aproksimasi padé dan penerapannya pada analisis

91
APROKSIMASI PADÉ DAN PENERAPANNYA
PADA ANALISIS PERFORMANSI DETEKSI RADAR
Deni Saepudin1, Kuntjoro Adji Sidarto 2
1
PPDU Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Departemen Matematika, Institut Teknologi Bandung
1
[email protected], [email protected]
2
Abstrak
Aproksimasi Padé adalah suatu teknik aproksimasi dengan menggunakan fungsi rasional. Dalam
beberapa hal, teknik ini memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan teknik aproksimasi
dengan menggunakan polinom Taylor yang biasanya lebih dikenal. Dalam paper ini, aproksimasi Padé
digunakan untuk mengaproksimasi fungsi pembangkit momen dari suatu fungsi densitas di sekitar titik
asal. Dengan menggunakan invers transformasi Laplace, aproksimasi fungsi densitas dapat diperoleh dan
biasanya cukup baik untuk x yang cukup besar. Teknik aproksimasi ini diterapkan untuk menghitung
threshold dan peluang deteksi pada deteksi radar bila nilai peluang false alarm diberikan.
Kata kunci: aproksimasi Padé, fungsi pembangkit momen, peluang false alarm, peluang deteksi
Abstract
Padé approximation is an approximation technique using rational functions. In some aspects, this
technique gives better results than Taylor polynomial approximation which is more familiar. In this
paper, Padé approximation is being used to approximate moment generating function of a probability
density function near the origin. Using invers of Laplace transform, the approximate density function can
be obtained and usually good enough for large x. This approximation technique is applied to compute
threshold and detection probability in radar detection performance analysis if the false alarm probability
is given.
Keywords: Padé approximation, moment generating function, false alarm probability, detection
probability
1. Pendahuluan
Sedikitnya ada dua masalah yang memotivasi
pembahasan teknik aproksimasi Padé pada tulisan
ini. Pertama, hasil aproksimasi Padé yang cukup
baik dan bentuknya cukup mudah dalam komputasi.
Kedua, untuk memperoleh cara penghitungan
threshold dan peluang deteksi yang lebih mudah
dalam analisis performansi deteksi radar.
Dalam analisis deteksi radar, salah satu
masalah utama yang harus dipecahkan adalah
memutuskan apakah sinyal yang diterima oleh
receiver merupakan sinyal yang dipantulkan dari
target ataukah sinyal yang hanya memuat noise dan
clutter. Biasanya, sinyal-sinyal yang diterima
receiver dibandingkan dengan threshold. Jika kuat
sinyal melebihi threshold, maka proses deteksi
menyatakan bahwa sinyal memuat sinyal target. Jika
sebaliknya, maka proses deteksi menyatakan bahwa
sinyal yang sampai ke receiver hanya merupakan
noise atau clutter. Dengan prinsip deteksi seperti
ini, maka ada empat kemungkinan hasil deteksi,
sebagaimana dirangkum pada Tabel 1: i) target
memang ada dan proses deteksi menyatakan ada,
maka hasil deteksi adalah benar, ii) target tidak ada
dan proses deteksi menyatakan tidak ada, maka hasil
deteksi adalah benar, iii) target ada tetapi proses
deteksi menyatakan tidak ada, maka hasil deteksi
adalah salah, iv) target tidak ada tetapi proses
deteksi menyatakan ada, maka hasil ini adalah salah.
Kasus (iv) biasanya diistilahkan sebagai false alarm.
Tabel 1. Kemungkinan Hasil Deteksi
Target
Tidak ada
Ada
Ada
Tidak ada
Deteksi
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Hasil
Benar
Benar
Salah
Salah (false alarm)
Threshold dan peluang deteksi muncul dalam
bentuk yang cukup sulit dihitung, karena biasanya
dinyatakan dalam bentuk integral lipat dua atau tiga
dari fungsi-fungsi Bessel dengan batas-batas tak
hingga. Ovarlez dan Immanuelle, telah merumuskan
masalah ini secara sistematis[7] dan sebagian di
antaranya akan dituliskan kembali pada bagian dua
dalam paper ini. Di sini akan dapat dilihat peranan
teknik aproksimasi Padé yang memberikan alternatif
cara penghitungan thereshold dan peluang deteksi
yang lebih mudah namun tetap akurat.
2. Beberapa Relasi pada Deteksi Radar
Misalkan s adalah sinyal target, n thermal
noise dan c clutter, semuanya dinyatakan dalam
bilangan kompleks. Proses deteksi dapat dipandang
sebagai pengujian hipotesis statistik:
Aproksimasi Padé dan Penerapannya pada Analisis Performansi Deteksi Radar (Deni Saepudin)
92
H0 : y = c + n
H1 : y = s + c + n.
Misalkan fH0(r) menyatakan fungsi densitas
dari |c + n|, fH1(r) menyatakan fungsi densitas dari
|s + c + n|, dan  menyatakan threshold. Maka
peluang terjadinya false alarm Pfa dinyatakan oleh:

Pfa 
f
(1)
H 0 ( r ) dr

f

(2)
H 1 ( r ) dr
u  iv  rei
dengan r adalah selubung sinyal dan  adalah fasa.
Nilai-nilai r dan  saling bebas dan  diasumsikan
berdistribusi seragam [0, 2]. Karena itu, fungsi
densitas bivariatnya:
f r , (r ,  )
f (r )
fu,v(u,v) = fu,v(r cos , r sin ) 
 r
2r
r
Fungsi karakteristik dari fungsi densitas bivariat di
atas adalah:

e
i ( t1u  t 2 v )
f u ,v (u , v)dudv
(3)
  
Jika ditranformasi ke koordinat polar, dengan:
t1 =  cos 
t2 =  sin 
u = r cos 
v = r sin 
maka:
 2
C (  , )    e
ir cos(  )
fr (r )
rddr
2r
(10)

0
dengan J0() menyatakan fungsi Bessel orde nol.
Karena fungsi karakteristik di atas tidak bergantung
pada , maka dapat dituliskan sebagai:

 f r (r ) J 0 ( r )dr
(5)
0
dan dikenal sebagai fungsi karakteristik radial. Lebih
jauh, bentuk (5) menyatakan transformasi Hankel
orde nol dari fungsi fr(r). Dengan menerapkan invers
transformasi Hankel dapat diperoleh:

 rC (  ) J 0 ( r )d
(6)
0
Untuk kasus sinyal target dengan selubung konstan,
misalnya A, fungsi densitasnya diberikan oleh:
f r (r )   (r  A)
(7)
Dengan menggunakan sifat fungsi delta Dirac, maka
fungsi karakteristik radialnya diperoleh yaitu
(8)
Cs (  )  J 0 ( A)
Karena fungsi karakteristik radial:
CH1() = CH0()Cs(),
maka:
Peluang deteksi, baik untuk (9) maupun (10),
secara umum sulit dihitung. Karena itu, peluang
deteksi akan dihitung dengan menerapkan teknik
aproksimasi. Teknik aproksimasi yang akan
digunakan di sini adalah teknik aproksimasi Padé.
3. Aproksimasi Padé
Misalkan h(u) adalah fungsi dengan deret
pangkat di sekitar u = 0, dapat dituliskan sebagai:

h(u )   cnu n
(11)
n0
Aproksimasi Padé dari fungsi h(u) dengan orde
[L/M] adalah suatu fungsi rasional:
L
P[ L / M ] (u ) 
a u
n
n

n 0
M
b u
L M
c u
n
n

 o u L M 1

(12)
n 0
n
n
(4)
f r (r ) 
0
Untuk kasus envelope sinyal target berfluktuasi
dengan fungsi densitas f(A|A0), di mana A0 adalah
mean dari selubung A, maka
n 0
  f r ( r ) J 0 ( r )dr
0 0
C( ) 
(9)
0
Dalam koordinat polar, kita dapat menuliskan sinyal
kompleks:
C (t1 , t 2 ) 
  rJ 0 ( A)CH 0 (  ) J 0 ( r )d
f H 1 (r | A0 )   f H 1 (r | A) f ( A | A0 )dA
dan peluang deteksinya adalah:
 
