deret taylor dan analisis galat

DERET TAYLOR DAN
ANALISIS GALAT
OLEH
IR. INDRAWANI SINOEM, MS
DERET TAYLOR
• Definisi :
Andaikata f dan semua turunannya, f ’,f ’’,f ’’’,…
menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan :
xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan
xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke
dalam deret Taylor :
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) m ( m)
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!
• Jika (x-xo)=h, maka :
h '
h 2 ''
h m ( m)
f ( x)  f ( xo )  f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  ...
1!
2!
m!
• Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor
di sekitar xo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x)
f ’’’(x) = - cos(x)
f ’(x) = -cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f ’’(x) = - sin(x)
dst.
maka :
h2
h3
h4
f ( x)  sin( x)  sin( 1)  h cos(1)  sin( 1)  cos(1)  sin( 1)  ...
2
6
24
f ( x)  0,8415  0,5403h  0,4208h 2  0,0901h3  0,0351h 4  ...
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di
sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret
Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.
• Contoh-1 :
f(x)= sin(x) dimana xo = 0
• Penyelesaian :
h2
h3
f ( x)  sin( x)  sin( 0)  h cos(0)  sin( 0)  cos(0)
2
6
x3 x5
f ( x)  sin( x)  x  
6 120
• Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian :
( x  0) 0 ( x  0) 2 0 ( x  0)3 ( x  0) 4 0
f ( x)  e  e 
e 
e 

e  ...
1!
2!
3!
4!
x 2 0 x3 x 4
x
f ( x)  e  1  x  e    ...
2!
3! 4!
x
0
• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga
banyaknya, maka untuk alasan praktis deret
Taylor dipotong sampai suku order tertentu.
Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n
dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:
( x  xo ) '
( x  xo ) 2 ''
( x  xo ) n ( n )
f ( x)  f ( xo ) 
f ( x0 ) 
f ( xo )  .... 
f ( xo )  Rn ( x)
1!
2!
n!
( x  xo ) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c); xo c x disebut galat / sisa (residu )
(n  1)!
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong
sampai suku order ke-n dapat ditulis :
f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x)
dimana :
( x  xo ) k k
Pn ( x)  
f ( xo )
k!
k 1
n
( x  xo ) ( n 1) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde
ke-n
Penyelesaian :
( x  1)
( x  1) 2
( x  1)3
( x  1) 4
P4 ( x)  sin( 1) 
cos(1) 
sin( 1) 
cos(1) 
sin( 1)
1!
2!
3!
4!
( x  1) ( 41) ( 41)
( x  1)5
Galat  R4 ( x) 
f
(c) 
cos(c)
(4  1)!
5!
ANALISIS GALAT
• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat
solusi hampiran terhadap solusi sejatinya.
Semakin kecil galatnya, semakin teliti
solusi numerik yg didapatkan. Kita harus
memahami dua hal, yaitu :
a. Bagaimana menghitung galat
b. Bagaimana galat timbul
• Misalkan :
^
a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka :
^
  a  a disebut galat
• Contoh :
^
a  10,5; a  10,45
  10,45  10,5  0,05
^
Galat Mutlak    a  a
Galat relatif :  R 

a
x 100%
Galat relatif hampiran :  RA 

^
a
x 100%
• Contoh :
Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian :
(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333
= 10.000/3000 – 9999/3000
= 1/3000 = 0,000333
(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333
(c).

0,000333
Galat relatif :  R 
(d).
a
x 100% 
Galat relatif hampiran :  RA 

^
a
(10/3)
x 100% 
x 100%  0,01%
0,000333
1
x 100% 
3,333
999
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan
pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan cara :
a a
 RA  r 1 r
ar 1
dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang
ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya
• Proses lelaran dihentikan bila :
|єRA| < єS
єS = Toleransi galat yang dispesifikasikan
Semakin kecil єS, semakin teliti solusinya,
namun semakin banyak proses lelarannya
• Contoh :
Diketahui : Xr+1=(-Xr+13 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; єs= 0,00001
Hitung : єRA !
• Penyelesaian :
Xo = 0,5
X1 = 0,4791667;
(X1  X o )
 0,043478   s
X1
 RA 
X2 = 0,4816638;
(X 2  X1 )
 RA 
 0,0051843   s
X2
X3 = 0,4813757;
(X 3  X 2 )
 RA 
 0,0005984   s
X3
X4 = 0,4814091;
 RA 
X5 = 0,4814052;
(X 4  X 3 )
 0,0000693   s
X4
 RA 
(X 5  X 4 )
 0,0000081   s , berhenti !
X5
SUMBER UTAMA GALAT
NUMERIK
• Secara umum terdapat dua sumber utama
penyebab galat dlm perhitungan numerik,
yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
(1). Galat Pemotongan (truncation error).
Galat ini timbul akibat penggunaan
hampiran sebagai pengganti formula
eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti dengan
formula yg lebih sederhana.
Tipe galat pemotongan bergantung pd
metode komputasi yg digunakan untuk
penghampiran shg kadang-kadang disebut juga galat metode.
• Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri
dengan formula :
f
'
f ( xi 1 )  f ( xi )
( x1 ) 
h
dimana : h = lebar absis xi+1
• Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan
deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = cos(x)
f(4)(x) = sin(x)
f’(x) = - sin(x)
f’’(x) = - cos(x)
• Maka :
x2
x4
x6
x8
x10
f ( x )  cos( x )  1 




