Calculus and Analysis Geometry

Sistem Persamaan Aljabar Linear

Persamaan Linear
Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear:
a1 x1  a2 x2    an xn  b
dimana: a1, a2,…, an, dan b adalah konstanta dan x1, x2,…, xn adalah
variabel yang tidak diketahui.

System persamaan Aljabar Linear
System persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear
dalam variabel x1, x2,…, xn .
Barisan bilangan s1, s2,… sn adalah solusi system persamaan linear
apabila x1= s1 , x2= s2 … xn =sn memenuhi setiap persamaan linear
dalam system.
S0262 Analisis Numerik
Sistem Persamaan Linear
Note: Ada tiga kemungkin tentang solusi SPL yaitu

mempunyai hanya 1 set solusi, tidak mempunyai
solusi, atau mempunyai banyak solusi
Contoh:
4 x1  x2  3 x3  1
Suatu system yg mempunyai banyak solusi
3 x1  x2  9 x3  4 diantaranya: x =1, x =2, and x =-1
1
2
3
x1  x2  3
Suatu system yg mempunyai hanya 1 solusi
x1  x2  1
x1  x2  4
x1  x2  3
yaitu: x1=2, and x2=1
Suatu system yg tidak mempunyai solusi
S0262 Analisis Numerik

Bentuk umum
m persamaan dan n yang tidak diketahui
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2    a2 n x n  b2




am1 x1  am 2 x2    amn xn  bm
System persamaan Linear dlm Augmented Matrices
 a11
a
 21
 

am1
a12

a1n
a 22

a2 n

am 2


amn
b1 
b2 
 

bm 
S0262 Analisis Numerik

Contoh
3 pers., 3 yg tdk diketahui
x1  x2  2 x3  9
2 x1  4 x2  3 x 3  1
3 x1  6 x2  5 x3  0
Augmented 1
2
matrix

3
1
2
4
3
6
5
9
1
0
Metode untuk menyelesaikan SPL adalah dgn mengubah system yg ada
menjadi system yg lebih sederhana. Secara umum langkah2 nya
diberikan di bawah ini.
1.
Mengalikan satu atau lebih dari persamaan yg ada dengan suatu
pengali
2.
Mempertukarkan letak persamaan
3.
Menambah suatu persamaan dengan persamaan yg lain
Note: Langkah-langkah diatas akan berlaku juga terhadap Matriks
AUGMENTED dari persamaan tersebut.
S0262 Analisis Numerik
Operasi Baris dlm mencari solusi SPL:
x1  x2  2 x3  9
2
9
1 1
2 4  3 1
2 x1  4 x2  3 x 3  1


3 x1  6 x2  5 x3  0

 3 6  5 0

1. Kurangkan 2 kali baris 1 dari baris kedua dan 3
kali
baris 1 dari baris ketiga
x1  x2  2 x3  9
2
9 
1 1
0 2  7

2 x2  7 x 3  17

17


3x2  11x3  27

0 3  11  27

2. Kalikan baris kedua dengan 1/2., maka akan diperoleh
1
x1
x2
2
x3  3
1
0

0
0
0
1
0
0
1
1
2 
3 
S0262 Analisis Numerik

Eliminasi Gauss(EG)
•
EG adalah prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL
dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL tsb ke
dalam bentuk yg lebih sederhana:
Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk rowechelon (Echelon baris).
Bentuk Row-echelon :
1.
Unsur (entri) yang bukan nol pertama pada setiap barisnya
adalah angka 1 yang disebut dengan angka-1 pemimpin
(leading 1)
2.
Setiap baris yang mempunyai unsur seluruhnya angka-0
diletakkan dibaris bawah
3.
Angka-1 pemimpin pada baris yang lebih bawah akan
terletak kesebelah kanan angka-1 pemimpin pada baris
diatasnya.
S0262 Analisis Numerik

Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ)
•
Sebagaimana halnya pada eliminasi Gauss (EG), EGJ
adalah juga prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan
SPL dengan cara menyederhanakan matriks
augmented SPL.
Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk
Echelon baris yang disederhanakan.

