skema numerik orde empat untuk menyelesaikan persamaan

SKEMA NUMERIK ORDE EMPAT UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN BURGERS YANG DIMODIFIKASI
Yosi Oktaviani
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Pada artikel ini dikonstruksi skema numerik orde empat untuk persamaan Burgers yang dimodifikasi.
Skema numerik dikonstruksi dengan menerapkan pendekatan beda hingga untuk dimensi ruang dan pendekatan
Padé orde empat untuk dimensi waktu. Pendekatan ini menghasilkan si stem nonlinear, sehingga untuk
mempermudah penyelesaian digunakan skema prediktor-korektor yang dimodifikasi. Analisis kestabilan dengan
von Neumann memperoleh skema yang stabil dengan syarat tertentu. Akurasi skema numerik akan diamati untuk
setiap viskositas yang diuji. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa akurasi skema bergantung pada
viskositas. Jika viskositas semakin kecil, maka akurasi skema meningkat. Akurasi skema numerik yang diperoleh
akan dibandingkan dengan skema-skema numerik yang telah diteliti sebelumnya.
Kata Kunci: Persamaan Burgers yang dimodifikasi, pendekatan Padé.
1. PENDAHULUAN
Persamaan Burgers pertama kali dijelaskan secara terperinci oleh J. M Burgers pada tahun 1948
sebagai model turbulensi. Seiring berkembangnya waktu dikenal pula persamaan Burgers yang
dimodifikasi (Modified Burgers Equation disingkat MBE) yang memiliki bentuk umum, yaitu
(1)
dengan bilangan bulat positif,
adalah fungsi yang bergantung pada variabel
ruang dan waktu dan adalah koefisien viskositas.
Penyelesaian persamaan Burgers secara numerik sering dilakukan menggunakan splines.
Misalnya, Ramadan dan El-Danaf (2005) menggunakan metode collocation pada quintic spline,
Saka dan Dag (2008) menggunakan metode collocation pada quintic B- splines, Irk (2009)
menggunakan metode collocation pada sextic B- splines, dan lain-lain. Artikel ini mengkaji ulang
skema numerik orde empat untuk persamaan Burgers dimodifikasi menggunakan pendekatan beda
hingga untuk dimensi ruang dan pendekatan Padé untuk dimensi waktu sebagaimana dibahas oleh
Bratsos (2010). Skema prediktor-korektor dimodifikasi (MPC) digunakan untuk mempermudah
penyelesaian sistem nonlinear. Kemudian, ditentukan kestabilan skema numerik. Pada bagian akhir,
disimulasikan skema numerik yang telah diperoleh.
2. SKEMA NUMERIK
Diketahui persamaan (1) memiliki kondisi awal
dan kondisi
batas
(2)
{
[
] [
]} Domain komputasi didiskretisasi
Misal domain komputasi
dengan panjang selang sumbu adalah dan pada sumbu adalah . Misal
untuk
,
untuk
dan
pendekatan solusi numerik pada titik
. Pendekatan turunan pertama menggunakan beda hingga untuk mendekati persamaan (2)
sehingga diperoleh
dan
. Persamaan (1) didekati menggunakan beda pusat untuk
dimensi ruang, sehingga diperoleh
(3)
dengan
(
)
(
)
69
[
]
{
dan
}
. Berdasarkan deret Taylor
diperoleh matriks eksponensial sebagai berikut
(4)
Pendekatan Padé orde
terhadap
akan disubstitusikan pada persamaan (4). Pada
artikel ini digunakan dua metode yaitu pendekatan Padé orde
dan pendekatan Padé orde
.
Pendekatan Padé orde
terhadap
diperoleh
(
)
dan pendekatan Padé orde
(
terhadap
)
(5)
diperoleh
(
)
(6)
2.1 Skema Numerik Orde Empat
Skema numerik orde empat diperoleh dari pendekatan Padé orde
terhadap
Substitusikan persamaan (3) pada persamaan (5) sehingga diperoleh skema sebagai berikut
[
]
]
[[
]
[
[
]
[
[
]
[
]
]]
[
[
]
[
]
]
[
]
]
]
[[
[
[
]
[
[
]]
]
dengan
]
(7)
dan
Analisis kestabilan skema menggunakan analisis kestabilan von Neumann. Berdasarkan
persamaan (7) diperoleh
{
[
]}
[
{
]}
(8)
dengan
bernilai konstan yang digunakan untuk linearisasi bagian nonlinear persamaan (7) dan
̌ . Skema dikatakan stabil apabila
. Persamaan (8) diubah ke dalam bentuk ̌
,
sehingga | ̌ |⁄| ̌ |
maka skema selalu stabil jika | ̌ | | ̌ |. Setelah dilakukan manipulasi diperoleh
√
(9)
2.2 Skema Prediktor-Korektor
Untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan nonlinear pada persamaan (7) digunakan
skema prediktor-korektor. Skema prediktor menggunakan pendekatan Padé orde
. Substitusikan
persamaan (3) pada persamaan (6) sehingga diperoleh skema sebagai berikut
70
̌
{
[
]
{
[
[
]
}
]
[
]}
[
]
(10)
dengan
dan
.
Analisis kestabilan menggunakan von Neumann. Berdasarkan persamaan (10) diperoleh
[
]
dengan
(11)
bernilai konstan yang digunakan untuk linearisasi bagian nonlinear persamaan (9) dan
. Skema stabil apabila
setelah dilakukan manipulasi diperoleh
(12)
Skema korektor menggunakan pendekatan Padé orde
)̌
(
, yaitu
(
)
(13)
Substitusikan persamaan (10) pada persamaan (13). Analisis kestabilan skema korektor sama halnya
dengan pertidaksamaan (9). Untuk syarat kestabilan simulasi skema numerik digunakan
pertidaksamaan (12).
