Calculus and Analysis Geometry

Analisis Numerik (S0262)

Silabus
•
•
•
•
•
•
•

Pendekatan dan kesalahan
Langkah-langkah pekerjaan numerik
Akar-akar suatu persamaan
Sistim persamaan aljabar linear
Integrasi Numerik
Persamaan diferensial Numerik
Pencocokan kurva
Buku Wajib: Chapra, S. C. and Canale, R. P., (1991).
Metode Numerik Untuk Teknik (terj:
Numerical Methods for Engineers)”, UIPress, Jakarta.
S0262 Analisis numerik
PENDAHULUAN
Adalah suatu fakta bahwa banyak kasus-kasus atau gejala
fisika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak
Untuk hal seperti ini metode numerik dapat memberi
jawaban.


Pekerjaan numerik meliputi langkahlangkah berikut:
• Pemodelan : memformulasikan pekerjaan
menjadi suatu sistim persamaan matematis
• Pemilihan metode numerik yang sesuai
• Membuat program
• Mengeksekusi program
• Analisa hasil
Catatan: Metode Numerik selalu mengandung kalkulasi
aritmatika yg sangat menjenuhkan Perlu dibanu
dengan komputer.
S0262 Analisis numerik
 KESALAHAN
Dalam solusi secara numerik, hasil yang kita
peroleh merupakan hasil pendekatan
terbaik yang tidak lepas dari kesalahan,
untuk itu nilai benar suatu besaran dapat
ditulis sbb:
a  ã - Et
Keterangan :
a = nilai benar (pasti)
ã = nilai approximasi (yang didapat dari
pengukuran,perhitungan)
Et = kesalahan total
Kesalahan Numerik timbul dari
penggunaan pendekatan (approximasi)
untuk menyatakan operasi dan besaran
matematika yang pasti.
S0262 Analisis numerik

KESALAHAN RELATIF
Penulisan kesalahan dalam bentuk kesalahan relatif
kadang-kadang menguntungkan untuk
membandingkan kesalahan dengan besaran yang
sedang dievaluasi.
Kesalahan relatif t=Kesalahan/hargasebenarnya
Kesalahan relatif approximasi:
a= Kesalahan approximasi/harga approximasi
Dalam pendekatan iterasi ( approximasi sekarang
berdasarkan approximasi sebelumnya)
a= (approximasi sekarang – approximasi
sebelumnya)/approximasi sekarang
Dalam proses iterasi kadang-kadang proses iterasi akan
selesai jika
| a|< toleransi (s) =(0,5 x 102-n) %
n= angka signifikan
S0262 Analisis numerik

Sumber-Sumber Kesalahan
1.
2.
3.
4.
percobaan (experimental error)
(kesalahan berasal dari percobaan,
pengukuran dll)
pembulatan ( roundoff error)(akibat
pembulatan dalam per-hitungan)
pemotongan ( truncation error)
(kesalahan akibat penyederhanaan
suatu
algoritma perhitungan,
pemotongan langkah-langkah dalam
algoritma)
pemrogramman ( programming error)
S0262 Analisis numerik

Contoh:
Perhatikan deret MacLaurin dibawah ini:
2
3
x
x
ex  1 x 

 ..........
2!
3!
Jika suku pertama dianggap sebagai pendekatan
pertama, 2 suku pertama sebagai pendekatan
kedua dst terhadap ex, berapa suku yang
harus diikutkan supaya kesalahan relatif |
a|< s dimana sekurang-kurangnya 3
angka signifikan. Dan Jika e0,5=
1,648721271, carilah kesalahan sebenarnya.
Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 %
S0262 Analisis numerik

Contoh:
x 2 x3
e  1 x 

 ..........
0,5
e = 1,648721271
2!
3!
x
Jawab: s =(0,5 x 102-3)%= 0,05 %
Suku ke-
Hasil
t %
a %
1.
1
39,3
2
1,5
9,02
33,3
3
1,625
1,44
7,69
4
1,645833333
0,175
1,27
5
1,648437500
0,0172
0,158
6
1,648697917
0,00142
0,0158
Jadi minimal 6 suku pertama yang digunakan.
Kolom 2: Harga deret untuk x= 0,5, Kolom 3= (Kolom
2)/1,648721271.
S0262 Analisis numerik

CARA PENULISAN BILANGAN BERHINGGA
1. Titik-tetap ( fixed- point system)
( jumlah decimal ditentukan)
Contoh: 62,358; 0,013; dan 1,000.
2. Titik- mengambang ( floating- point
system) dituliskan berdasarkan angka
signifikan tertentu
Contoh:
0,6238 * 103; 1,7130 * 10-13; 2000 * 104

ANGKA SIGNIFIKAN
Semua digit yang digunakan kecuali angka nol
sebelah kiri angka bukan nol pertama yang
menyatakan decimal
Contoh:
4 digit angka signifikan
1,360 ; 1360 ; 0,001360
S0262 Analisis numerik

Kaidah Pembulatan
1.
2.
3.
Pada pembulatan, digit yang tidak termasuk
dalam angka sinifikan dibuang. Digit terakhir
yang disimpan dinaikkan ke atas jika digit
pertama yang dibuang≥5. Bila digit pertama
yang dibuang=5 dan digit terakhir yang
disimpan adalah ganjil maka digit terahir yang
disimpan dinaikkan ke atas.
Pembulatan hasil akhir dari penjumlahan dan
pengurangan harus sesuai dengan angka yang
paling sihnifikan dari bilangan yang sedang
dioperasikan.
Pembulatan hasil akhir perkalian atau
pembagian harus sedemikian sehingga jumlah
angka signifikan yang disimpan setara dengan
jumlah angka signifikan terkecil dari besaran
yang dioperasikan.
S0262 Analisis numerik

Kaidah Pembulatan

Contoh:


Pembulatan
5,6723  5,67 (3 angka signifikan)
10,406  10,41 (4 angka signifikan)
7,3500  7,4 (2 angka signifikan)
88,21650  88,216 (5 angka signifikan)
1,25001  1,2 (2 angka signifikan)
Penambahan/Pengurangan
Evaluasikan: 2,2 – 1,768
 2,2-1,768= 0,432  0,4
4,68 x 10-7+8,3x10-4-228x10-6= ….? …….

Perkalian/Pembagian
0,0642x 4,8= 0,30816 31
945/0,3185= 2967,0329672970
(6,0x10-4)