deret taylor dan analisis galat

OLEH
HARTATIK, S.Si., M.Si




Metode numerik merupakan alat bantu
pemecahan masalah matematika yang sangat
ampuh.
Penggunaan aplikasi numerik komersil akan
menjadi lebih berarti jika kita memahami
pengetahuan metode numerik.
Dapat membuat sendiri program komputer
tanpa harus membeli paket program.
Metode numerik menyediakan saranauntuk
memperkuat kembali pemahaman matematika
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Pemodelan
Penyederhanaan model
Formulasi numerik
Pemrograman
Operasional
evaluasi
3

Definisi :
Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,…
menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :
xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan
xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke
dalam deret Taylor :
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) m ( m )
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!

Jika (x-xo)=h, maka :
h '
h 2 ''
h m ( m)
f ( x)  f ( xo )  f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!

Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret
Taylor di sekitar xo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x)
f’’’(x) = - cos(x)
f’(x) = -cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f’’(x) = - sin(x)
dst.
maka :
h2
h3
h4
f ( x)  sin( x)  sin( 1)  h cos(1)  sin( 1)  cos(1)  sin( 1)  ...
2
6
24
f ( x)  0,8415  0,5403h  0,4208h 2  0,0901h3  0,0351h 4  ...

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di
sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.
Contoh-1 :
f(x)= sin(x) dimana xo = 0

Penyelesaian :
h2
h3
f ( x)  sin( x)  sin( 0)  h cos(0)  sin( 0)  cos(0)
2
6
x3 x5
f ( x)  sin( x)   x  
6 120

Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian :
( x  0) 0 ( x  0) 2 0 ( x  0)3 ( x  0) 4 0
f ( x)  e  e 
e 
e 

e  ...
1!
2!
3!
4!
x
0
x 2 0 x3 x 4
f ( x)  e  1  x  e    ...
2!
3! 4!
x

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga
banyaknya, maka untuk alasan praktis deret
Taylor dipotong sampai suku order tertentu.
Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n
dinamakan deret Taylor terpotong yg
dinyatakan:
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) n ( n )
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  Rn ( x)
1!
2!
n!
( x  xo ) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c); xo c x disebut galat / sisa (residu )
(n  1)!
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong
sampai suku order ke-n dapat ditulis :
f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x)
dimana :
( x  xo ) k k
Pn ( x)  
f ( xo )
k!
k 1
n
( x  xo )( n1) ( n1)
Rn ( x) 
f
(c).Rn : galat / error Deret
(n  1)!
Contoh :
f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-n
Penyelesaian :
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)3
( x  1) 4
P4 ( x)  sin( 1) 
cos(1) 
sin( 1) 
cos(1) 
sin( 1)
1!
2!
3!
4!
( x  1) ( 41) ( 41)
( x  1)5
Galat  R4 ( x) 
f
(c) 
cos(c)
(4  1)!
5!

Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi
hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin
kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg
didapatkan. Kita harus memahami dua hal,
yaitu :
a. Bagaimana menghitung galat
b. Bagaimana galat timbul
Misalkan :

^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka :
^
  a  a disebut galat
Contoh :

^
a  10,5; a  10,45
  10,45  10,5  0,05
^
Galat Mutlak    a  a
Galat relatif :  R 

a
x 100%
Galat relatif hampiran :  RA 

^
a
x 100%

Contoh :
Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian :
(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333
= 10.000/3000 – 9999/3000
= 1/3000 = 0,000333
(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333
(c).

0,000333
Galat relatif :  R 
(d).
a
x 100% 
Galat relatif hampiran :  RA 

^
a
(10/3)
x 100% 
x 100%  0,01%
0,000333
1
x 100% 
3,333
999
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg menggunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung
dengan cara :
ar 1  ar
 RA 
ar 1
dimana : ar+1 = nilai hampiran iterasi sekarang(r+1)
ar = nilai hampiran iterasi sebelumnya(r)
Proses iterasi dihentikan bila :
|єRA| < єS
єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan
Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya,
namun semakin banyak proses
iterasinya(lelarannya).
 Contoh :
Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; єs= 0,00001
Hitung : єRA !


Penyelesaian :
Xo = 0,5
X1 = 0,4791667;
(X1  X o )
 0,043478   s
X1
 RA 
X2 = 0,4816638;
(X 2  X1 )
 RA 
 0,0051843   s
X2
X3 = 0,4813757;
(X 3  X 2 )
 RA 
 0,0005984   s
X3
X4 = 0,4814091;
 RA 
X5 = 0,4814052;
 RA 
(X 4  X 3 )
 0,0000693   s
X4
(X 5  X 4 )
 0,0000081   s , berhenti !
X5

Secara umum terdapat dua sumber utama
penyebab galat dlm perhitungan numerik,
yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
(1). Galat Pemotongan (truncation error).
Galat ini timbul akibat penggunaan
hampiran sebagai pengganti formula
eksak.
Maksudnya, ekspresi matematika yg
lebih kompleks diganti dengan formula yg
lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pd
metode komputasi yg digunakan untuk
penghampiran shg kadang- kadang disebut juga galat metode.

Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri
dengan formula :
f

'
( x1 ) 
f ( xi 1 )  f ( xi )
h
dimana : h = lebar absis xi+1
Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan
bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f’(x) = - sin(x)
f’’(x) = - cos(x)

Maka :
x2 x4 x6
x 8 x10
f ( x )  cos( x )  1 




 ......
2! 4! 6!
8! 10!
Nilai hampiran

Galat pemotongan
Galat pemotongan :
( x  xo ) ( n1) ( n1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
( x  0)( 61) ( 61)
x7
R6 ( x) 
f
(c)  cos(c)
(6  1)!
7!

Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita
peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c
sebenarnya terkecuali informasi bahwa c
terletak pada selang tertentu. Karenanya
tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg
mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg
diberikan, yaitu :
Rn ( x)  Maks
xo c  x
( n 1)
(x
x
)
o
f ( n 1) (c) x
(n  1)!

Contoh-1 :
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1
untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-kan
taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !
Penyelesaian :
f(x) = ln(x)
f(1) = 0
f’(x) = 1/x
f’(1) = 1
f’’(x) = -1/x2
f’(1) = -1
f’’’(x) = 2/x3
f’’’’(1) = 2
f(4)(x) = - 6/x4
f(4)(1) = -6
f(5)(x) = 24/x5
f(5)(c) = 24/c5

Deret Taylor :
( x  1) 2 ( x  1)3 ( x  1) 4
ln( x)  ( x  1) 


 R4 ( x)
2
3
4
(0,1) 2 (0,1)3 (0,1) 4
ln( 0,9)  0,1 


 R4 ( x)
2
3
4
ln( 0,9)  0,1053583  R4 ( x)
R4 (0,9)  Maks
0 , 9c 1


( x  xo ) ( n1) ( n1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
24 (-0,1)5
x
 0,0000034
5
c
5!
Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan < 0,0000034.
Hasil perhitungan aplikasi: -0.105361

Contoh-2 :
1
x
e
Hampiri nilai  dx secara numerik, yaitu f: ( x)  e x
0
dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian :
2
x
Deret Maclaurin orde 8 dari f ( x)  e adalah :
2
ex
2
4
6
8
x
x
x
 1 x2 
 
2! 3! 4!
1
1
x 4 x 6 x8
0 e dx  0 (1  x  2!  3!  4! )dx
x
2
2
x3 x5 x7 x9 x  1
1 1 1
1
 x   
 1   
 1,4617724
3 10 42 216 x  0
3 10 42 216
2

Perhitungan dgn metode numerik hampir
selalu menggunakan bilangan riil. Masalah
timbul bila komputasi numerik dikerjakan
dengan komputer karena semua bilangan riil
tdk dapat disajikan secara tepat di dlm
komputer. Keterbatas an komputer dlm
menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg
disebut galat pembulatan.

Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer
hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua
cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik
kambang disebut juga “Angka Bena” (significant
figure).


Adalah angka bermakna, angka penting atau
angka yg dapat digunakan dgn pasti.
Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)


Galat akhir atau galat total pada solusi numerik
merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
Contoh :
2
4
(0,2) (0,2)
Cos(0,2)  1 

 0,9800667
2
24
Galat pemotongan
Galat pembulatan

Galat pemotongan timbul karena kita
menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4
sedangkan galat pembulatan timbul karena
kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7
digit bena.

Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering
diganti dgn fungsi hampiran yang lebih
sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat
ketelitian penghampiran itu adalah dengan
menggunakan notasi :
O-Besar (Big-Oh).

Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).
Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M
adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan
bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde
penghampiran O(hn) dan ditulis dgn :
f(h) = p(h) + O(hn)
O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat
dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya
cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi
nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin
teliti penghampiran fungsinya.

Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti
drpd metode yg berorde O(h). Juga pada
metode yg berorde O(h2), jika ukuran h
dijadikan setengah kali semula, maka galatnya
menjadi seperempat kali galat semula.
Umumnya deret Taylor digunakan untuk
menghampiri fungsi. Misalkan :
xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik
sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret
Taylor di sekitar xi adalah :
( xi 1  xi ) '
( xi 1  xi ) 2 ''
( xi 1  xi ) n ( n )
f ( xi 1 )  f ( xi ) 
f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
h '
h 2 ''
hn (n)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
Dalam hal ini :
h( n1) ( n1)
Rn ( xi 1 ) 
f
(t )  O(h n1 ); xi  t  xi 1
(n  1)!
Jadi, kita dapat menuliskan :
hk k
f ( xi 1 )  
f ( xi )  O(h n1 )
k 0 k!
n

Contoh :
2
3
4
h
h
h
f ( x )  e x  1  h     O( h 5 )
2! 3! 4!
x 2 x3 x 4 x5
f ( x)  ln( x)  x      O(h5 )
2 3 4 4
h3 h5
f ( x)  sin( h)  h    O(h 7 )
3! 5!
h 2 h 4 h6
f ( x)  cos( h)  1 


 O( h 8 )
4! 6! 6!

Untuk memahami galat pembulatan lebih rinci,
kita perlu mengerti cara penyimpan-an
bilangan riil di dalam komputer. Format
bilangan riil di dalam komputer berbeda beda
bergantung pada piranti keras dan compilar
bahasa pemrogramannya. Bilangan riil di dlm
komputer umumnya disajikan dalam format
bilangan titik kambang.