BABA X - elista:.

1
BAB X
MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Pembahasan berikut ini akan meninjau salah satu implementasi operasi matrik
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan. Selain menggunakan
invers matrik, terdapat beberapa metoda yang dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan linier dengan memanfaatkan perhitungan
matrik, yaitu eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, Jacobi, dan Gauss-Seidel.
10.1. Metoda Eliminasi Gauss
Untuk memahami metoda eliminasi Gauss dalam menyelesaikan sistem
persamaan linier simultan akan dijelaskan melalui contoh berikut ini. Jika
diketahui dua buah persamaan dengan dua variabel yang tidak diketahui, yaitu
sebagai berikut:
2X + 3Y = 7
3X + 5Y = 11
(1)
(2)
Harga variabel X dan Y pada kedua persamaan di atas dapat dihitung atau
ditemukan dengan cara sebagai berikut. Mula-mula kita harus mengeliminasi
salah satu variabel dalam persamaan, misal X. Untuk mengeliminasi variabel X
dari persamaan (2) dapat dilakukan dengan cara membagi persamaan (1)
dengan 2, sehingga persamaan (1) akan menjadi sebagai berikut:
2X + 3Y = 7 ……………………… (1)
(2X + 3Y = 7) / 2
X + 3/2Y = 7/2 ……………………. (3)
Hasil yang diperoleh pada persamaan (3) tersebut nantinya akan digunakan
untuk mengurangi pada persamaan (2). Karena koefisien variabel X dalam (2)
adalah 2, maka sebelum digunakan untuk mengurangi, maka persamaan (3)
perlu dikalikan 3 terlebih dahulu. Hasil yang akan diperoleh adalah sebagai
berikut:
X + 3/2Y = 7/2 ……………………. (3)
2
3(X + 3/2Y = 7/2)
3X + 9/2Y = 21/2 …………
(4)
Hasil pada persamaan (4) kemudian akan digunakan untuk mengurangi pada
persamaan (2), sehingga akan diperoleh hasil sebagai berikut:
3X + 5Y = 7/2
3X + 9/2Y = 21/2
½Y = ½
………………… (2)
………………. (4)
………………. (5)
Untuk menentukan harga Y, maka persamaan (5) harus dikalikan dengan 2,
sehingga akan menjadi sebagai berikut:
½Y = ½ ………………………….. (5)
2(½Y = ½)
Y
= 1……………………… (6)
Dari perhitungan di atas, maka harga variabel Y adalah 1. Selanjutnya untuk
menghitung harga variabel X, maka subsitusikan harga Y tersebut ke dalam
persamaan (1), sehingga akan diperoleh hasil sebagai berikut:
2X + 3Y = 7 ……………………….… (1)
2X + 3x1 = 7
2X + 3 = 7
2X = 4
X = 2 ……………………… (7)
Berdasarkan hasil-hasil perhitungan yang ditujukkan pada persamaan (6) dan
(7), maka harga penyelesaian pada sistem persamaan linier di atas adalah Y=1,
dan X=2.
Sekarang kita akan meninjau teknik eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier simultan. Secara umum sistem persamaan linier dapat
dinotasikan sebagai berikut ini:
A11 X1 + A12 X2 + ….. + A1N XN = B1
A21 X1 + A22 X2 + ….. + A2N XN = B2
A31 X1 + A32 X2 + ….. + A3N XN = B3
.
.
.
.
.
.
AN1 X1 + AN2 X2 + ….. + ANN XN = BN
3
Sistem perasamaan tersebut dapat diubah ke dalam persamaan notasi
matrik sebagai berikut:
AX = B …………………………….… (8)
Dimana A, X, dan B merupakan matrik yang masing-masing mempunyai entri
sebagai berikut:
ANXN = A11
A21
A31
.
.
AN1
A12
A22
A32
.
.
AN2
….. A1N
….. A2N
….. A3N
.
.
….. ANN
XNX1
= X1
X2
X3
.
.
XN
BNXN = B1
B2
B3
.
.
BN
B
B
B
B
Notasi dalam persamaan (8), dapat dituliskan menjadi persamaan notasi matrik
yang diperbesar (augmented matrik), yaitu sebagai berikut:
A11
A21
A31
.
.
AN1
A12……A1N
A22……A2N
A32……A3N
.
.
.
.
AN2……ANN
B1
B2
B3
.
.
BN
Dan selanjutnya matrik X merupakan matrik yang akan dicari dengan metoda
eliminasi Gauss.
Secara garis besar, penyelesaian sistem persamaan linier simultan dengan
metoda eliminasi Gauss adalah terdiri dari dua tahapan, yaitu sebagai berikut:
1. Eliminasi maju, yaitu dimulai dari baris paling atas dan kemudian menurun,
membagi setiap elemen baris dengan elemen diagonal yang disebut “pivot”,
sehingga diperoleh harga 1 pada elemen diagonalnya. Kemudian kurangkan
hasil perkalian suatu baris pada masing-masing baris dibawahnya sehingga
diperoleh harga 0 pada kolom dibawah elemen pivot.
2. Subsitusi mundur, kurangkan harga hasil perkalian pada baris-baris yang
lebih rendah sehingga semua elemen mempunyai harga 0 (nol) kecuali pada
diagonal utama yang mempunyai harga 1 dan pada kolom paling kanan.
