Persamaan Linier Simultan

Persamaan Linier Simultan
• Eliminasi Gauss
• Gauss Jordan
Eliminasi_GaussJordan
1
Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan
yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas.
Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan
dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 + ... + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + ... + a 2 n x n = b2
a31 x1 + a32 x 2 + a33 x3 + ... + a3n x n = b3
..........................................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + a m3 x3 + ... + a mn x n = bm
dimana:
aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan
xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi
Eliminasi_GaussJordan
untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.
2
Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai
bentuk matrik yaitu :
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣a m1
dimana:
a12
a 22
...
am2
... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ b1 ⎤
... a 2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎢b2 ⎥⎥
=
... ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
... a mn ⎦ ⎣ x n ⎦ ⎣bn ⎦
⎡ a11
⎢a
A⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣a mi
a12
a 22
...
am2
Ax=B
... a1n ⎤
⎡ b1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢b ⎥
⎢x ⎥
... a 2 n ⎥⎥
, x = ⎢ 2 ⎥ danB = ⎢ 2 ⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ... ⎥
... ... ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎥
... a mn ⎦
⎣bm ⎦
⎣ xn ⎦
Matrik A=Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian
Vektor x =Vektor variabel
Vektor B=Vektor konstanta Eliminasi_GaussJordan
3
Persamaan Linier Simultan
Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan
adalah matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣a m1
a12
a 22
...
am2
a13
a 23
...
a m3
... a1n
... a 2 n
... ...
... a mn
b1 ⎤
b2 ⎥⎥
... ⎥
⎥
bm ⎦
Eliminasi_GaussJordan
4
Teorema
Persamaan Linier Simultan
Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal
bila memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
(1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah
persamaan sama dengan jumlah variable bebas.
(2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada
satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0.
(3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan
tidak sama dengan nol.
Eliminasi_GaussJordan
5
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode
eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas.
Metode eliminasi gauss: metode dimana bentuk matrik augmented,
pada bagian kiri diubah menjadi matrik segitiga atas
/segitiga bawah dg menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢a31
⎢
⎢ ...
⎢⎣a n1
a12
a 22
a13
a 23
... a1n
... a 2 n
a32
...
a33
...
... a3n
... ...
an2
a n 3 ... a nn
b1 ⎤
b2 ⎥⎥
b3 ⎥
⎥
... ⎥
bn ⎥⎦
⎡c11
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢ ...
⎢⎣ 0
Eliminasi_GaussJordan
c12
c 22
0
c13 ... c1n
c 23 ... c 2 n
c33 ... c3n
...
0
...
0
... ...
... c nn
d1 ⎤
d 2 ⎥⎥
d3 ⎥
⎥
... ⎥
d n ⎥⎦
6
Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:
xn =
dn
c nn
xxnn−−11 ==
11
(−(dcn −1 −xc n+−1d, n x n))
c n −−11,,nn−−11
n −1, n
n
n −1
.......... .......... .......... .......
x2 =
1
(d 2 − c 23 x3 − c 24 x 4 − ... − c 2 n x n )
c 22
x1 =
1
(d1 − c12 x 2 − c13 x3 − ... − c1n x n )
c11
Operasi Baris Elementer (OBE) : operasi pengubahan nilai elemen
matrik berdasarkan barisnya, tanpa mengubah matriknya.
OBE pada baris ke-i+k dengan dasar baris ke i dapat dituliskan dengan :
ai + k , j = ai + k , j − c.ai , j dimana c : konstanta pengali
dari perbandingan
nilai dari elemen ai,i dan ai+k,i
Eliminasi_GaussJordan
7
Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg.
