketahui bahwa n ... dan . . n . a maka tentukanlah nilai n .
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi b a f xdx ci f xi i n c f
x c f x . . Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk
memperoleh jawaban hampiran aproksimasi dari pengintegralan yang tidak dapat
diselesaikan secara analitik.BAB IV NUMERIK A. Tujuan Kompetensi Khusus Menghitung
integral secara numerik dengan beberapa metode persegi panjang dan trapezium
Menghitung integral secara numerik dengan aturan simpson / dan aturan simpson / B. Kita
lihat contoh berikut Fungsi yang dapat dihitung integralnya secara analitik ax n C n e ax C e
ax dx a sinax bdx a cosa b C cosax bdx a sina b C xdx ln x C n ax dx ln x dx x ln x x C
Fungsi yang rumit misalnya cos x . Uraian Materi Di dalam kalkulus. dalam banyak
keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y fx dan
sumbu x. sin x e dx Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam
kalkulus. cn f xn . Penerapan integral semisal menghitung luas dan volumevolume benda
putar dan juga yang lainya. terdapat dua hal metode penting untuk menyelesaikan
permasalahan matematis yaitu integral dan turunan derivative... x .
aat elajar integral yaitu penjum l mlahan bagi ianbagian. kubik. upun polyno omial yang l
lebih tinggi. seperti sa awal be . Pendeka solusi atan rhitungan int tegral mengg gunakan For
rmula Newto onCotes yai berdasark pada itu kan Per I f xdx f n xdx a a b b mpiran fx dengan
polyn d nomial Nilai ham f n x a a x L an x n an x n ear. Dan f n dapat berupa fungsi line
kuadrat.Gam mbar . Metode Numerik h e hanya menco untuk le oba ebih cepat dan lebih me
endekati jaw waban eksak. Da Pengint asar tegralan Num merik Melaku ukan pengin
nteralan pad bagianba da agian kecil. juga polinomial dapat didas . Gambar . atau sarkan
pada data.
Linear dan kuadartik Gambar .Gambar . Kubik dan polynomial yang lebih tinggi Gambar .
Polinomial dapat didasarkan pada data .
antara x g eh dan n x . Jika fungsi yang diintegrasi g ikan mempu unyai satu variabel. ataup
juga pad fx x / pun da k k Con ntoh Car luas daerah di bawah k ri h kurva fx x.b. s Sol P
njang Inte egral Reima ann . Lu L b uas f x dx a Gam mbar . . dan bila fungsi mempunya dua
n i ai var riabel bebas. p u proses disebu QUADRA ut ATUR MECH HANIC. sam dengan f xk
yaitu n ung ubinterval kek tersebut juga dapat mengambil tinggi sama dengan f k k t. proses
diseb CUBAT but TURE MECH HANIC. satuan luas lusi L x dx x . antara x sampai x .Inte
egrasi secara numeric m a merupakan pr roses menghi itung integra berdasarka sejumlah
nilai al an num merik integr fungsi y ran yang diinteg grasi. t l x uju kanan su yait nilai fung
pada ujun kiri subin tu gsi ng nterval. Gr rafik Luas In ntegrasi Con ntoh Hitun luas daerah di
atas su ng umbu x yang dibatasi ole kurva y x.a s val n Hitun nilai fung pada ujun ng gsi
ngujung sub binterval ter rsebut f xk Hitun luas tiapng tiap persegi panjang ters sebut Pk h f
xk Juml lahkan semu luas perseg panjang te ua gi ersebut L h . fxk k h Gambar . Metode
Reimann r e mbil ang ma nilai fungsi pada Selain mengam tinggi persegi panja kek. Metode
Pendekatan Persegi Pan Bagi interval a sa ampai b atas n subinterv h b . Men nyelesaikan
seca ara num meric dapat dilakukan dengan meny yatakan fx dalam rumu usan interpol
dalam fu lasi ungsi per rbedaan yang diintgrasik antara a g kan a.