Bentuk Echelon baris yang disederhanakan.
Matriks dalam bentuk echelon baris yang
disederhanakan adalah matriks echelon baris
dimana pada setiap kolom yang telah mengandung
angka-1 pemimpin maka setiap entri lain dalam
kolom yang sama hanya diisi oleh angka-0.
S0262 Analisis Numerik
Matriks Bentuk Echelon-baris
Contoh:

1 4  3 7
0 1 6 2;


0 0 1 5
1 1 0
0 1 0 


0 0 0
Matriks Bentuk Echelon-baris yg disederhanakan
Contoh:

1 0 0 4 
0 1 0 7 ;


0 0 1  1
1 0 0
0 1 0


0 0 1
S0262 Analisis Numerik

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss
Tuliskan sistim persamaan aljabar linear yang akan diselesaikan dalam
bentuk matriks augmented
Jika diperlukan pertukarkan baris paling atas dari matriks tsb dengan
baris yang lain sehingga angka-0 bukan merupakan angka pertama
dalam baris paling atas tersebut
Jika entri pertama dalam baris-1 bukan angka-0 kalikan/bagikan semua
entri pada baris tersebut dengan suatu bilangan tertentu untuk
menghasilkan angka-1 pemimpin.
Lakukan operasi baris (penjumlahan/pengurangan) pada baris-baris
dibawahnya untuk mendapatkan seluruh entri dibawah angka-1
pemimpin seluruhnya angka-0.
Lakukan langkah 2, 3, dan 4 sampai diperoleh suatu matriks dalam
bentuk echelon-baris
Dari matriks yang diperoleh pada langkah-5 diatas lakukan subsitusi
balik untuk mendapatkan harga variabel yang dicari
S0262 Analisis Numerik

Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan
1.
Lakukan langkah-langkah 1, 2, 3, 4 dan 5 pada Eliminasi
Gauss diatas
Biasanya dimulai dari baris yang paling bawah, lakukan
operasi baris sedemikian sehingga seluruh entri diatas
angka-1 pemimpin semuanya menjadi angka-0.
Ulangi langkah 2 diatas untuk baris-baris yang lebih atas
sehingga menghasilkan matriks dalam bentuk echelon-baris
yang disederhanakan.
2.
3.
S0262 Analisis Numerik
Contoh Soal:
Selesaikan sistim persamaan linear di bawah ini dengan
Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan :

2 x  4 y  3z  7
x  y  2 z  6
3 x  6 y  5 z  12
x1  3 x2  2 x3  2 x5  0
2 x1  6 x2  5 x3  2 x4  4 x5  3x6  1
5 x3  10 x4  15 x6  5
2 x1  6 x2  8 x4  4 x5  18 x6  6
Jawab: Eliminasi Gauss Matriks Augmented
2 4  3 7  b1b 2 1 1 2  6 b 22b1;b33b1 1 1 2  6
1 1 2  6 2 4  3 7  0 2  7 19 
3 6  5 12 
3 6  5 12 
0 3  11 30 
S0262 Analisis Numerik
Jawab: Eliminasi Gauss (sambungan, lihat hal.
sebelumnya)
1 1 2  6 b 2 / 2 1 1 2  6 b33b 2 1 1 2  6
0 1  7 2 19 2  0 1  7 2 19 2 
0 2  7 19  
0 3  11 30 
0 0  1 2 3 2 
0 3  11 30 
1 1 2  6
3( 2 )
b
0 1  7 2 19 2   z  3
0 0 1  3
Subsitusi balik:
Baris ke-2 y-7/2 z = 19/2 y= 19/2 –21/2=-1
Baris ke-1 x + y + 2z=-6x=-6-y-2 z=1
Solusi: x=1; y=-1; dan z=-3
S0262 Analisis Numerik
Jawab: Eliminasi Gauss-Jordan
Dari hasil Eliminasi Gauss: 1 1 2  6
0 1  7 2 19 2 
0 0 1  3
1 1 2  6
1 1 0 0