Metode Eliminasi Gauss
Selesaikan persamaan berikut : x1 + x 2 + x3 = 6
x1 + 2 x 2 − x3 = 2
2 x1 + x 2 + 2 x3 = 10
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah:
⎡1 1 1 6 ⎤
⎢1 2 − 1 2 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣2 1 2 10⎥⎦
Lakukan operasi baris elementer sebagai berikut:
1
6 ⎞
⎛1 1
dengan demikian diperoleh penyelesaian:
⎜
⎟
B2 − B1
⎜ 0 1 − 2 − 4⎟
B3 − 2B1 ⎜ 0 − 1 0 − 2 ⎟
⎝
⎠
6⎤
⎢0 1 − 2 − 4 ⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 0 − 2 − 6⎥⎦
B3 + B2 ⎡1
1
1
−6
=3
−2
1
x 2 = (− 4 − (2)3) = 2
1
1
x1 = (6 − 2 − 3) = 1
1
x3 =
Eliminasi_GaussJordan
8
Algoritma Metode Eliminasi Gauss
Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :
1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n
2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A
3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :
Bila ya :
pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i ≠0, bila
tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses
dihentikan dengan tanpa penyelesaian.
Bila tidak : lanjutkan
4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n
Lakukan operasi baris elementer:
a
Hitung c = j ,i
a i ,i
Untuk kolom k dimana k=1 s/d n+1 hitung a j,k = a j,k − c.ai,k
Hitung akar, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai
1
baris pertama) :
(bi − ai,i+1 xi+1 − ai,i+2 xi+2 − ... − ai,n xn )
xi =
Eliminasi_GaussJordan
ai ,i
dimana nilai i+k≤n
9
Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode Eliminasi Gauss Jordan: metode pengembangan metode
eliminasi gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah
menjadi matrik diagonal sebagai berikut:
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
⎢a31
⎢
⎢ ...
⎢⎣a n1
a12
a 22
a13
a 23
... a1n
... a 2 n
a32
...
a33
...
... a3n
... ...
an2
a n 3 ... a nn
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢...
⎢⎣ 0
b1 ⎤
b2 ⎥⎥
b3 ⎥
⎥
... ⎥
bn ⎥⎦
d1 ⎤
d 2 ⎥⎥
d3 ⎥
⎥
... ... ... ... ... ⎥
0 0 ... 1 d n ⎥⎦
0
1
0
0 ... 0
0 ... 0
1 ... 0
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3
,…,dn dan atau: x = d , x = d , x = d ,...., x = d
1
1
2
2
3
3
n
n
Metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss
yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan
penyelesaian secara langsung
diperoleh dari nilai pada kolom terakhir
Eliminasi_GaussJordan
10
dari setiap baris.
Contoh Penyelesaian Pers.Lin.Simultan dg.
Metode Eliminasi Gauss Jordan
Selesaikan persamaan berikut : x1 + x 2 = 3
2 x1 + 4 x 2 = 8
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut adalah:
⎡1 1 3⎤
⎢2 4 8⎥
⎣
⎦
Lakukan operasi baris elementer sebagai berikut:
⎡1 1 3⎤
B2 − 2b1 ⎢
⎥
dengan demikian diperoleh penyelesaian:
0
2
2
⎣
⎦
⎡1 1 3⎤
B2 / 2⎢
⎥
0
1
1
⎦
⎣
⎡1 0 2 ⎤
B1 − B2 ⎢
⎥
0
1
1
⎦
⎣
x1 = 2 dan x2 = 1
Eliminasi_GaussJordan
11
Algoritma Metode Eliminasi Gauss Jordan
Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah sbb :
1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n
2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A
3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n,
Perhatikan apakah nilai ai,i =0 :
Bila ya :
pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i ≠0, bila
tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses
dihentikan dengan tanpa penyelesaian.
Bila tidak : lanjutkan
Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk
setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung ai ,k = ai ,k
a i ,i
4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n
Lakukan operasi baris elementer:
Hitung c = aj,i
Hitung a j ,k = a j ,k − c.ai ,k
5. Penyelesaian, untuk i =Eliminasi_GaussJordan
n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai
12
xi = ai ,n +1
baris pertama)