4
Setelah kedua tahap tersebut dilaksanakan, maka hasil penyelesaiannya
dapat dilihat pada kolom paling kanan yaitu:
XNX1
=
X1
X2
X3
.
.
XN
Untuk memperjeles proses dalam metoda eliminasi Gauss, contoh sistem
persamaan di atas akan diselesaikan dengan metoda eliminasi Gauss. Sistem
persamaan tersebut akan dituliskan kembali, yaitu:
2X + 3Y = 7 ……………………… (1)
3X + 5Y = 11 ……………………… (2)
Sistem persamaan tersebut dapat diubah ke dalam notasi matrik sebagai berikut
ini:
AX = B
Berdasarkan sistem persamaan tersebut, maka A, X, dan B adalah matrik-matrik
yang mempunyai entri sebagai berikut:
A2X2
=
2
3
3
5
B2X1 = 7
11
X2X1 = X1
X2
Dalam contoh di sini, harga N adalah 2. Selanjutnya berdasarkan notasi pada
matrik yang diperbesar akan diselesaikan sesuai dengan tahapan penyelesaian
dalam metoda eliminasi Gauss. Elemen bertanda kotak dimaksudkan sebagai
elemen pivot pada setiap langkah perhitungan. Untuk membedakan operasi
arimatika dalam perhitungan, maka operasi perkalian akan dinotasikan dengan
simbol khusus yaitu “%”. Sedangkan nomor baris dalam matrik yang diperbesar
akan dinotasikan dengan simbol “R”. sebagai contoh, simbol R1 digunakan untuk
menyatakan baris ke-1, R2 untuk baris ke-2, R3 untuk menyatakan baris ke-3,
dan seterusnya. Selain itu, untuk menyatakan kolom tertentu dalam matrik akan
digunakan simbol C.
5
Berdasarkan notasi matrik diperbesar di atas, maka proses perhitungan
untuk penyelesaian sistem persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut
ini:
1. Langkah ke-1, baris ke-1 dibagi dengan 2
R1%2↔
1
3
3
/2
5
7
/2
11
2. Langkah ke-2, baris ke-2 dikurangi dengan 3 kali baris ke-1
R2-3 x R1 ↔ 1
0
3
/2
1
/2
7
/2
½
3. Langkah ke-3, baris ke-2 dibagi dengan ½
3
7
/2
/2
1
0
1
1
4. Langkah ke-4, baris ke-1 dikurangi dengan 3/2 kali baris ke-2
R2%½ ↔
R-3/2 x R2 ↔ 1
0
0
1
2
1
Pada akhir langkah ke-4 semua elemen matrik telah mempunyai harga 0 (nol)
kecuali pada diagonal utama yang mempunyai harga 1 dan pada kolom paling
kanan, seningga proses telah selesai. Hasil penyelesaian sistem persamaan
linier adalah ditunjukan pada kolom paling kanan, yaitu X=2 dan Y=1.
Perhitungan pada langkah ke-1 hingga langkah ke-3 adalah memperlihatkan
tahap eliminasi maju. Sedangkan langkah ke-4 adalah subsitusi mundur.
Berdasarkan proses perhitungan di atas, selanjutnya dapat dikembangkan solusi
dalam bentuk algoritma prosedurnya. Untuk menuliskan algoritma prosedur yang
dimaksud, di sini akan digunakan dua variabel bantu yaitu N dan M. Variabel N
adalah menyatakan indeks terbesar pada elemen matrik A. Sedangkan variabel
M menyatakan indeks terbesar pada elemen matrik yang diperbesar yang
mempunyai harga M=N+1. Selain itu, variabel I, J, dan K digunakan untuk
menyatakan subskrip pada larik dan sekaligus berfungsi sebagai variabel
pencacah untuk kendali pada proses perulangan. Dengan asumsi bahwa semua
entri pada matrik yang diperbesar telah diketahui, maka algoritma prosedur
penyelesaian sistem persamaan linier simultan dengan metoda eliminasi Gauss
6
adalah dituliskan di bawah ini. Sedangkan Gambar 10.1 adalah
menunjukan flowchart prosedurnya. Algoritma prosedur yang dituliskan di sini
akan memberikan hasil sebagai berikut:
1
0
0
0…… 0
1…… 0
.
.
0…… 1
X1
X2
.
.
XN
Dalam matrik hasil tersebut harga-harga penyelesaian yang dicari untuk sistem
persamaan linier simultan adalah ditunjukkan pada kolom paling kanan yaitu
dalam variabel X1, X2, X3, dan seterusnya hingga XN dimana N adalah sesuai
dengan banyaknya persamaan.
Dari matrik yang diperbesar dengan entri A[I,J].
N menyatakan indeks terbesar pada matrik A dan M=N+1.
A[K,M] dan A[K,I] adalah harga-harga penyelesaian untuk sistem persamaan
linier simultan.