 ......
2!
4!
6!
8!
10!
Nilai hampiran
Galat pemotongan
• Galat pemotongan :
( x  xo ) ( n1) ( n 1)
Rn ( x) 
f
(c )
(n  1)!
( x  0)( 61) ( 61)
x7
R6 ( x) 
f
(c)  cos(c)
(6  1)!
7!
• Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita
peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c
sebenarnya terkecuali informasi bahwa c
terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas
kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin
dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan,
yaitu :
Rn ( x)  Maks
xo c  x
( n 1)
(x
x
)
o
f ( n 1) (c) x
(n  1)!
• Contoh-1 :
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar
xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan berikan taksiran untuk galat maksimum yang
dibuat !
Penyelesaian :
f(x) = ln(x)
f(1) = 0
f’(x) = 1/x
f’(x) = 1
f’’(x) = -1/x2
f’(x) = -1
f’’’(x) = 2/x3
f’’’’(x) = 2
f(4)(x) = - 6/x4
f(4)(x) = -6
f(5)(x) = 24/x5
f(5)(c) = 24/c5
• Deret Taylor :
( x  1) 2 ( x  1) 3 ( x  1) 4
ln( x)  ( x  1) 


 R4 ( x)
2
3
4
(0,1) 2 (0,1)3 (0,1) 4
ln( 0,9)  0,1 


 R4 ( x)
2
3
4
ln( 0,9)  0,1053583  R4 ( x)
R5 (0,9)  Maks
0 , 9 c 1
24 (-0,1)5
x
 0,0000034
5
c
5!
• Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemotongan < 0,0000034.
• Contoh-2 : 1 x
e dx

x2
Hampiri nilai 0
secara numerik, yaitu : f ( x)  e
dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian :
x2
Deret Maclaurin orde 8 dari f ( x)  e
adalah :
2
ex
2
4
6
8
x
x
x
 1 x2 
 
2! 3! 4!
1
1
x 4 x 6 x8
0 e dx  0 (1  x  2!  3!  4! )dx
x
2
2
x3 x5 x7 x9 x  1
1 1 1
1
 x   
 1   
 1,4617724
3 10 42 216 x  0
3 10 42 216
GALAT PEMBULATAN
• Perhitungan dgn metode numerik hampir
selalu menggunakan bilangan riil.
Masalah timbul bila komputasi numerik
dikerjakan dengan komputer karena
semua bilangan riil tdk dapat disajikan
secara tepat di dlm komputer. Keterbatas
an komputer dlm menyajikan bilangan riil
menghasilkan galat yg disebut galat
pembulatan.
• Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer
hanya menuliskan 0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =
-0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai
dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan
titik kambang disebut juga “Angka Bena”
(significant figure).
ANGKA BENA
• Adalah angka bermakna, angka penting atau
angka yg dapat digunakan dgn pasti.
• Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
GALAT TOTAL
• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik
merupakan jumlah galat pemotongan dan galat
pembulatan.
• Contoh :
2
4
(0,2)
(0,2)
Cos(0,2)  1 

 0,9800667
2
24
Galat pemotongan
Galat pembulatan
• Galat pemotongan timbul karena kita
menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4
sedangkan galat pembulatan timbul
karena kita membulatkan nilai hampiran
ke dalam 7 digit bena.
ORDE PENGHAMPIRAN
• Di dalam metode numerik, fungsi f(x)
sering diganti dgn fungsi hampiran yang
lebih sederhana. Satu cara mengungkapkan tingkat ketelitian penghampiran itu
adalah dengan menggunakan notasi :
O-Besar (Big-Oh).
• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).
Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah
konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h)
menghampiri f(h) dengan orde penghampiran
O(hn) dan ditulis dgn :
f(h) = p(h) + O(hn)
O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat
dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya
cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai
n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti
penghampiran fungsinya.
• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih
teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga
pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran
h dijadikan setengah kali semula, maka
galatnya menjadi seperempat kali galat
semula.
Umumnya deret Taylor digunakan untuk
menghampiri fungsi. Misalkan :
xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik
sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan
deret Taylor di sekitar xi adalah :
( xi 1  xi ) '
( xi 1  xi ) 2 ''
( xi 1  xi ) n ( n )
f ( xi 1 )  f ( xi ) 
f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
h '
h 2 ''
hn (n)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi ) 
f ( xi )  .... 
f ( xi )  Rn ( xi 1 )
1!
2!
n!
Dalam hal ini :
h( n1) ( n1)
Rn ( xi 1 ) 
f
(t )  O(h n1 ); xi  t  xi 1
(n  1)!
Jadi, kita dapat menuliskan :
hk k
f ( xi 1 )  
f ( xi )  O(h n1 )
k 0 k!
n
• Contoh :
2
3
4
h
h
h
f ( x )  e x  1  h     O( h 5 )
2! 3! 4!
x 2 x3 x 4 x5
f ( x)  ln( x)  x      O(h5 )
2 3 4 4
h3 h5
f ( x)  sin( h)  h 

 O( h 7 )
3! 5!
h 2 h 4 h6
f ( x)  cos( h)  1 


 O( h 8 )
4! 6! 6!
BILANGAN TITIK KAMBANG
• Untuk memahami galat pembulatan lebih
rinci, kita perlu mengerti cara penyimpanan bilangan riil di dalam komputer. Format
bilangan riil di dalam komputer berbeda
beda bergantung pada piranti keras dan
compilar bahasa pemrogramannya.
Bilangan riil di dlm komputer umumnya
disajikan dalam format bilangan titik
kambang.