0



Pd 

f H 1 ( r | A)   rCs (  )C H 0 (  ) J 0 ( r ) d
untuk u di sekitar 0. Tanpa mengurangi keumuman,
biasanya dipilih b0 = 1. Nilai-nilai a0, a1, . . ., aL dan
b1, b2, . . ., bM dapat diperoleh dari persamaan (12)
dengan cara menyamakan koefisien dari pangkat u
yang sama:
L
M

L  M
anu n  1   bnu n   cnu n

n 0
n 1

 n 0
Dengan cara ini diperoleh:
M
b c
n 0
n Ln j
  cL  j , 1  j  M
(13)
Persamaan-persamaan pada (13) membentuk M
persamaan linear dengan M variabel yang tak
diketahui. Sistem persamaan linear tersebut dapat
dituliskan dalam bentuk perkalian matriks
c L  bM 
 c L  M 1 c L  M  2 
 c L 1 
 
  
  




 


c L  M  k c L  M  k 1  c L  k 1   bk     c L  k 

 




   
 
  
 c L
c L  M 
c L 1
 c L  M 1   b1 
(14)
Matriks yang berada di kiri dikenal sebagai matriks
Hankel. Jika matriks Hankelnya mempunyai rank
penuh, maka nilai-nilai b1, b2, ...,bM dapat ditentukan
secara tunggal. Selanjutnya nilai-nilai a1, a2, ..., aL
dapat diperoleh dari:
aj  cj 
min( M , j )
b c
i
i 1
Jurnal Penelitian dan Pengembangan TELEKOMUNIKASI, Desember 2003, Vol. 8 No. 2
j i
,0 jL
(15)
93
Khusus untuk fungsi-fungsi Stieltjes, yaitu
fungsi-fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk

d ( z )
S (u )  
0
1  zu
dengan (z) adalah fungsi yang terbatas dan tak
turun, aproksimasi Padé diagonal P[M/M](u) dan
subdiagonal P[M1/M](u) akan konvergen untuk
M   [1]. Walaupun hasil ini tidak dijamin
berlaku untuk sembarang fungsi, namun hasil ini
memotivasi penggunaan aproksimasi subdiagonal
P[M1/M](u) dalam tulisan ini. Selain itu, bentuk
subdiagonal P[M1/M](u) akan memudahkan ketika
bekerja dengan invers transformasi Laplace dalam
melakukan aproksimasi fungsi densitas.
Dari ekspansi Taylor di sekitar u = 0 diperoleh:
h(u )  1  3u  13
u2 
2

37633
720
u6 
73
6
43817
560
u 3  167
u4 
8
u7 
4051
120
u5
u  o(u 9 )
4596553 8
40320
sehingga polinom Taylor orde 8 untuk fungsi h(u)
adalah:
P8 (u )  1  3u  13
u 2  73
u 3  167
u 4  4051
u5
2
6
8
120
 37633
u 6  43817
u 7  4596553
u8
720
560
40320
Untuk M = 2, 3 dan 4, aproksimasi Padé subdiagonalnya adalah:
P[1 / 2] (u ) 
P[ 2 / 3] (u ) 
P[3 / 4] (u ) 
1 u
1  15
44 u  23 u 2
1  15
10
1 u2
1  36
u  980
49
1  183
u  4611
u 2  5899
u3
49
980
2940
1333 u 2 
1
1  1137
u  1918
685
143850
362331 u 4
1  3192
u  39197
u 2  460412
u 3  191800
685
4795
71925
4. Aproksimasi Padé untuk Fungsi Densitas
Gambar 1. Grafik h(u), P8(u) dan P[1/2](u)
Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana
teknik aproksimasi Padé dapat digunakan untuk
mengaproksimasi fungsi densitas dari suatu variable
random non-negatif X, bila momen-momennya
diketahui. Teknik ini pertama kali diperkenalkan
oleh Amindavar pada tahun 1994 [1].
Misalkan m(u) adalah fungsi pembangkit
momen dari suatu variabel random non negatif X
dan f(x) adalah fungsi densitas dari X. Maka m(u)
didefinisikan sebagai:

m(u )   e ux f ( x) dx
0
Gambar 2. Grafik h(u), P[2/3](u) dan P[3/4](u)
Dari Gambar 1 terlihat bahwa untuk |u| yang
besar, aproksimasi Padé memberikan hasil yang
cukup baik. Ini berbeda dengan aproksimasi polinom
Taylor yang justru divergen di sana. Sementara itu,
juga dapat dilihat bahwa h(u) memiliki singularitas
di u = 1. Dengan bertambahnya M, aproksimasi
Padé akan memberikan hasil yang lebih baik di
sekitar u = 1 (lihat Gambar 2). Sementara itu,
polinom Taylor tidak dapat diandalkan di sekitar
singularitas, karena polinom tidak mempunyai
singularitas.
Contoh 1.
Misalkan ingin diaproksimasikan fungsi:
h(u ) 
e ( u / 1 u )
(1  u ) 2
yang merupakan transformasi Laplace dari f(x).
Misalkan momen-momen E[X], E[X2], ...,
N
E[X ] diketahui (nilai-nilainya dapat ditaksir cukup
akurat), maka m(u) dapat dituliskan sebagai deret
pangkat dari momen-momennya:

( u ) n
m(u )   E[ X n ]
n!
n 0
Oleh karena itu, m(u) dapat diaproksimasi dengan
deret pangkat:
N
m(u )   E[ X n ]
n0
( u ) n
n!
(15)
Berdasarkan (15), aproksimasi Padé subdiagonal dapat dikonstruksikan:
M 1
P
[ M 1 / M ]
(u ) 
a u
n
n
n0
M
1   bnu n
n 1
Bila diterapkan invers transformasi Laplace, maka
diperoleh aproksimasi Padé untuk fungsi densitas:
f ( x)  L1P[ M 1 / M ] (u)  f [ M 1 / M ] ( x)
Misalkan:
M
k
P[ M 1 / M ] (u )  
k 1 u   k
maka secara eksplisit dapat dituliskan:
Aproksimasi Padé dan Penerapannya pada Analisis Performansi Deteksi Radar (Deni Saepudin)
94
cukup akurat. Misalkan dengan menggunakan
aproksimasi Padé, fH0(r) dapat diaproksimasikan:
M
f [ M 1 / M ] ( x)   k e k x
k 1
M
Jika m(u) dapat diaproksimasikan cukup baik
untuk u  0, maka hasil aproksimasi untuk f(x)
yang diperoleh akan cukup baik untuk x  . Dan
sebaliknya, jika m(u) dapat diaproksimasikan cukup
baik untuk u   , maka hasil aproksimasi untuk
f(x) yang diperoleh akan cukup baik untuk x  0.
Hal ini dapat didasarkan pada teorema nilai awal dan
nilai akhir transformasi Laplace [5].
Contoh 2.
Pada Contoh 1, dilakukan aproksimasi Padé
terhadap fungsi
e (  u / 1 u )
h(u ) 
(1  u ) 2
dan aproksimasi Padé orde [1/2] untuk h(u) adalah
2
k
h(u )  
k 1 u   k
dengan
1 = 0.01449275362 + i 1.350889900
2 = 0.01449275362  i 1.350889900
1 = 0.6376811594  i 0.167765722
2 = 0.6376811594 + i 0.167765722
Fungsi h(u) di atas merupakan fungsi
pembangkit momen dari fungsi densitas f(x), yaitu:
f ( x) 
k 1
maka:
 M
44
 69
x
cos

134
69

x  1079
4623 134 e
k  
e

k 1 k
M
Pfa    k e k r dr  
 k 1
(16)
k
dan:

 M
0
0 k 1

M
k
k 1
 
f H1 ( r | A)   rJ 0 ( A)   k e k r ' J 0 ( r ' )dr ' J 0 ( r )d
  rJ 0 ( A)
0
2
2
k
(17)
J 0 ( r )d
Karena:

 rJ
0

J1 (  )