.. . f xi i . m maka dipero tabel oleh Tab . . . Gam mbar . Perh bel hitungan inte egral dengan
metode Rei imann L h. . Gr rafik Solusi M Metode Reim mann Den ngan mengambil h. . i . . ..
. .. . . Ter Alg goritma Metode Integral Reimann n Definisi ikan fungsi fx f Tentuka batas baw
dan batas atas integr an wah rasi Tentuka jumlah pe an embagi area N Hitung hba/N N
Hitung L h. lus Sec rdapat kesa alahan e .. . . .. . . h/ fxn fxn h/ fx x n h fx fx k fx n x k .. . . . x .
. . Luas Total t t tn h fx f h/ fx fx . Metode Trapesium T Bag interval a b menjad n subinter
yang sam b n a gi a. f xi .. di rval ma h Hit tung nilai fun pada uju ngsi ungujung su ubinterval
tersebut f xk t Hit tung luas trap pesium Pk h f xk Lua trapesium ke t fx f h h/ fx fx as m fx e / f
ke t fx fx h h/ fx fx . . . . .. . ke tn fxn fxn h h fxn fxn en x h/ . cara kalkul L x dx x .
/ xk fxk x Lua total as h x fx fx k fx k goritma Metode Integrasi Trapezo oida Alg an Definisika
yfx Tentukan batas bawah a dan bat atas integ h tas grasi b mbagi n Tentukan jumlah pem
ba/n Hitung h Hitung n h L f f i f n i Simpson / . Aturan S rumusan Atu uran Simpson /
diaproksimasi dengan fungsi p n parabola Per b a f xdx ci f xi c f x c f x c f x i h f x f x f x .
dibagi menjadi subint terval. n h .Gambar . antara x samp x ah a pai Sol lusi Int terval . Grafik
Meto Trapesiu G ode um Hit tung luas dae erah di bawa kurva fx x.
x b. h h h x x x x x x x a. Grafik Meto Simpson / ode n rumusan ters sebut didapat dari
penuru t unan berikut ini t Per L x let t x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x ab
dx x x ba . d . x L f x f x f x b a f xdx h L d f x h d h d f x h d f x h f x f x h h f x b a f x dx h f x f
x f x .Ga ambar .
Alg goritma ikan fungsi integran i a Definisi b Tentuka batas pengintegralan a dan b dan j an
jumlah segm n harus genap men s c Hitung h ba/n n sasi d Inisialis sum F a x F ah e Hitung
untuk i sampai i n dengan i n indeks perta ambahan sam dengan sum ma xh aih sum x F aix
x F a f Hitung nilai integra I h/ x s al sum Fb asil g Tulis ha perhitungan impson / . G Grafik
Meto Simpson / ode n . Grafik pe .Gambar . Aturan Si Atu uran Simpson / diaapr roksimasi
dengan fungsi kubik b a f xdx ci f xi c f x cf x c f x cf x i h f x f x f x f x Ga ambar . embagian h
pada metode simpson / p e / au n dapat pila didapat dari P Polinom inte erpolasi New
wtonAta penurunan perumusan tersebut d Gre egory derajat yang mel lalui ketiga t titik
tersebut t.
Simpson berdasarkan titik data diskrit. Oleh karena itu. Metode Integrasi Gauss Metode
Newton Code Trapezoida. diperlukan metode Integrasi Gauss. mengakibatkan error yang
dihasilkan cukup besar. Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre titik
Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan titik Definisikan fungsi fx Tentukan
batas bawah a dan batas atas integrasi b Hitung nilai konversi variabel Tentukan fungsi gu
dengan Hitung . dengan batasan h sama dan Luas dihitung dari a sampai b. E f f h h . t f x d f
x f x b a u g u b a f b a u Error Pemenggalan Algoritma a Definisikan fungsi integran b
Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n harus kelipatan c Hitung h
ba/n d Inisialisasi sum F a x F ah x F ah e Hitung untuk i sampai i n dengan indeks
pertambahan sama dengan sum sum x F aih x F aih x F aih f Hitung nilai integral I h/ x sum
Fb Tulis hasil perhitungan .