1. Mulai
2. Proses berulang langkah-3 s/d langkah-4 untuk eliminasi maju
FOR I = 1 TO N
3. Proses berulang untuk membagi setiap elemen dalam baris dengan pivot
FOR J = I TO M
Hitung
A[I,J] = A[I,J] / A[I,I]
4. Proses berulang untuk mengurangkan hasil perkalian suatu baris pada setiap
baris di bawahnya
FOR K = I + 1 TO N
Hitung
A[K,J] = A[K,J] - A[K,J] x A[I,J]
5. Proses berulang untuk subsitusi mundur
FOR I = N DOWN TO 2
Hitung secara berulang
FOR K = 1 TO I-1
A[K,M] = A[K,M] - A[K,I] x A[I,M]
7
A[K,I] = 0
6. Cetak hasil
7. Selesai
Beberapa variasi dapat dilakukan pada metoda eliminasi Gauss. Setiap entri
pada baris dapat dibagi dengan elemen pivot setelah tahap eliminasi maju,
selama proses eliminasi maju berlangsung, atau bahkan setelah tahap subsitusi
mundur selesai dijalankan. Variasi lain yang penting adalah dengan melakukan
perputaran atau “pivoting”. Kesalahan yang terjadi akibat pembulatan angka,
dapat diminimalkan dengan saling menukar antar baris dan kolom. Jika
pertukaran dilakukan antar baris dan kolom sekaligus, maka disebut eliminasi
dengan perputaran penuh atau “ full pivoting”. Sedangkan jika pertukaran hanya
dilakukan antar baris saja maka disebut sebagai eliminasi dengan perputaran
sebagian atau “partial pivoting”.
Proses pertukaran antar baris akan mengakibatkan suatu perubahan yang
sederhana pada bentuk persamaan. Di lain pihak, suatu pertukaran antar kolom
adalah sama dengan mengubah bentuk persamaan dalam sebagian kecil
variabel-variabelnya. Karenanya, kita perlu menyimpan jejak kolom-kolom yang
saling dipertukarkan tersebut untuk mengetahui pada bagian mana harga-harga
variabel X1, X2, ….. XN yang akan muncul pada kolom paling kanan. Jika
pertukaran dilakukan antara kolom ke-I dan kolom ke-J, maka hasil X[I] dan X[J]
juga harus saling ditukarkan tempatnya. Simbol ↔ digunakan untuk menyatakan
pertukaran antar baris atau kolom. Sebagai contoh, jika baris ke-1 akan
ditukarkan dengan baris ke-3 maka akan dituliskan dengan notasi sebagai
berikut:
R1 ↔ R3
Berikut ini akan diberikan contoh menyelesaikan sistem persamaan linier dengan
menggunakan metoda eliminasi Gauss tanpa perputaran, dengan perputaran
sebagian, dan dengan perputaran penuh. Sistem persamaan linier simultan yang
akan diselesaikan adalah dari tiga persamaan, yaitu sebagai berikut ini:
X1 + 3X2 - 2X3
=7
8
4X1 - X2 - 3X3
-5X1 + 2X2 + 3X3
=7
= 10
Proses penyelesaian pada masing-masing variasi metoda eliminasi Gauss
tersebut adalah dijelaskan seperti berikut ini.
1. Eliminasi Gauss tanpa perputaran
Matrik yang diperbesar dalam sistem persamaan tersebut adalah sebagai
berikut:
1
4
-5
3
-1
2
-2
3
3
7
10
7
Langkah ke-1: R2 – 4R1
R3 + 5R1
⇔
1 3 -2 7
0 0 11 -18
Langkah ke-2: R2% -13
⇔
1 3 -2
7
0 1 -0.8462 1.3846
0 17 14
42
Langkah k3-3: R3 – 17R2
⇔
1 3 -2
7
0 1 -0.8462 -1.3846
0 0 7.3854 -18.4618
Langkah ke-4: R3%7.3854
⇔
1 3
0 1
0 0
-2
7
-0.8462 1.3846
1
2.4998
Langkah ke-5: R1+2R3
⇔
R2+0.8462Xr3
1 3
0 1
0 0
-2
0
1
11.9996
3.4999
2.4998
⇔
1 0
0 1
0 0
0
0
1
11.4999
3.4999
2.4998
Langkah ke-6: R1-3R2
Pada akhir langkah ke-6 semua elemen matrik telah mempunyai harga 0 (nol)
kecuali pada diagonal utama yang mempunyai harga 1 dan pada kolom paling
kanan, sehingga proses telah selesai. Hasil penyelesaian sistem persamaan
linier adalah ditunjukkan pada kolom paling kanan, yaitu X1 = 1.4999, X2 =
3.4999, dan X3 = 2.4998.