( r )dr 
0
(18)
maka:

Pd  1 

rJ 0 ( A)

k

   k2
2
k 1
00
 M
J 0 ( A) J 1 (  )
 1    k
J 0 ( r )ddr
(19)
d
 
Sekarang dilihat untuk kasus dengan selubung
sinyal target berfluktuasi. Misalkan dengan
aproksimasi Padé:
2
0 k 1
2
k
N
xe  (1 x ) I1 (2 x )
f ( A | A0 )    i e  i A
dengan I1(x) adalah fungsi Bessel termodifikasi
orde-1. Bila dilakukan invers transformasi Laplace
terhadap P[1/2](u), maka diperoleh aproksimasi Padé
untuk f(x):
f [1/ 2] ( x)   692 e
f H 0 (r )   k e k r
44
 69
x
sin

134
69
x
i 1
Maka persamaan (10) menjadi:

i 1
0

Bila diplot, diperoleh grafiknya pada Gambar 3.
N
f H1 (r | A0 )   f H1 (r | A)  i e  i A dA
 M
rJ 0 ( r )
N
   k  i
(  2   k2 )(  2   i2 )
0 k 1 i 1
d
Sehingga peluang deteksinya dapat dihitung sebagai:
 M
N
k  iJ1 (  )
Pd  1   
d
2
k

1
i

1
(

  k2 )(  2   i2 )
0
Contoh 3.
Misalkan c = 0, n = x + i y derau Gaussian kompleks
dengan variansi 2 dan s sinyal target dengan
selubung konstan sebesar A, maka:
f x , y ( x, y ) 

1
2
2
e
x2  y2
2 2
atau
Gambar 3. Grafik f(x) dan f[1/2](x)
Terlihat bahwa f[1/2](x) mengaproksimasi f(x) cukup
baik untuk x yang besar.
5. Penerapan
Sekarang, kita dilihat bagaimana teknik
aproksimasi Padé dapat diterapkan untuk
menghitung (9) dan (10) secara lebih mudah tetapi
f H 0 (r0 ) 

r0
e
2
r02
2 2

Fungsi karakteristik radialnya dapat diperoleh, yaitu:
2 2
CH 0 (  )  e1 / 2  
Sehingga

f H1 (r | A) 
 rJ
0
( A)C H 0 (  ) J 0 ( r )d
0

 A2  r 2
 
exp
2
2 2

Jurnal Penelitian dan Pengembangan TELEKOMUNIKASI, Desember 2003, Vol. 8 No. 2
r
  rA 
 I 0  2 
  
