Sistem persamaan linier - E

SISTEM PERSAMAAN LINIER
Metode Numerik
S1 Teknik Informatika
Sumarni Adi
PERSAMAAN LINIER SIMULTAN

Adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yg secara bersamasama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier
simultan dgn m persamaan dan n variabel bebas dpt dituliskan :
) a₁₁ x ₁ +a ₁₂ x₂+a₁₃x₃+…+a₁nxn =b₁
 ) a₂₁ x ₁ +a ₂₂ x₂+a₂₃x₃+…+a₂nxn =b₂
 ) a₃₁ x ₁ +a ₃₂ x₂+a₃₃x₃+…+a₃nxn =b₃
 ) a₄₁ x ₁ +a ₄₂ x₂+a₄₃x₃+…+a₄nxn =b₄
----------------------------------------------------am₁x₁ + am₂x₂ + am₃x₃ +… + amnxn = bm
Dimana :
aij untuk i =1 sampai m dan j = 1 sampai n adalah koefisien atau persamaan
simultan
Xi untuk i =1 sampai n adalah variabel bebas pada persamaan simultan.

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk
semua i =1 sampai n yang memneuhi semua persamaan yang diberikan
2
MATRIKS

Persamaan linier simultan di atas dpt dinyatakan
dlm bentuk matriks, yaitu :
a11 a12 a13 ... a1n
x₁
b1
a21 a22 a23 … a2n
x₂
b2
a31 a32 a33 … a3n
x₃
b3
…. …. …. …. ….
… = …
am₁ am₂ am₃ .… amn
xn
b
n
Dapat dituliskan : A x = B,
matriks A dinamakan matriks koefisien dari persamaan linier simultan.
Vektor x disebut sebagai vektor variabel
vektor B disebut sebagai vektor konstanta
3
AUGMENTED MATRIKS (MATRIKS PERLUASAN)
adalah matriks yg merupakan perluasan matriks A
dgn menambahkan Vektor B pada kolom
terakhirnya dan di tuliskan : Augmented (A) = [AB]
 Sehingga secara detail, augmented matriks dr
persamaan linier simultan dpt dituliskan :
a11 a12 a13 ... a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2
a31 a32 a33 … a3n b3
…. …. …. …. ….
am₁ am₂ am₃ .… amn bn

4
OPERASI ARITMATIKA MATRIKS
Ingat kembali operasi penjumlahan pada
matriks
 Ingat kembali operasi pengurangan pada
matriks
 Ingat kembali operasi perkalian pada matriks

Masih Ingat ???? 
5
CONTOH

Seorang engineering komputer ingin merakit 2
jenis komputer yaitu komputer A dan komputer B.
kedua komputer tersebut menggunakan 3
hardware utama yaitu RAM, processor, dan HDD.
Komputer pertama menggunakan 2 RAM, 1
Processor, dan 2 HDD, sedangkan komputer
kedua menggunakan 3 RAM, 2 Processor, dan 1
HDD. Permasalahannya adalah Tuliskan
persamaan linier simultannya jika hardware yg
dimiliki 82 RAM, 62 processor dan 72 HDD ?
6
JAWABAN
Permasalahn di atas dapat dimodelkan dgn menyatakan :
x = jumlah komputer A
Y = jumlah komputer B
Setiap HW dpt dinyatakan :
RAM  2 RAM untuk Komputer A + 3 RAM untuk
Komputer B
Processor  1 Processor untuk Komputer A + 2
Processor untuk Komputer B
HDD  2 HDD untuk Komputer A + 1 HDD untuk
Komputer B
Atau dapat dituliskan dengan :
2x + 3y = 82
X+2y = 62
2x+y = 72
7
LATIHAN
1.
Sebuah garmen membuat 3 macam produk yaitu kursi,
meja dan lemari. Produk-produk tsb membutuhkan 3
jenis bahan yaitu kayu papan, kayu ring dan paku.
Spesifikasi produk :