9
2. Eliminasi Gauss dengan perputaran sebagian
Matrik yang diperbesar dalam sistem persaman tersebut adalah sebagai berikut:
1
4
-5
3
-1
2
-2
3
3
7
10
7
Langkah ke-1: R1 – R3⇔
-5 2
Langkah ke-2: R1%-5 ⇔
1
Langkah ke-3: R2 - 4R1⇔
Langkah ke-4: R2↔R3 ⇔
3 7
4 -1 3 10
1 3 -2 7
-0.4 -0.6
4 -1
1 3
1
-1.4
3
-2
-0.4 -0.6
0 0.6
0 3.4
1
-0.4
0
0
10
7
-1.4
5.4
-1.4
8.4
8.4
-1.4
-1.4
5.4
8.4
15.6
-0.6
1
0.6
Langkah ke-5:
R2%3.4
⇔
1
0
0
-0.4
1
0.6
Langkah ke-6:
R3-0.6R2
⇔
1
0
0
-0.4
1
0
Langkah ke-7:
R3%5.6471 ⇔
1
0
0
-0.4 -0.6
-1.4
1
-0.4118 2.4706
0
1
2.5000
Langkah ke-8:
R10.6R3
⇔ 1
R2+0.4118R3
0
0
Langkah ke-8:
R1+0.4R2
⇔
1
0
0
-0.6
-1.4
-0.4118 2.4706
5.4
15.6
-0.6
-0.4118
5.6471
-0.4 0
1
0
0
1
0.1000
3.5001
2.5000
0
1
0
1.5000
3.5001
2.5000
0
0
1
-1.4
2.4706
14.1176
Pada akhir langkah ke-6 semua elemen matrik telah mempunyai harga 0 (nol)
kecuali pada diagonal uatama yang mempunyai harga 1 dan pada kolom paling
kanan, sehingga proses telah selesai. Hasil penyelesaian sistem persamaan
linier adalah ditunjukkan pada kolom paling kanan, yaitu X1 = 1.5000, X2 =
3.5001, dan X3 = 2.5000.
10
3. Eliminasi Gauss dengan Perputaran penuh
Matrik yang diperbesar dalam sistem persamaan tersebut adalah sebagai
berikut:
1
4
-5
3
-1
2
-2
3
3
7
10
7
Langkah ke-1: R1↔ R3
⇔
-5 2 3 7
4 -1 3 10
1 3 -2 7
Langkah ke-2: R1%-5
⇔
1
4
1
-0.4
-1
3
-0.6
3
2
Langkah ke-3: R2 – 4R1
R3-R1
⇔
1
0
0
-0.4
0.6
3.4
-0.6
5.4
-1.4
Langkah ke-4: C2↔C3
⇔
1
0
0
-0.6
5.4
1.4
Langkah ke-5:
R2%5.4
⇔
1
0
0
-0.6
1
-1.4
-0.4
-1.4
-0.1111 2.8889
3.4
8.4
Langkah ke-6:
R3+1.4R2
⇔
1
0
0
-0.6
1
0
-0.4
-1.4
-0.1111 2.8889
3.5555 12.4445
Langkah ke-7:
R3%3.5555
⇔
1
0
0
-0.6
1
0
-0.4
-1.4
-0.1111 2.88889
1
3.5001
Langkah ke-8:
R1+0.4R3
R2-0.1111R3
⇔
1
0
0
-0.6
1
0
0
0
1
0
2.5000
3.5001
Langkah ke-9:
R1+0.4R3
R1+0.6xR2
⇔
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.5000
2.5000
3.5001
-0.4
0.6
3.4
-1.4
10
7
-1.4
15.6
8.4
-1.4
15.6
8.4
Perhatikan, pada langkah ke-4 dalam perhitungan di atas elemen-elemen pada
kolom ke-2 ditukarkan dengan elemen-elemen pada kolom ke-3. hal ini akan
11
mengakibatkan pertukaran lokasi pada harga X2 dan X3. Jelasnya,
pertukaran tersebut akan mengakibatkan pertukaran pada harga X2 dan X3,
dimana X2 akan muncul pada baris ke-3 dan X3 pada baris ke-2. Oleh
karenanya hasil akhir penyelesaian yang diperoleh pada masing-masing
variabelnya juga menjadi berubah, yaitu X1 = 1.5000, X2 = 3.5001, X3 = 2.500.
Jika dihitung dengan cara subsitusi, maka hasil penyelesaianyang sebenarnya
dari sistem persamaan linier simultan di atas adalah X1 = 1.5, X2 = 3.5, dan X3 =
2.5. Sebagaimana dapat kita lihat pada hasil perhitungan dengan tiga variasi
metoda eliminasi Gauss di atas, setiap metoda telah memberikan hasil yang
berbeda. Oleh karena itu kita akan dapat membandingkan tingkat akurasi setiap
metoda tersebut berdasarkan hasil akhir penyelesaian yang diperoleh. Selisih
atau kesalahan absolut untuk metoda eliminasi Gauss tanpa perputaran adalah
0.0004, dengan perputaran sebaian adalah 0.0001 dan dengan perputaran
penuh adalah 0.0001. Pada umumnya, penerapan operasi perputaran dalam
metoda eliminasi Gauss akan dapat mengurangi tingkat kesalahan pada hasil
perhitungannya.
Dengan
kalimat
yang
lain,
operasi
perputaran
akan
menghasilkan penyelesaian yang lebih akurat.
Flowchart prosedur penyelesaian persamaan linier simultan dengan metode
eliminasi Gauss ditunjukkan oleh Gambar 10.1.