95
yang dikenal sebagai fungsi densitas dari distribusi
Rice Nakagami (Rician). Untuk  = 1 dan Pfa = 106
diperoleh nilai threshold sebesar  = 5.256521769.
Sekarang akan dibandingkan hasil tersebut dengan
hasil aproksimasi Padé. Aproksimasi Padé
subdiagonal untuk fH0(r) dengan M = 6 adalah:
6
f H[ 50/ 6 ] (r )   k e k r
k 1
dengan:
1 = 4.860733459 + i 86.71745609
2 = 4.860733459  i 86.71745609
3 = 5.732893022  i 33.91473496
4 = 5.732893022 + i 33.91473496
5 = 0.8690466039 + i 3.621773010
6 = 0.8690466039  i 3.621773010
1 = 2.996491792  i 0.4409598137
2 = 2.996491792 + i 0.4409598137
3 = 2.910045029  i 1.364542841
4 = 2.910045029 + i 1.364542841
5 = 2.718943745  i 2.457150851
6 = 2.718943745 + i 2.457150851
memberikan nilai threshold sebesar 5.288753651. Di
Tabel 2 dan Gambar 4 diperbandingkan peluang
deteksi hasil aproksimasi dan eksak untuk Pfa = 106.
C H 0 (  )  b 2  2 (  2   2 )  1
Untuk  = 0.5 dan b = 3, aproksimasi Padé [1/2]
untuk fH0(r) adalah:
2
f H[10/ 2 ] (r )   k e k r
k 1
dengan:
1 = 18140.80915
2 = 18140.80915
1 = 1.732133502
2 = 1.731968129
Untuk Pfa = 106, diperoleh secara numerik nilai
threshold ˆ = 9.635064233 dan hasil nilai eksaknya
 = 9.635064233, dengan peluang deteksi seperti
pada Tabel 3 dan Gambar 5.
Tabel 3. Perbandingan Pd Tanpa Derau
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Eksak
9.999999987  107
2.49066762  105
9.4806735  104
1.654477412  102
0.1256977006
0.4370806630
0.7975582408
0.9660759772
0.9976013596
0.9999320667
0.9999992510
Padé
7.4934  106
2.18032  105
8.473732  104
1.524392  102
0.1190988517
0.4242787759
0.7882775220
0.9635569735
0.9973460586
0.9999227583
0.9999991700
Tabel 2. Nilai Pd pada Derau Gaussian Kompleks
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Eksak
1.7693  106
1.8897  106
6.4558  106
2.79682  105
1.264633  104
5.861756  104
2.7353766  103
1.26416323  102
5.67050829  102
0.2357504183
0.6984959301
0.9317231882
0.9861295043
0.9973082999
0.9994904713
Padé
2.599  107
1.6743  106
6.2417  106
2.77538  105
1.262495  104
5.859642  104
2.7351757  103
1.26414789  102
5.67051325  102
0.2356365854
0.6984971118
0.9317228340
0.9861288196
0.9973076309
0.9994899077
Gambar 5. Grafik Pd terhadap A Tanpa Derau
(nilai eksak dan hasil aproksimasi Padé berhimpit)
Contoh 5.
Misalkan n derau Gaussian kompleks dengan
variansi 2 dan c clutter dengan selubung clutter
berdistribusi K seperti pada Contoh 4, maka:

Pfa   f H 0 (r )dr

Misalkan dengan menggunakan aproksimasi Padé:
N
f n (r )    j e
 j r
j 1
dan
M
f c ( r )   k e  k r
k 1
Gambar 4. Grafik Pd terhadap A
dengan Derau Gaussian Kompleks
(nilai eksak dan hasil aproksimasi Padé berhimpit)
maka:

f H 0 (r ) 
2b(br / 2) 1
K (br )
 (  1)
Khususnya untuk fungsi ini, fungsi karakteristik
radialnya adalah:
c
0

Contoh 4.
Misalkan n = 0 (tanpa derau), dan selubung clutter
berdistribusi K dengan fungsi densitas:
f H 0 (r ) 
 rC (  )C (  ) J

n
M
N
 r 
k 1 j 1
0
0 ( r ) d

k

2
  k2
j
   2j
2
J 0 ( r ) d 
sehingga:


M
N
Pfa   f H 0 (r )dr    

0
k 1 j 1
j
k
 
2
2
k
   2j
2
J1 (  )d
Aproksimasi Padé dan Penerapannya pada Analisis Performansi Deteksi Radar (Deni Saepudin)
96
Dengan memanfaatkan hasil pada Contoh 3 dan
Contoh 4, secara numerik dapat diperoleh nilai
threshold untuk Pfa = 106 sebesar ˆ = 10.485.
Dengan cara eksak, yakni dengan menyelesaikan
secara langsung persamaannya:


Pfa   f H 0 ( r ) dr  1   f H 0 ( r ) dr

0

 1    rCc (  )Cn (  ) J 0 ( r )ddr
00

 1   Cc (  )Cn (  ) J1 (  )d
0
diperoleh nilai threshold sebesar  = 10.4985.
Selanjutnya kita akan menghitung peluang deteksi:

M
0
k 1 j 1
j
k
N
f H1 ( r )   rJ 0 ( A)
 2   k2
 2   2j
J 0 ( r ) d
sehingga:
6. Kesimpulan
Dari uraian diatas, dapat dicatat beberapa
kesimpulan. Aproksimasi Padé merupakan alternatif
untuk memperoleh hasil perhitungan yang lebih baik
jika aproksimasi dengan polinom Taylor tidak
memuaskan. Aproksimasi Padé subdiagonal dapat
dimanfaatkan untuk mempermudah perhitungan
dalam mendapatkan invers transformasi Laplace dari
suatu fungsi, bila invers transformasi Laplace secara
langsung sulit diterapkan. Bila beberapa momen dari
suatu variable random X diketahui (dapat ditaksir
cukup akurat), maka fungsi densitasnya dapat
diaproksimasi dengan memanfaatkan aproksimasi
Padé subdiagonal dan menerapkan invers
transformasi Laplace. Hasil aproksimasi cukup baik
untuk nilai x yang cukup besar. Aproksimasi Padé
memberikan alternatif perhitungan yang lebih
mudah dalam menghitung threshold dan peluang
deteksi pada analisis performansi deteksi radar.

Pd 
 fH

1


Daftar Pustaka:
(r )dr
M
N
  rJ 0 ( A)
k 1 j 1
 0


 1  J 0 ( A)
0
M
 2   k2
N

k 1 j 1

k
k

2
  k2
j
 2   2j

J 0 ( r ) d dr
j
   2j
2
J1 (  ) d
Hasil perhitungan peluang deteksi dengan derau dan
clutter diperlihatkan pada Tabel 4 dan Gambar 5.
Tabel 4. Nilai Pd dengan Derau dan Clutter
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Eksak
1.0004  106
1.8364  106
6.899  106
2.74338  105
1.228537  104
5.609354  104
2.5530512  103
1.12731293  102
4.57025648  102
0.1535193576
0.3813551616
0.6690410039
0.8769541551
0.9665751278
0.9925511631
0.9984913647
0.9997075288
0.9999446177
Padé
9.632  107
1.7326  106
6.2179  106
2.73021  105
1.246297  104
5.720422  104
2.6058410  103
1.14999611  102
4.65379110  102
0.1557861598
0.3851793916
0.6726683279
0.8788884142
0.9672165426
0.9927074861
0.9985238205
0.9997134737
0.9999453709
[1] Amindavar, H., and Ritcey, J. A. Padé
Approximations
of
Probability Density
Function, IEEE Trans, on Aerospace and
Electronic System, Vol. 30 No. 2 April 1994
pp. 416-424.
[2] Amindavar, H., and Ritcey, J. A. Padé
Approximations for Detectibility in K-clutter
and Noise, IEEE Trans, on Aerospace and
Electronic System. Vol. 30 No. 2 April 1994,
pp. 425-434.
[3] Bateman, H., 1954, Tables of Integral
Transforms, Vol 1. NewYork, McGraw-Hill
Book Company, Inc.
[4] Cheney, E.W., 1966, Introduction to Approximation Theory. New York, McGraw-Hill
Book Company, Inc.
[5] Dyke, P.P.G., 2000, An Introduction to
Laplace Transform and Fourier Series,
London. Springer Verlag.
[6] Edde, B., 1993, RADAR: Principles, Technology, Applications, New Jersey, Prentice-Hall
International, Inc.
[7] Ovarlez, J.P and Immanuelle, J. New Methods
of Radar Detection Performances Analysis.
www.telecom.tuc.gr /paperdb /icassp99 /PDF/
SCAN /IC991929.PDF .
[8] Sneddon, I., 1951, Fourier Transforms, New
York, McGraw-Hill, Inc.
[9] Sullivan, J., Padé Approximation via The
Continued Fraction
Approach, American
Journal of Physics. Vol. 46 No.5 May 1978 pp.
489-494.
Gambar 5. Grafik Pd terhadap A
dengan Derau dan Clutter
(nilai eksak dan hasil aproksimasi Padé berhimpit)
[10] Watson, G.N., 1966, Theory of Bessel
Functions, London, Cambridge University
Press.
Jurnal Penelitian dan Pengembangan TELEKOMUNIKASI, Desember 2003, Vol. 8 No. 2