1 kursi membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 10 paku
1 meja membutuhkan 2 kayu papan, 6 ring dan 12 paku
1 lemari membutuhkan 10 kayu papan, 10 ring dan 20
paku
Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier
simultannya jika tersedia 108 kayu papan, 204 kayu
ring dan 376 paku ?
8
LATIHAN
2. Seorang petani ingin menanam padi, jagung dan
ketela diatas tanah seluas 12 hektar dgn
ketentuan :
Setiap hektar padi membutuhkan 10 kg pupuk urea
dan 6 kg pestisida
 Setiap hektar jagung membutuhkan 8 kg pupuk urea
dan 4 kg pestisida
 Setiap hektar ketela pohon membutuhkan 5 kg pupuk
urea dan 3 kg pestisida
Permasalahannya adalah Tuliskan persamaan linier
simultannya jika tersedia 97 kg pupuk urea dan 55 kg
pestisida ?

9
LATIHAN
Perusahaan IBM memproduksi komputer,keputusan yang
akan dibuat adalah berapa komputer yang akan
diproduksi bulan depan untuk pasar di boston.
Untuk memproduksi CC7 diperlukan labor 300hari kerja
dan material $10.000
Untuk memproduksi CC8 diperlukan labor 500hari kerja
dan material $15.000
Profit yg diinginkan $8000/CC7 dan $12000/CC8
Kapasitas produksi 200.000 hr kerja/bln,budget material
$8.000.000/bln.
Kebutuhan komputer dipasar boston 100 unit CC7/bln
Kebutuhan komputer dipasar boston 200 unit CC8/bln
Permasalahannya : Tentukan persamaan simultannya ???
10
JAWABAN
X = jml komputer CC7 yg diproduksi
y= jml komputer CC8 yg diproduksi
Labor : 300x+500y <=200.000
Material : 10.000x+15.000y <=8.000.000
Kebutuhan pasar : x >=100, y >=200
Profit/bln : z = 8000x+12.000y
11
THEOREMA PERS LINIER SIMULTAN

Persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat :
 Ukuran
persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan = jml variabel bebas
 Persamaan linier simultan non-homogen, dimana
minimal ada satu nilai vektor konstanta B tidak nol
atau ada bn ≠ 0
 Determinan dari matriks koefisien persamaan linier
simultan ≠ 0
12
Untuk menyelesaikan permaslahan persamaan
linier simultan dpt dilakuakn dgn metode grafis
atau aturan crammer (Invers)
 Permasalahan akan muncul ketika jumlah
variabel dan jumlah persamaanya >=4,
sehingga metode di atas akan sulit dilakukan,
maka metode numerik mengusulkan beberapa
metode, yaitu :

1.
2.
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
13
1. METODE ELIMINASI GAUSS
Metode ini merupakan pengembangan dr
metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau
mengurangi jumlah variabel sehingga diperoleh
nilai dari suatu variabel bebas
 Untuk menggunakan metode eliminasi gauss
ini, terlebih dahulu bentuk matriks diubah
menjadi augmented matriks

14
ALGORITMA METODE ELIMINASI GAUSS
Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n
2.
Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A
3.
Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n, perhatikan apakah nilai ai,i = 0.
Bila ya :
tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠ 0, bila tdk ada berarti
perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn tanpa
penyelesaian.
Bila Tidak : Lanjutkan
4. untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer :
1.
Hitung c = aj,i/ai,i
 Untuk kolom k dimana k =1 sampai n+1
Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k
5. Hitung akar, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
Xi = 1 (bi-ai,i+1xi+1 - ai,i+2xi+2 - … - ai,nxn), dimana nilai i+k<=n
ai,i
Catatan : Metode eliminasi gauss ini merupakan metode eliminasi yg sering digunakan
semasa SMA, hanya saja tekniknya menggunakan persamaan bukan menggunakan
augmented matriks