Beberapa Penerapan Integrasi Numerik a n Me enghitung Luas Daerah Berdasark Gambar
L h kan r Untuk menghitung luas integra di peta di atas. i ngan mengg gunakan meto
integrasi trapezoida ode Den h L y y yi . Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berik kut Dar
tabel di ata luas area dapat dihitu dengan m ri as. i ngan mengg gunakan meto integrasi
Simpson ode Den h L y y yi yi i ganjil i genap enghitung Luas dan Vo L olume Benda Putar
Me as tar Lua benda put L p f xdx V p f x d dx b lume benda putar Vol ntoh Con a b a . a ung
menggunaka macam metode an Den ngan mengg gunakan meto integrasi Reimann ode L h
yi . mm a m. dengan ska yang tert k. mulai sisi k dengan g ke dan sisi kanan grid ke n d kiri
grid n dalam hal ini n . ala tera maka be erarti panjangny adalah ya . atau Pada gam mbar di
atas.. ya m al ang perlu d dilakukan ad dalah menandai atau memb i buat garis gr pada
setiap step satu h yang d rid uan dinyatakan d dalam satu kotak Bila satu kotak mewakili
mm.
cm Vol Ra angkuman . gian Bag I LI dan VI gian an Bag II LII da VII Sed dangkan unt
menghit tuk tung bagian II dan IV diperlukan pembagian area . fxk k h . membagi bagian II
dan IV perlu diperhitung u gkan kemba ali. Metode Tr rapesium L n h x x fx fx k fx n k .Rua
benda pu dapat di ang utar ibedakan me enjadi bagi ian bagian I dan III m merupakan b
bentuk silind yang tidak perlu d der dihitung de engan bagi kemba ruangnya. i aan tol Luas
permuka dari bot adalah L LI LII LIIII LIV . ali . lume . Penginteg gralan nume merupak alat
atau cara yang d erik kan digunakan un ntuk memper roleh jawaban hampiran a aproksimasi
dari pengintegralan ya tidak da ang apat diselesa aikan nalitik. cm Vol lume botol adalah V
VI VII VIII VIV . . secara an . as Lua . misa alkan den ngan mengam h dip mbil peroleh Pad
bagian II dan IV LII LIV dan VII VIV da Den ngan mengg gunakan integ grasi trapezo dapat
di oida iperoleh h LIII LIV y y yi i VIII VIV h y y yi . Metode P Pendekatan P Persegi Panja
Integra Reimann ang al L h .
dan aturan simpson untuk menghitung integral di bawah ini x dx . Perumusan Aturan
Simpson / diaproksimasi dengan fungsi parabola .. n . Tugas Pilihlah satu metode untuk
menyelesaikan integral secara numerik diatas. Evaluasi Perbandingkan berbagai metode
dengan metode Reimann. Trapezoid. b a f xdx ci f xi c f x c f x c f x i h f x f x f x Aturan
Simpson / diaaproksimasi dengan fungsi kubik b a f xdx ci f xi c f x cf x c f x cf x i h f x f x f x f
x C. kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman
menggunakan bahasa pemograman MATLAB D.
Menentukan Determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta
algoritmanya B. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang
banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multivariabel dimana setiap
persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel
berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai
bentuk matrik yaitu atau dapat dituliskan . Tujuan Kompetensi Khusus Menyelesaikan Sistem
Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya.
Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaanpersamaan yang secara
bersamasama menyajikan banyak variabel bebas. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah
besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau lazim
disebut persamaan linear simultan. Terdapat beberapa metode yang akan dipelajari guna
menyelesaikan persamaan linear simultan ini. Uraian Materi Kasuskasus persamaan linier
akan banyak ditemui dalam masalah rekayasa atau science baik dari cara analisis maupun
hitungan rumusan model matematika permasalahan.BAB V PERSAMAAN LINEAR
SIMULTAN A. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
dapat dituliskan sebagai berikut dimana aij untuk i s/d m dan j s/d n adalah koefisien atau
persamaan simultan xi untuk i s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
sedangkan boneka B membutuhkan potongan kain dan kancing. Untuk setiap bahan dapat
dinyatakan bahwa untuk boneka A untuk boneka B Potongan kain untuk boneka A untuk
boneka B Kancing . Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang
dapat dibuat dari potongan kain dan kancing Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan
menyatakan x jumlah boneka A dan y jumlah boneka B. dan dituliskan Augmented A A B
Sehingga secara detail. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam
bahan yaitu potongan kain dan kancing. Augmented Matrix matrik perluasan dari persamaan
linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan
vector B pada kolom terakhirnya. atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Grafik
solusi persamaan linear Contoh permasalahan Seorang pembuat boneka ingin membuat
dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Boneka A membutuhkan potongan kain
dan kancing.Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan.
augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan Persamaan Linier Simultan
atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi Tidak mempunyai solusi
Tepat satu solusi Banyak solusi Gambar . Vektor x dinamakan dengan vektor variabel atau
vektor keadaan dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta.
Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik
adalah ratarata panans dari titik tetangganya. Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syaratsyarat sebagai berikut.Atau dapat dituliskan
dengan x y x y Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang
memenuhi kedua persamaan di atas. Metodemetode tersebut dapat dilakukan dengan
mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah . dimana jumlah persamaan
sama dengan jumlah variable bebas. aturan Crammer. sehingga pemakaian metode numerik
menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Untuk menyelesaikan
permasalahanpermasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan
menggunakan metodemetode analitik seperti pemakaian metode grafis.. Contoh
permasalahan Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. maka dapat
dihitung panas pada titik T dan T sebagai berikut Persamaan panas pada titik T dan T dapat
dihitung dengan Persamaan linier simultan dari permasalahan di atas adalah Penyelesaian
permasalahan di atas adalah nilai T dan T yang memenuhi kedua persamaan . tetapi bila
ukurannya besar maka metodemetode di atsa menjadi sulit dilakukan. Determinan dari
matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Persamaan linier simultan
nonhomogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn . atau
invers matrik. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
persamaan linier simultan antara lain Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi
GaussJordan Metode Iterasi GaussSeidel . Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar.
Theorema .
Persamaan pivotal kedua x dari hasil susunan persamaan pivotal pertama dipilih dari
koefisien besaran x yang terbesar.. maka persamaan pivotal pertama diperoleh dari
koefisien x mutlak yang terbesar.. Dalam penyelesaian numerik cara Gauss selalu
ditentukan terlebih dahulu persamaan pivotal atau persamaan poros bagi variabel. . P
Persamaan ini dipindahkan posisinya pada susunan baris pertama.. yaitu menghilangkan
atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas... .
Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan tipe operasi.. Gauss
menyelesaikan persamaan linear simultan melalui proses menghilangkan atau mengganti
secara beruntun beberapa besaran yang dicari sampai sistem menjadi satu persamaan
dengan satu besaran. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui
disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS.... adalah suatu metode dimana
bentuk matrik di atas.... Mempertukarkan dua baris . Demikian seterusnya sehingga tersusun
persamaan linear simultan dengan koefisien diagonal dapat ditulis sebagai berikut .
Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. maka variabel lainnya diperoleh
melalui proses substitusi ke belakang dengan menggunakan persamaan pivotal. a .. pada
biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan
OBE Operasi Baris Elementer. a n a n .. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini.. a
. Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan
dari metode eliminasi. a n . a nn c nn . Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol
.. a n nn . a a n . c c n . terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik
sebagai berikut Metode eliminasi gauss.x. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer . a n
.. sehingga koefisien yang terbesar berada pada lokasi diagonal a... Apabila besaran yang
akan dieliminasi secara berturutturut adalah x. Jika telah diketahui nilai satu variabel...