7
2  2 b 3; b1 2 b 3
1b 2
0 1  7 2 19 2  b
  0 1 0  1 b

0 0 1  3
0 0 1  3
1 0 0 1 
0 1 0  1  x  1; y  1; z  3
0 0 1  3
Latihan: Kerjakan soal no. 2 pada lembaran
sebelumnya dengan mengikuti prosedur yang
sama
S0262 Analisis Numerik

ATURAN CRAMER
Teori 8: Solusi dari sistem pers. linear yg terdiri dari n pers. Linear
dng n yang tdk diketahui Ax=b (det(A)0) adalah sbb:
det( An )
det( A1 )
det( A1 )
x1 
, x2 
, xn 
det( A)
det( A)
det( A)
dimana Aj diperoleh dari matriks A dgn mengganti kolom kej dengan matriks
 b1 
b 
b   2

 
bn 
S0262 Analisis Numerik

ATURAN CRAMER
Contoh/Latihan: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesakan
sistem persamaan linear berikut:
x1  2 x3  6

 3x1  4 x2  6 x3  30
 x1  2 x2  3x3  8 
x1  2 x3  6

 1 0 2
6
Jawab:  3x  4 x  6 x  30  A   3 4 6; b  30
1
2
3
  1  2 3
 8 
 x1  2 x2  3x3  8 
6 0
A1  30 4
 8  2
A  ; A1
A1
 x1 
A
2
 1 6 2
 1 0 6
6; A2   3 30 6; A3   3 4 30
  1 8 3
  1  2 8 
3
 ; A2  ; A3  ;
A2
A3
  ; x2 
 ; x3 

A
A
S0262 Analisis Numerik

Metode Gauss-Seidel
Misalkan sistim persamaan aljabar linear tsb dapat ditulis sbb:
a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1 
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2 




an1 x1  an 2 x2    ann xn  bn 

x1
x2
x3
xn
b1  a12 x2  a13 x3    a1n xn

a11
b  a11 x1  a13 x3    a1n xn
 2
a12
b1  a11 x1  a12 x2    a1n xn

a13

b1  a11 x1  a12 x2  a13 x3  

a1n
S0262 Analisis Numerik

Metode Gauss-Seidel
Persamaan sebelumnya dapat diselesaikan dapat dikerjakan
secara iteratif dengan menggunakan harga tebakan awal.
Untuk mudahnya harga tebakan awal dapat dianggap
bahwa harga semua x1, x2, …., xn=0. Harga ini dapat
diperbaharui dengan menggunakan persamaan sebelumnya
misalkan akan diperoleh x1=b1/a11; dan harga ini akan
dimasukkan pada persamaan berikutnya untuk
mendapatkan harga x2, dst. Prosedur iteratif ini akan
diulangi sampai diperoleh ketelitian yang diinginkan
menurut kriteria kesalahan relatif yang telah dibicarakan
sebelumnya:
i 1
i
xk  xk

100%   s
i
xk
S0262 Analisis Numerik

Metode Gauss-Seidel
Contoh/Latihan: Gunakan Metode Gauss-Seidel untuk
menyelesakan sistem persamaan linear berikut, kesalahan
relatif <5%.
x1  6  2 x3
x1  2 x 3  6

 3x1  4 x2  6 x3  30 x2  (30  3x1  6 x3 ) / 4
 x1  2 x2  3x3  8  x3  (8  x1  2 x2 ) / 3
Gunakan tebakan awal x1=x2=x3=0
Harga ini akan diperbaharui sbb:
x1  6; x2  3018 4  12; x3  86 24 3  38 3
Itersai berikutnya akan diperoleh:
x1  6  76 3   58 3 ; x2  ; x3  ; dst