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan (1) dengan
, syarat awal
[
( )]
dan kondisi batas
mempunyai solusi eksak sebagai berikut,
[
(
)]
dengan
(Bratsos, 2010). Pada simulasi numerik digunakan
. Nilai viiskositas
yang diamati adalah
dan
dengan
dan
untuk setiap nilai .
Akurasi skema numerik yaitu
dihitung menggunakan
{ }
dan
√ ∑
solusi numerik. Kecepatan konvergensi pada saat
. Jika
dengan
sampai
adalah solusi analitik dan
, yaitu
dengan
, maka konvergensi akan berjalan semakin cepat.
(a)
(b)
Gambar 1. Solusi numerik dan solusi eksak untuk (a) 𝑣
dan (b) 𝑣
tertinggi saat 𝑡
, berturut-turut 𝑡
dan
(grafik terendah)
. Grafik
Pada Gambar 1 terlihat bahwa semakin bertambahnya waktu, semakin tidak terlihat perbedaan antara
grafik solusi numerik dan eksak. Artinya, akurasi skema numerik semakin akurat saat mendekati
solusi eksak. Pada Tabel 1 dapat dilihat bahwa viskositas berpengaruh pada akurasi skema. Jika nilai
viskositas semakin kecil, maka akurasi skema semakin akurat. Selain itu, Tabel 1 juga menunjukkan
Metode Prediktor-Korektor dimodifikasi (MPC) lebih akurat daripada Quintic Splines dan Septic B71
Splines serta memiliki akurasi yang hampir sama dengan Quintic B-Splines dan Sextic B-Splines. Pada
Tabel 2 menunjukkan bahwa untuk setiap nilai ,
artinya skema tersebut konvergen dan saat
nilai semakin kecil sehingga konvergensi semakin cepat.
Tabel 1. Perbandingan akurasi skema numerik
MPC
Qunitic Splines*
Septic B- Splines**
Quintic B- Splins***
Sextic B-Splines****
0.81405
1.21698
1.70309
0.81680
0.81502
0.36875
0.52308
0.79043
0.37932
0.41321
0.59737
0.93136
0.99645
0.60537
0.31019
0.51625
0.55767
0.31724
0.45840
0.72249
0.76105
0.52579
0.27202
0.49203
0.51672
0.32602
0.29910
1.28124
1.80329
1.28125
1.28127
0.19627
0.64007
0.80026
0.54701
0.55095
MPC
Qunitic Splines*
Quintic B- Splins***
Sextic B-Splines****
0.58002
0.72264
0.57998
0.58424
0.22392
0.25786
0.22651
0.23397
0.42618
0.55445
0.42940
0.18627
0.25277
0.18816
0.32717
0.43082
0.32897
0.16403
0.22569
0.16460
0.22713
0.30006
0.22885
0.22620
0.13571
0.18735
0.13959
0.13871
MPC
Qunitic Splines*
Septic B- Splines**
Quintic B- Splins***
Sextic B-Splines****
0.26592
0.27967
0.81852
0.26094
0.25975
0.71528
0.06703
0.18355
0.06811
0.07220
0.19511
0.21856
0.35635
0.19288
0.05704
0.06770
0.11441
0.5652
0.14853
0.17176
0.21348
0.14810
0.04943
0.06046
0.12129
0.05010
0.10253
0.12129
0.13943
0.10264
0.09872
0.04062
0.05010
0.05512
0.04067
0.03871
Keterangan: *
**
***
****
Ramadan, M. A., El-Danaf, T. S. (2005).
Ramadan, M. A., dkk (2005).
Saka, B., Dag, I. (2008).
Irk, D. (2009).
Tabel 2. Perbandingan konvergensi skema numerik berdasarkan nilai viskositas
0.005
0.001
0.005
0.02
0.04
0.19222
0.26593
0.58002
1.10000
2.6000
0.07269
0.10253
0.22713
0.17169
0.28969
0.37819
0.38555
0.39158
0.15608
0.11141
4. KESIMPULAN
Skema numerik orde empat untuk persamaan Burgers dimodifikasi dengan metode beda hingga
untuk dimensi ruang dan Pendekatan Padé orde
untuk dimensi waktu stabil dengan syarat
tertentu . Skema menghasilkan akurasi yang lebih akurat dibanding Quintic Splines dan Septic BSplines serta memiliki akurasi yang hampir sama dengan Quintic B-Splines dan Sextic B-Splines.
Akurasi skema numerik bergantung pada besar nilai viskositas. Apabila viskositas semakin kecil,
maka akurasi skema semakin akurat.
5. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterimakasih kepada A. Suryanto, I. Darti, dan N. Hidayat, atas segala bimbingan dan
saran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Bratsos, A.G., (2010), A Fourth-order Numerical Scheme for Solving Modified Burgers Equation,
Journal of Computer and Mathematics with Applications, 60, hal. 1393-1400.
Irk, D., (2009), Sextic B-Spline Collocation Method for the Modified Burgers’ Equation, Journal of
Sextic B-Spline Collocation Method, 38, hal. 1599-1620.
Ramadan, M. A., El-Danaf, T. S., (2005), Numerical Treatment for The Modified Burgers Equation,
Journal of Mathematics and Computers in Simulation, 70, hal. 90-98.
Ramadan, M. A., El-Danaf, T. S, Alaal, F.E.I.A., (2005), A Numerical Solution of The Burgers’
Equation Using Septic B-Splines, Journal of Chaos Solitons and Fractals, 26, hal. 795-804.
Saka, B., Dag, I., (2008), A Numerical Study of the Burgers’ Equation, Journal of The Franklin
Institute, 345, hal. 328-348.
72