12
Mulai
Baca matrik yg diperbesar,N,M
FOR I = 1 TO N
FOR J = 1 TO N
A[I,J] = A[I,J]/A[I,I]
NEXT J
FOR K = 1 TO N
FOR J = 1 TO M
A[k,J] = A[k,J]xA[I,J]
NEXT J
NEXT K
NEXT I
FOR I = N DOWN TO 2
FOR K = I TO I-1
A[K,M]=A[K,M] – A[K,I] x A[I,M], A[K,J] = 0
NEXT K
NEXT I
Cetak hasil
Selesai
Gambar 10.1: Flowchart prosedur penyelesaian sistem persamaan linier
simultan dengan metoda eliminasi Gauss
13
10.2. Metoda Eliminasi Gauss-Jordan
Metoda eliminasi Gauss-Jordan merupakan teknik lain untuk menyelesaikan
sistem persamaan linier simultan. Proses penyelesaian dalam metoda ini hampir
sama dengan metoda eliminasi Gauss. Perbedaannya adalah bahwa dalam
metoda eliminasi Gauss-Jordan elemen-elemen di atas pivot dieliminasi pada
saat yang bersamaan sebagaimana dilakukan pada elemen-elemen di
bawahnya. Dengan demikian, tahapan subsitusi mundur tidak diperlukan lagi
dalam etoda eliminasi Gauss-Jordan. Karenanya langkah penyelesaiannya akan
lebih singkat, jika dibandingkan dengan penyelesaian dalam metoda Gauss.
Sebagaimana dalam eliminasi Gauss, operasi perputaran antar baris dan antar
kolom atau perputaran antar kolom saja juga dapat diterapkan dalam metoda ini.
Sekalipun demikian, metoda ini relatif kurang efisien dibandingkan dengan
metoda eliminasi Gauss. Hal ini disebabkan adanya kebutuhan operasi-operasi
arimatika yang lebih banyak dalam langkah-langkah penyelesaiannya.
Dengan asumsi bahwa semua elemen pada matrik yang diperbesar telah
diketahui, maka algoritma prosedur penyelesaian sistem persamaan linier
simultan dengan metoda eliminasi Gauss-Jordan dapat dituliskan sebagai
berikut:
Dari matrik yang diperbesar dengan entri A[I,J].
N menyatakan indeks terbesar pada matrik A dan M = N + 1.
A[K,J] adalah harga-harga penyelesaian untuk sistem persamaan linier simultan.
1. Mulai
2. Proses berulang langkah-3 s/d langkah-4
FOR I = 1 TO N
3. Proses berulang untuk membagi masing-masing elemen dalam baris dengan
pivot
FOR J = I TO M
Hitung
A[I,J] = A[I,J]/A[I,I]
4. Proses berulang untuk mengurangkan hasil perkalian suatu baris pada setiap
baris yang lain
FOR K = 1 TO N
14
IF K <> I
Hitung
FOR J = I TO M
A[K,J] = A[K,J] – A[K,I] x A[I,J]
5. Cetak hasil
6. Selesai
Algoritma prosedur eliminasi Gauss-Jordan di atas akan memberikan hasil yang
sama dengan algoritma prosedur eliminasi Gauss tanpa perputaran.
Untuk lebih jelasnya berikut ini akan diberikan contoh penerapannya. Jika sistem
persamaan yang akan diselesaikan adalah sama dengan contoh sebelumnya,
maka di bawah ini akan ditampilkan langkah-langkah penyelesaian dengan
menggunakkan metoda eliminasi Gauss-Jordan. Pada bagian yang lebih dahulu
adalah penyelesaian tanpa perputaran, sedangkan berikutnya merupakan variasi
dengan perputaran sebagian. Selanjutnya, anda dipersilakan mencobanya jika
menggunakan variasi penuh.
1. Eliminasi Gauss-Jordan tanpa perputaran
Matrik yang diperbesar dalam sistem persamaan tersebut adalah sebagai
berikut:
1
4
-5
3
-1
2
-2
3
3
7
10
7
Langkah ke-1:
R3+R1
⇔
1
0
0
3
-13
17
-2
11
-7
Langkah ke-2:
R2%-13
⇔
1
0
0
3
1
17
-2
-0.8462
-7
7
1.3846
42
Langkah ke-3:
R1-3R2
R3-17R2
⇔
1
0
0
0
1
0
0.5386
-462
1
2.8462
1.3846
2.4998
Langkah ke-4:
R3%7.3845 ⇔
1
0
0
0
1
0
0.5386
-462
1
2.8462
1.38446
2.4998
7
-18
42
15
Langkah ke-5:
⇔
R1-0.5386R3
R2+0.8462R3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.4998
3.4999
2.4998
Penyelesaian pada masing-masing variabel untuk sistem persamaan di atas
dengan metoda eliminasi Gauss tanpa perputaran adalah X1 = 1.4999, X2 =
2.4998, dan X3 = 2.4998.