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang
ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih
mudah untuk diselesaikan... yaitu persamaan yang mempunyai koefisien terbesar dari
besaran yang akan dieliminasi.
x. sehingga ini merupakan persamaan pivotal kedua. . sehingga Isikan ke sehingga
diperoleh . Nyatakan x dari persamaan ini Persamaan adalah persamaan pivotal ketiga. dan
x.Tinjaulah contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Gauss sebagai
berikut. . dan Dari persamaan . Persamaan linear dengan besaran yang tidak diketahui
disusun pada empat persamaan Besaran yang akan dihilangkan berturutturut adalah x.
Karena koefisien x terbesar pada persamaan . dan terlihat koefisien terbesar x pada
persamaan . ini merupakan persamaan pivotal pertama. Nyatakan x dari persamaan ini
Masukkan nilai x ini pada persamaan .
x dan x diperoleh dari persamaan . x. Dengan mengisikan nilai x ke persamaan diperoleh x .
x . da x yang telah diketahui. x. Hasil penyelesaian sistem Untuk memeriksa kebenaran
keempat nilai di atas. dan x pada persamaan . x . Terlihat bahwa cara Gauss menyelesaikan
sistem persamaan linear adalah dengan mengubah sistem persamaan yang diketahui
menjadi persamaan pivotal sistem triangulasi. x . dan dengan mengisikan nilai x dan x ke
persamaan didapat x . Dengan penjelasan dalam contoh di atas.Dengan cara subsitusi ke
belakang. Dalam penyajian matriks. . dan . masukkan nilai x.. x.. susunan akhir menjadi
Dengan mudah dari matriks ini dihitung determinan. berupa perkalian nilai koefisien diagonal
utama D . besaran x.. dan . sehingga nilai x dapat diperoleh dari persamaan dari x. . yaitu x .
Algoritma Program mengubah bentuk umum persamaan simultan .
dan kemudian dilakukan pengurangan hasil pengali dari baris persamaan pivoting yang
ditinjau dengan persamaan dari baris lainnya sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai nol.
Setiap tahap k. Untuk tujuan ini dibutuhkan n tahapan proses.. . .. . n akan menghasilkan
nilai pada kolom k tanpa mengubah nilai yang sudah ada pada kolom sebelumnya.. k.. Ini
berarti bahwa pada setiap tahap dicari suatu pengali mik.Hal ini dilakukan melalui proses
menolkan kolom sampai kolom n di bawah posisi diagonal. Untuk mendapatkan nilai nol
pada kolom pertama di bawah diagonal elemen a pada contoh berikut Secara umum Pada
proses perhitungan besaran ini sesungguhnya hanya ditinjau nilai j k.. n. karena besaran nol
di bawah posisi diagonal tidak memerlukan perhitungan lanjut. k . Dengan substitusi ke
belakang .
berarti determinan A . c. Proses ini disebut proses PIVOTING. maka perlu modifikasi
susunan baris.dengan i n. akan diperoleh besaran variabel yang dicari. Masukkan nilai
matriks A dan b yang membentuk persamaan simultan linear. . . Lakukan substitusi mundur
untuk mendapatkan hasil perhitungan. Suatu pivot bernilai kecil sekali. d. Ini menunjukkan
invers A tidak ada. Algoritma yang memberikan sifat tidak stabil harus dicegah dengan
menetapkan syarat perlu Dengan ketentuan ini. Elemen akk yang digunakan menghitung mik
disebut elemen PIVOT. Lakukan eliminasi untuk menolkan bagian segitiga bawah matriks.
Bentuk matriks gabungan G yang merupakan gabungan matriks A dan b.. n.. Jika pada
proses eliminasi nilai akk bernilai . tetapi elemen di bawahnya bukan . dan tidak ada
penyelesaian unik persamaan sebab solusi vektor x dicari dari x A b. yang berarti solusi yang
akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Pada tahap akhir penghitungan.
Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan cara eliminasi Gauss a. e.
Solusi persamaan ini tidak stabil dan hasilnya dengan cara apa pun tidak akan memberikan
nilai yang benar. dengan pertukaran baris dalam matriks untuk mendapatkan pivot yang
bukan bernilai . prosedur pivoting perlu dimodifikasi pada tahap kek. sebelum dibentuk
pengali mik dengan penyusunan baris baru sedemikian rupa untuk memperoleh nilai mutlak
terbesar elemen dalam kolom k di posisi diagonal utama. sistem disebut berkondisi ill ill
conditioned. determinan dunyatakan sebagai Sehingga jika ada pivot bernilai nol. Tulis
keluaran dan akhiri program. . . b.. dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang
kecil. Penjelasan uraian ini dapat dilihat pada solusi dua persamaan berikut yang dalam
penyajiannya secara grafik hampir paralel.
Gambar . Flowchart Penyelesaian Numerik SistemPersamaan Linear .
d.. hanya saja augmented matrik.a a n . Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas
adalah nilai d. ... a ..dn dan atau Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi
GaussJordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE Operasi
Baris Elementer. . pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal.. a n . x B B / B x b B y z
....... . Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss. . a n a nn ..d. Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh
dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris..... Contoh Selesaikan persamaan linier
simultan Penyelesaian dengan operasi baris elementer Penyelesaian persamaan linier
simultan x dan x Contoh BB BB B BB ..
..B B / B B .... dimana aik.. bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan
proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian.i tidak sama dengan nol. Bila tidak lanjutkan .
y dan z Secara umum prosedur menolkan unsur pada posisi atas dan bawah diagonal
dilakukan dengan pengali.i sama dengan nol Bila ya pertukarkan baris ke i dan baris ke
ikn.... . dan bagi unsur di atas pivotal. n dan l k. Dengan hanya unsur diagonal matriks dapat
dilakukan normalisasi pada matriks. B B. bagi unsur di bawah pivotal dan dengan i . dan
vektor B beserta ukurannya n Buat augmented matrik AB namakan dengan A Untuk baris ke
i dimana i s/d n a Perhatikan apakah nilai ai.. . Hasil perhitungan langsung didapatkan pada
kolom terakhir matriks. k. Bentuk matriks gabungan setelah normalisasi adalah sebagai
berikut Algoritma Metode Eliminasi GaussJordan adalah sebagai berikut Masukkan matrik
A./ B Solusi x .
METODE DEKOMPOSISI LU Dari pembuktian matematika. dimana j i s/d n Lakukan
operasi baris elementer untuk kolom k dimana k s/d n Hitung c aj. jika suatu matriks A
bukanlah singular sifatnya ada penyelesaian yang unik triangular L dan U. maka mengisikan
matriks A dengan L U menghasilkan LUx b .ai. seperti U disebut matriks triangulasi atas
dengan nilai elemen di bawah diagonal sama dengan . .b Jadikan nilai diagonalnya menjadi
satu.k Penyelesaian.n . Dengan demikian A L U Bila persamaan linear yang simultan
dinyatakan dalam matriks Ax b.i Hitung a j.k c. untuk i n s/d bergerak dari baris ke n sampai
baris pertama xi ai. hitung Untuk baris ke j.k a j. L disebut matriks triangular bawah yang
elemen matriksnya mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai di atas diagonal. dengan
cara untuk setiap kolom k dimana k s/d n.
sehingga menyimpan pengali ini selama proses eliminasi menjadi dasar pembentukan
matriks L dan U. Matriks U sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode
Gauss. dan U x z untuk memperoleh x. Menyelesaikan Lz b. Mendapatkan matriks L dan U.x
x . yang diselesaikan dari L z b. yaitu untuk nilai b yang berbedabeda cukup dilakukan satu
kali penguraian matriks A ke LU. c.Berarti terdapat dua sistem L z b untuk mencari z.x Dalam
bentuk matriks Dari persamaan awal terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien x
yang diubah susunannya menjadi Karena proses dekomposisi LU pada matriks A. Secara
umum . Metode penyelesaian seperti ini disebut metode dekomposisi LU. cukup ditulis
Proses pertama ialah menghilangkan elemen di bawah a menjadi nol. cara dekomposisi ini
mempunyai keunggulan dari cara Gauss.x x x x . Sebagai contoh. Unsur elemen matriks L
merupakan pengali dalam proses eleminasi Gauss. b. setelah diketahui nilai z. Selanjutnya.
ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan x x . Penyelesaian U x z
dilakukan dengan cara substitusi ke belakang. Menyelesaikan Ux z Proses ini mempunyai
syarat telah memasukkan prosedur pivotal. Algoritma proses dekomposisi LU a.
Susunan baru A Dari susunan unsur tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses
triangulasi. .
sehingga vektor z sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor x menjadi fasilitator
penyelesaian persamaan bagi berbagai nilai vektor b. Lakukan substitusi ke depan. . b. d.
tetapi unsur vektor b yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai
beberapa variasi. e.Lakukan dekomposisi matriks A algoritma diberikan selengkapnya pada
Bagan Alir Program program. Tulis keluaran dan akhiri program. vektor b dapat mempunyai
nilai yang berbeda. bxA Metode dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemrograman solusi
analisis sistem yang baku. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan
linear dengan metode dekomposisi LU a. yang unsur matriks A tetap. Lakukan substitusi ke
belakang untuk mendapatkan penyelesaian persamaan. c.sedangkan L ialah Dekomposisi A
LU Penyelesaian dari persamaan menjadi Dari langkah a. Masukkan nilai matriks A dan b.
. Untuk mengecek kekonvergenan Hatihati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika
menggunakan metode iterasi GaussSeidel ini. x n ..... Bila diketahui persamaan linier
simultan Berikan nilai awal dari setiap xi i s/d n kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi Dengan menghitung nilainilai xi i s/d n menggunakan
persamaanpersamaan di atas secara terusmenerus hingga nilai untuk setiap xi i s/d n sudah
sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan
linier simultan tersebut. Metode Iterasi GaussSeidel Metode interasi GaussSeidel adalah
metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilainilai yang berubah.....
karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak
diperoleh hasil yang benar. a x n ... a x ... a ..... a x ... x a nn x n x .. x ..... .. Atau dengan kata
lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi i s/d n dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.... ......Letakkan nilainilai terbesar
dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama.... Perhatikan setiap koefisien dari
masingmasing xi pada semua persamaan di diagonal utama aii. b a ..... x n b a n n a x n a nn
. a ... Masalah ini adalah masalah pivoting yang harus benarbenar diperhatikan...... x n a n x
a x n a n ......... a ... Susun persamaan menjadi .. Berikan nilai awal x dan x ..
untuk i s/d n Simpan xi dalam si. untuk i s/d n Untuk i s/d n hitung iterasi iterasi . dan vektor
B beserta ukurannya n Tentukan batas maksimum iterasi maxiter Tentukan toleransi error
Tentukan nilai awal dari xi.Nilai interasi ke sudah tidak berbeda jauh dengan nilai interasi ke
maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian Algoritma Metode Iterasi GaussSeidel
adalah sebagai berikut Masukkan matrik A.
X membuat macam b t boneka A dan B. Mo odel Sistem Persamaan Linier n Var riabel yang
dicari adal jumlah b lah boneka. Bila d as plat tu ditentukan ba ahwa alir panas be ran
ergerak seca laminar dan panas pada sebuah titik adalah ratarata p ara p h h panas dar titik
tetan ri ngganya. Boneka A memerlu n a ukan bahan blok B d dan blok B. Contoh P ntoh . Bil
tidak mak ulangi lan h la ka ngkah Penyelesaian Permasala n ahan Persam maan Linier
Simultan r . Dip arti inya bahan y yang tersedia dapat dibua boneka A dan bon a at neka B.