15
CONTOH

Selesaikan sistem persamaan berikut :
X₁+X₂+X₃ = 6
X₁+2X₂ - X₃ = 2
2X₁+X₂+2X₃ = 10
16
JAWAB
Buat menjadi augmented matriks :
1116
1 2 -1 2
2 1 2 10
Lakukan operasi baris elementer sbg berikut :
B2-B1
B3 - 2B1, Menjadi :
1116
0 1 -2 -4
0 -1 0 -2
17
LANJUT
B3+B2
1116
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6
Dengan demikian diperoleh penyelesaian :
X₃ = -6/-2 = 3
X₂ = 1/1 (-4-(2)3) = 2
X₁ = 1/1 (6-2-3) = 1
18
2. ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi gauss, hanya saja metode ini
menggunakan augmented matriks pada
sebelah kiri dibawah menjadi matriks diagonal.
 Contohnya :
a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁n b₁
1 0 0 … 0 d₁
a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂n b₂
0 1 0 … 0 d₂
a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃n b₃
0 0 1 … 0 d₃
… … … … …
… … … … … …
an₁ an₂ an₃ ann bn
0 0 0 0 0 dn

19
2. ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Penyelesaian dari persamaan linier simultan di
atas adalah nilai d₁, d₂, d₃,…. dn
 Atau penyelesaiannya x₁ = d₁, x₂ = d₂, x₃ = d₃, …, Xn =
dn
 Teknik yg digunakan pada metode eliminasi gaussjordan ini sama seperti metode eliminasi gauss,
yaitu menggunkan OBE (Operasi Baris Elementer)
 Bedanya perhitungan penyelesaian secara langsung
diperoleh dari nilai pada kolom terakhir setiap baris

20
ALGORITMA METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
1.
2.
3.
Masukkan matriks A dan vektor B beserta ukurannya n
Buat augmented matriks [A|B], namakan dgn A
Untuk baris ke-i dimana i = 1 sampai n,
1.
perhatikan apakah nilai ai, = 0.
i
Bila ya :
tukarkan baris ke – i dan baris i+k<=n, dimana ai+k,i ≠ 0, bila tdk ada
berarti perhitungan tdk bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dgn
tanpa penyelesaian.
Bila Tidak : Lanjutkan
2. Jadikan nilai diagonalnya menjadi 1, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k
= 1 sampai n+1, hitung ai,k = ai,k/ai,i
4. untuk
baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris elementer :
Untuk kolom k dimana k =1 sampai n
Hitung c = aj,i
Hitung aj,k = aj,k - c.ai,k
5. Penyelesaian, untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke-n sampai baris pertama)
Xi = ai,n+1

21
2. ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Contoh :
Selesaikan persamaan linier simultan :
x₁ + x₂ = 3
2x₁ + 4x₂ = 8
22
1 1
2 4
3
8
 AUGMENTED MATRIKS
Lakukan operasi OBE :
1
0
1
2
3
2
1 1 3
0 1 1
B2-2B₁
B2/2
1 0 2
B1-B2
0 1 1
Penyelesaian persamaan linier simultan tsb adalah :
x₁ = 2, x₂ = 1
23
LATIHAN
Selesaikan SPL simultan berikut dengan metode
Gauss-Jordan :
X₁+X₂+X₃ = 6
X₁+2X₂ - X₃ = 2
2X₁+X₂+2X₃ = 10
24
JAWABAN
1 1 1 6
1 2 -1 2
2 1 2 10
1 1 1 6
0 1 -2 -4
1 0 1 4
B3-B1
B1-B2
1 1 1 6
1 2 -1 2 B2-B1
1 0 1 4
1 0 3 10
0 1 -2 -4
1 0 1 4 B3-B1
25
JAWABAN
1 0 3 10
0 1 -2 -4
0 0 -2 -6
B3/-2
1 0 0 1
0 1 -2 -4 B2+2B3
0 0 1 3
1 0 3 10 B1-3B3
0 1 -2 -4
0 0 1 3
1 0 0 1 X1 = 1
0 1 0 2 X2 = 2
0 0 1 3 X3 = 3
26