2. Eliminasi Gauss-Jordan dengan perputaran sebagian
Matrik yang diperbesar dalam sistem persamaan terbut adalah sebagai berikut:
1
4
-5
3
-1
2
-2
3
3
7
10
7
Langkah ke-1:
R3↔R3
⇔
-5
4
1
2
-1
3
Langkah ke-2:
R1%-5
⇔
1
4
1
-0.4 -0.6
-1
3
3
-2
-1.4
10
7
Langkah ke-3:
R2-4R1
R2-4R1
R3-1R1
⇔
1
0
0
-0.4 -0.6
0.6 5.4
3.4 -1.4
-1.4
15.6
8.4
Langkah ke-4:
R2↔R3
⇔
Langkah ke-5:
R2%3.4
⇔
1
0
0
1
0
0
-0.4
3.4
0.6
-0.4
1
0.6
-0.6
-1.4
5.4
-0.6
-0.4118
5.4
-1.4
8.4
15.6
-1.4
2.4706
15.6
Langkah ke-6:
R1+0.4R2
R3-0.6xR2
⇔
1
0
0
0.6
1
0
-0.7647
-0.4118
5.6471
-0.4118
2.4706
14.1176
Langkah ke-7:
R2%5.6471
⇔
1
0
0
0
1
0
-0.7647
-0.4118
1
-0.4118
2.4706
2.5
3
3
-2
7
10
7
16
Langkah ke-8: R1+07647R3 ⇔ 1
R2+0.4118xR3
0
1
0
0
0
0
1
0
1.5
3.5001
2.5
Hasil penyelesaian yang diperoleh pada masing-masing variabel dengan
menggunakan metoda eliminasi Gauss dengan perputaran sebagian adalah X1 =
1, X2 = 3.5001, dan X3 = 2.5. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan, bahwa
Penggunaan operasi perputaran akan memberikan hasil yang lebih akurat pada
penyelesaian sistem persamaan.
Sebagai catatan tambahan, penting diperhatikan bahwa jika salah satu elemen
diagonal matrik berharga 0 (nol), algoritma eliminasi Gauss dan eliminasi Gaussjordan akan mengalami kegagalan, yaitu sejak langkah ke-2 dimana elemen pivot
membagi elemen-elemen baris. Untuk mengatasi hal ini dapat dilakukan dengan
cara menambahkan satu langkah pengecekkan harga 0 (nol) pada awal langkah
ke-2. jika ditemeukan 0 (nol) pada elemen diagonal, kemudian dicek pada baris
berikutnya untuk kolom yang sama. Penetapan pivot pada baris asli adalah
dilakukan dengan menggunakan elemen pada kolom yang lain. Dan proses
selanjutnya tetap mengikuti prosedur sebagaimana algoritma yang telah ditulis di
atas.
Flowchart prosedur penyelesaian sistem persamaan linier simultan dengan
metoda eliminasi Gauss-Jordan adalah ditunjukkan pada Gambar 10.2.
17
Mulai
Baca matrik yg diperbesar
FOR I = 1 TO N
FOR J = I TO M
A[I,J] = A[I,J]/A[I,I]
NEXT J
FOR K = 1 TO M
YA
K<>I
TIDAK
FOR J = I TO M
A[K,J] = A[K,J]-A[K,J]Xa[I,j]
NEXT J
NEXT K
NEXT I
Cetak hasil
Selesai
Gambar 10.2: Flowchart prosedur penyelesaian persamaan linier simultan
dengan metoda eliminasi Gauss-Jordan
10.3. Metoda Iterasi Jacobi
metoda Jacobi sangat menguntungkan untuk diterapkan pada penyelesaian
sistem persamaan linier simultan jika matrik koefisiennya memiliki banyak
elemen 0 (n0l), atau lebih dikenal sebagai matrik jarang (sparse matrik). Metoda
18
ini melaksanakan proses pnyelesaian sistem persamaan secara iteratif,
dan umumnya implementasi ke dalam program aplikasi komputer dapat
dilakukan dengan mundah.
Proses dalam metoda Jacobi dapat dijelaskan sebagai berikut. Mula-mula pada
langkah pertama adalah menyelesaikan salah satu variabel pada masing-masing
persamaan. Sebagai contoh, jika diketahui sistem persamaan dengan bentuk
sebagai berikut:
5X1 + X2 + 3X3 = 10
X1 + X2 + 5X3 = 8
2X1 +4X2+ X3 = 11
(1)
(2)
(3)
Bentuk persamaan-persamaan tersebut dapat ditranformasikan ke dalam bentuk
sebagai berikut ini:
X1 = 2.00 - 0.20 X2 - 0.60 X3
X2 = 2.75 - 0.5 X1 - 0.25 X3
X3 = 1.60 - 0.20 X1 - 0.20 X2
(1)
(2)
(3)
Kemudian kita membuat inisialisasi harga awal sembarang untuk masing-masing
variabel. Dalam banyak kesempatan, sering ditetapkan harga 0 (nol) pada sema
variabel, terutama jika tak ada harga awal yang lebih baik sebagai estimasi pada
harga-harga sesungguhnya yang harus dicari. Selanjutnya harga-harga tersebut
digunkan sebagai dasar bagi estimasi harga-harga variabel yang sebenarnya
lebih baik. Prosedur ini dilakukan berulang-ulang hingga harga-harga variabel
yang sebenarnya ditemukan. Harga penyelesaian akan ditemukan apabila harga
kedua estimasi yang berururtan telah cukup rapat atau memiliki selisih yang
sangat kecil. Kriteria yang menentukan telah ditemukanya harga penyelesaian
adalah jika jumlah kuadrat selisih hasil hitungan lebih kecil dari batas yang
ditentukan. Batas ketelitian yang digunakan biasanya adalah suatu harga yang
sangat kecil hampir mendekati 0 (nol) yang sering disebut epsilon.