ma dapat dih aka hitung panas pada titik T dan T seb s T bagai beriku ut . sedangkan
boneka B memerlu a ukan bahan blok B da blok B Berapa jumlah an . ang ggap x adalah
juml boneka A lah x adalah juml boneka B lah Per rhatikan da pemakaia bahan ari an B
bahan u untuk bonek A bah untuk bo ka han oneka B B bahan un ntuk boneka A bahan
untuk boneka B a n Dip peroleh mod sistem per del rsamaan lini ier x x x x x metode
eliminasi GaussJ Jordan peroleh x dan x . Bila iterasi lebih dari maxiter atau tidak terda m u
apat ei lt u untuk i s/d n maka pr d roses. Con Mr. ntoh Kasus Con Per rmasalahan aliran
panas pada plat ba a aja Dik ketahui pana beberapa titik pada p baja yait pada sisi luar. bon
neka yang da dihasilk bila terse blok bahan B da blok b apat kan edia an bahan B. dih
hentikan dari penyelesaia i annya adalah xi untuk i s/d n.
C. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat
dituliskan sebagai berikut .Persamaan panas pada titik T dan T dapat dihitung dengan
Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah Penyelesaian dengan
menggunakan iterasi GaussSeidel. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk
persamaanpersamaan yang secara bersamasama menyajikan banyak variabel bebas.
Rangkuman . dan T. sebagai berikut Jadi temperatur pada T. terlebih dahulu ditentukan nilai
pendekatan awal T dan T dan fungsi pengubahnya adalah Diperoleh hasil perhitungan untuk
toleransi error .
Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan
PIVOTAL atau persamaan POROS Suatu pivot bernilai kecil sekali. dan sistem persamaan
mempunyai nilai determinan yang kecil. Dekomposisi LU . Evaluasi Perbandingkan metode
Eliminasi Gauss. Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai
kemungkinan solusi Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi Metode
eliminasi gauss. Metode interasi GaussSeidel adalah metode yang menggunakan proses
iterasi hingga diperoleh nilainilai yang berubah D. Iterasi GaussSeidel. Operasi Baris
Elementer Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol Mempertukarkan dua baris
Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. . Tugas Pilihlah satu metode untuk
menyelesaikan Sistem Persamaan Linear secara numerik diatas. . kemudian coba
aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa
pemograman MATLAB E. . pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga
bawah dengan menggunakan OBE Operasi Baris Elementer. . yang berarti solusi yang akan
diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. sistem disebut berkondisi ill ill conditioned..
dan Aturan Cramers dalam menyelesaikan persamaan linear di bawah ini x x x x x x x x x .
adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas. .
Linear Algebra and its Applications. Theory and Problems of Technical Mathematics. . Slide
Nana Ramadijanti Metode Numerik. Diktat ajar Zuhair A. Steven T. Schaums outline. Serge
Lang. Amriyansyah Nasution dan Hasballah Zakaria. Gilbert Strang. Penerbit Interaksara. .
Nering. Jakarta Buku Ajar Aljabar Linear Oleh Yuliant Sibaroni Aljabar Linier Elementer.
Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. Karris. Howard. Mahmud Imrona. .. . Pustaka
Anton. John Wiley. second edition. Diktat ajar Irfan Subakti MODUL Interpolasi dan Regresi.
Dasardasar Aljabar Linear Jilid Edisi . . Linear Algebra. L. Linear Algebra and Matrix Theory.
second edition. AddisonWesley. PAUL CALTER. Evar D. dll. New York.HILL BOOK
COMPANY Slide AgusSoft. Inc. Harcourt Brace Jovanovich. A First Course in Computational
Physics John Wiley amp Sons. Penerbit ITB. Orchard Publications P. .DAFTAR PUSTAKA
Numerical Analysis Using Matlab and SpreadSheets. Metode Numerik Sebagai Algoritma
Komputasi. Mc GRAW. DeVries.