Metode Numerik - WordPress.com

Metode Numerik
Analisa Galat & Deret Taylor
Teknik Informatika-Unitomo
Anik Vega Vitianingsih
TEORI KESALAHAN (GALAT)
-Penyelesaian numerik dari suatu persamaan
matematik hanya memberikan nilai perkiraan
yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari
penyelesaian analitis
-Penyelesaian numerik tersebut terdapat
kesalahan (galat) terhadap nilai eksak
-Keandalan suatu nilai numerik dapat ditandai
memakai konsep Angka Bena yaitu angka yang
dapat dipergunakan dengan pasti.
Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu
ditambah dengan satu taksiran.
Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu :
1. Kriteria untuk memerinci seberapa jauh hampiran
(aproksimasi) tersebut dapat dipercaya.
2. Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e,
atau 7 secara eksak memakai sejumlah
berhingga bilangan.
Contoh : 7 = 2,645751311…..
Macam – macam kesalahan

Kesalahan Bawaan
◦
◦
◦
◦

Merupakan kesalahan dari nilai data
Kesalahan terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data
Kesalahan dalam membaca skala
kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai
hukum - hukum fisik dari data yang diukur
Kesalahan Pemotongan
◦ Kesalahan terjadi karena tidak dilakukannya perhitungan
sesuai dengan prosedur matematik yang benar
 Kesalahan
Pembulatan
◦ kesalahan terjadi karena tidak
diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari
suatu bilangan
 Bilangan perkiraan digunakan sebagai pengganti
bilangan eksak
 Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan
membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi
tersebut nol, sedang angka pada posisi ke n tersebut
tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang
tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih
besar dari setengah dari angka posisi ke n
Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena
kesalahan – kesalahan tersebut dikenal dengan
galat.
Galat terbagi menjadi :
1. Galat pembulatan (untuk menyatakan
bilangan eksak)
2. Galat pemotongan (untuk menyatakan
prosedure matematis).
Galat yang berhubungan dengan perhitungan /
pengukuran dicirikan:
- ketelitian (merupakan nilai sejati yang dihitung)
- ketepatan (merupakan banyaknya angka bena
yang menyatakan suatu nilai atau sebaran dalam
perhitungan berulang atau pengukuran nilai yang
teliti)
sehingga :
Nilai sejati = aproksimasi + galat (Et)
Dimana :
Et = galat sejati = Nilai sejati – aproksimasi
galat
% Galat relat if (e ) =
x 100 %
nilai
Dimana:
-t : nilai sejati
-a : aproksimasi
- Ea : galat aproksimasi 
aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya
Deret Taylor
•
Mrk penyelesaian persamaan Diferensial
Jika suatu fungsi ƒ(X) diketahui dititik Xi dan
semua turunan dari ƒ terhadap X diketahui pada
titik tersebut  deret Taylor dinyatakan nilai ƒ
pada titik Xi+1 yang terletak pada jarak ∆X dari
titik Xi .
•
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order 0)
f ( xi 1 ) = f ( xi )
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)
x
f ( xi 1 ) = f ( xi )  f ' ( xi )
1!
3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2)
x
x 2
f ( xi 1 ) = f ( xi )  f ' ( xi )
 f ' ' ( xi )
1!
2!
4. Iterasi akan berhenti jika Rn = 0
y
f (x)
order 2
order 1
order 0
i
i+1
x
Persamaan deret Taylor:
Rn =
Ket:
ƒ(Xi)
ƒ(Xi+1)
ƒ’, ƒ’’ … ƒn
∆X
Rn
!
f
( ).h ( n 1)
( n  1)!
( n 1)
: fungsi dititik 1
: fungsi dititik i+1
: turunan pertama, kedua,…,ke n
: jarak antara ƒ(Xi) dan ƒ(Xi+1)
: kesalahan pemotongan
: operator faktorial
c/:
Diketahui seuatu fungsi :
dengan menggunakan Deret Taylor pada order
berapa, hasil penyelesaian numerik sama
dengan penyelesaian eksak?
dimana order 0,1,2 dan 3 perkiraan fungsi
tersebut pada
titik xi+1 = 1 & titik xi+1 =1 berada pada
jarak=1 dari titik x = 0.
Jawab :
f(0) = 0.5
f(1) = 1.5
Untuk order 0 :
f(xi+1) = f(xi) f(0 +1) = f(0) f(1) = 0.5
Kesalahan pemotongan :
Rn = 1.5 – 0.5 = 1
Untuk order 1 :
f(xi+1)= f(xi) + f’(xi) ∆X
/1!
2
0.75 x  x  0.25
f(0+1) = 0.5 +(
)1
= 0.5 (0.75 (0) + 0 +0.25
= 0.75
Kesalahan pemotongan
Rn = 1.5 – 0.75 = 0.75
Untuk Order 2 :
f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2)
= 1.25
Kesalahan pemotongan:
Rn = 1.5 – 1.25 = 0.25
Untuk Order 3 :
f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25
= 1.5
Kesalahan pemotongan :
Rn = 1.5 – 1.5 = 0 (terbukti)
Algoritma:
1. Tentukan order dari deret Taylor
2. Masukkan nilai x0 kedalam rumus deret Taylor
3. Gabungkan semua perhitungan  deret Taylor
- looping sebanyak i=0; i= ƒ(Xi+1)
- if (i==0) Rn=ƒ(x)
else if ((i+1)%2==0) Rn=0
else if ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i