Jika X
I
J
menyatakan harga estimasi variabel XJ pada iterasi ke-I, dan N adalah
menyetakan cacah variabel yang akan diselesaikan, maka kita akan memperoleh
harga-harga X1, X2, …XN sebagai penyelesaian sistem persamaan jika:
19
N
∑( X
J =1
I
J
− X JI −1 ) 2 < EPSILON
Dengan demikian, jika N menyatakan cacah variabel yang tidak diketahui dan X1,
X2, …XN adalah larik harga awal yang diinisialisasikan, dan F1, F2,
…FNmenyatakan
persamaan-persamaan
yang
akan
digunakan
untuk
menyelesaikan sistem persamaan, maka algoritma di bawah ini akan
menyelesaikan persamaan-persamaan berikut:
X1
X2
X3
.
.
XN
= F1 (X2,X3…XN)
= F2 (X1,X3, X4 …XN)
= F3 (X1,X3, X4 …XN)
.
.
= FN (X1,X2…XN-1)
Harga-harga pendekatan pada iterasi yang lebih akhir akan disimpan dalam
vektor yang diberi nama BARU. Proses akan berhenti ketika jumlah kuadrat
selisih dua hasil yang berurutan kurang dari harga EPSILON atau jika iterasi
perulangan telah dilakukan 30 kali. Dengan batasan cacah iterasi sebanyak 30
tersebut, maka apabila sistem persamaan memang memiliki penyelesaian akan
dapat ditemukan.
Dari sistem persamaan yang telah ditransformasikan dalam bentuk:
X[J] = F[J](X[1], X[2], … X[J-1], X9[J+1],… X[N]).
N menyatakan indeks terbesar dalam sistem persamaan linier simultan.
X[J] adalah harga-harga penyelesaian yang dicari untuk sistem persamaan linier
simultan.
1. Mulai
2. Tentukan cacah maksimal iterasi untuk melaksanakan langkah-3 s/d 5
FOR I = 1 TO 30
3. Proses berulang untuk menghitung harga-harga pendekatan baru
FOR J = 1 TO N
Hitung
BARU[J] = F[J](X[1], X[2],…X[J-1], X[J+1],…X[N]).
4. Tes konvergensi hasil perhitungan
JUMLAH = 0
20
FOR J = 1 TO N
Hitung
JUMLAH = JUMLAH+(BARU[J]-X[J]^2
Cek konvergensi
IF JUMLAH < EPSILON
Jika ya, cetak hasil perhitungan
(BARU[1], BARU[2],…BARU[N])
Selesai
5. Proses berulang untuk menentukan hraga-harga pendekatan baru
FOR J = 1 TO N
X[J] = BARU [J]
6. Cetak pesan bahwa konvergensi gagal/penyelesaian tidak ditemukan
(“Penyelesaian tidak ditemukan dalam 30 iterasi, hasil hitungnya: “,
X[1],X[2],…X[N])
7. Selesai
Flowchart prosedur untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metoda
Jacobi adalah ditunjukkan pada Gambar 10.3. Selanjutnya, Tabel 10.1 adalah
menunjukkan contoh proses penyelesaian sistem persaman diatas, yaitu:
X1 = 2.00 - 0.20 X2 - 0.60 X3
X2 = 2.75 - 0.5 X1 - 0.25 X3
X3 = 1.60 - 0.20 X1 - 0.20 X2
(1)
(2)
(3)
Harga awal yang digunakan untuk X1, X2, dan X3 masing-masing adalah 0 (nol).
Tingkat ketelitian yang digunakan adalah 4 (empat) digit di belakang koma atau
0,0001. Berdasarkan hasil perhitungsn dalam tabel tersebut, maka harga
penyelesaian yang diperoleh adalah X1 = 1.0000, X2 = 2.0000, dan X3 = 1.0000.
Penyelesaian tersebut adalah ditemukan setelah 21 iterasi perulangan.
21
Tabel 10.1: Contoh penyelesaian sistem persamaan linier simultan secara
iteratif dengan metoda Jacobi
Iterasi Ke
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
X1
0
2.0
0.49
1.34
0.7943
1.1275
0.9201
1.0490
0.9695
1.0188
0.9883
1.0072
0.9955
1.0027
0.9983
1.0010
0.9993
1.0004
0.9998
1.0001
0.9999
1.000
X2
0
2.75
1.35
2.3425
1.7720
2.1379
1.9144
2.0532
1.9672
2.0203
1.9874
2.0078
1.9952
2.0030
1.9982
2.0011
1.9993
2.0004
1.9997
2.0001
1.9999
2.0000
X3
0
1.6
0.65
1.232
0.8635
1.0871
0.9469
1.0331
0.9796
1.0126
0.9921
1.0048
0.9970
1.0018
0.9988
1.0007
0.9995
1.0002
0.9998
1.0001
0.9999
1.0000
22
Mulai
Baca sistem persamaan, N,ε
FOR I = 1 TO 30
FOR J = 1 TO N
BARU[J]=F[J](X1,X[2],…X[J-1],X[J+1],…X[N]
NEXT J
JUMLAH = 0
FOR J = 1 TO N
JUMLAH = JUMLAH+(BARU[J]-X[J])^2
YA
JUMLAH<ε
Cetak”Penyelesaian adalah:”,
BARU[1],BARU[2],…BARU[N]
TIDAK
NEXT J
FOR J = 1 TO N
X[J]=BARU [J]
NEXT J
NEXT I
Cetak”Penyelesaian tidak ditemukan dalam
30 iterasi, hasil hitung:”,X[1],X[2],…X[N]
mulai
Gambar 10.3: Flowchart prosedur penyelesaian persamaan linier simultan
secara iteratif dengan metoda Jacobi
10.4. Metoda Iterasi Gauss-Seidel
Metoda Gauss-Seidel merupakan modifikasi dari metoda Jacobi. Dalam metoda
Jacobi harga-harga pendekatan baru pada iterasi berikutnya adalah selalu
didasarkan pada harga-harga pendekatan sebelumnya yang baru saja dihitung.
23
Jika harga-harga pendekatan baru tersebut dihitung secara individual,
maka metoda ini disebut metoda iterasi Gauss-Seidel. Metoda ini dijamin lebih
berhasil jika koefisien pada variabel dalam masing-masing persamaan
mempunyai magnitude lebih besar dari pada jumlah absolut harga koefisienkoefisien lain dalam persamaan. Kondisi semacam ini lebih menguntungkan
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan dalam bidang teknik.
Sebagaimana dalam metoda Jacobi, jika N adalah menyatakan cacah variabel
yang tidak diketahui, X1, X2,…XN adalah larik harga awal yang ditetapkan, F1,
F2,…FN
menyatakan
persamaan-persamaan
yang
akan
digunkan
untuk
menyelesaikan sistem persamaan, maka algoritma prosedur metoda GaussSeidel dapat dituliskan seperti di bawah ini.
Dari sistem persamaan yang telah diteransformasikan dalam bentuk:
X[J]=F[J](X[1],X[2],…X[J-1],X[J+1],…X[N])
N menyatakan indeks terbesar dalam sistem persamaan linier simultan.
EPSILON menyatakan batas ketelitian yang digunakan.
1. Mulai
2. Menentukan batas maksimal iterasi untuk melaksanakan langkah-3 s/d 4
Inisialisasikan
JUMLAH = 0
Proses berulang
FOR J = I TO J
Hitung
LAMA = X[J]
X[J] = F[J](X[1], X[2],…X[J-1], X[J+1],…X[N])
3. Tes konvergensi hasil perhitungkan
IF JUMLAH <EPSILON
Jika ya, cetak hasil
(“Penyelesaianya adalah:”,X[1],X[2],…X[N]
4. Cetak pesan bahwa konvergensi gagal/penyelesaian tidak ditemukan
(“Pernyelesaian tidak ditemukan dalam 30 iterasi, hasil hitungannya:”,
X[1],X[2],…X[N])
5. Selesai
24
Flowchart prosedur sistem persaman linier simultan dengan metoda GaussSeidel
adalah
ditunjukkan
pada
Gambar
10.4.
dan
sebagai
contoh
penerapannya, Tabel 10.1 adalah menunjukkan proses perhitungan pendekatan
pada harga-harga penyelesaian untuk sistem persamaan berikut:
X1 + -1.4000 + 0.4000 X2 + 0.6000 X3
X2 + 2.3333 + 0.3333 X1 + 0.6666 X3
X3 + 3.3333 + 1.3333 X1 + 0.3333 X3
Mulai
Baca sistem persamaan,N,ε
FOR I = 1 TO 30
JUMLAH = 0
FOR J = 1 TO N
LAMA = X[J]
X[J]=F[J](X[1],X[2],…X[J-1],X[J+1],…X[N]
JUMLAH = JUMLAH+(X[J]-LAMA)^2
Ya
NEXT J
JUMLAH<ε
Tidak
NEXT J
Cetak penyelesaian adalah:”,
X[1],X[2],..x[n]
Cetak penyelesaian tidak ditemukan dalam
30 iterasi, hasil hitung X[1],X[2],..x[n]
Selesai
Gambar 10.4: Flowchart prosedur penelesaian linier simultan secara iteratif
dengan metoda Gauss-Seidel
25
Tabel 10.2: Contoh menyelesaikan sistem persamaan linier simultan
secara iteratif dengan metoda Gauss-Seidel
X2
X3
Iterasi Ke:
X1
0
0
0
0
0.85
1.75
2.0
1
0.9785
1.9675
1.14
2
0.9970
1.9956
1.0194
3
0.9996
1.9994
1.0026
4
0.9999
1.9999
1.0003
5
1.0000
2.0000
1.0000
6
Dengan menggunakan harga awal untuk X1, X2, X3 masing-masing adalah 0 (nol)
dan dengan menggunakan tingkat ketelitian 4 digit desimal (=0.0001), maka
sebagaimana terlihat dalam tabel tersebut, untuk menentukan harga-harga
penyelesaian sistem persamaan linier simultan di atas, hanya diperlukan 6 iterasi
perulangan saja. Hasil akhirnya masing-masing adalah X1 = 1.0000, X2 = 2.0000,
X3 = 1.0000.