HO11 SPL mtk

Handout Matematika Terapan 1
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Definition.
Persamaan ax + by + cz +dw = h
Dimana a, b, c, d dan h adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x, y, z, dan w
adalah bilangan yang tidak diketahui nilainya, disebut sebuah
linear
equation/persamaan linier. If h = 0, the linear is said to be homogeneous. A linear
system is a set of linear equations and a homogeneous linear system is a set of
homogeneous linear equations.
For Example,
1. SPL dengan 2 variabel (x,y) dan 3 variabel (x,y,z) yang tidak diketahui :
2 x  3 y  1

 x  3 y  2
x  y  1

 x  3 y  2
x  y  z  1

 x  3 y  3z  2
2. An homogeneous linear system
2 x  3 y  3z  w  0

 0
 x  3y
x  y 
w  0

Persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasill kali atau akar variable. Semua variable
hanya terdapat sampai dengan angka pertama dan tidak muncul sebagai argumen untuk
fungsi trigonometric, fungsi logaritmik, atau fungsi eksponensial. Berikut contoh yang
bukan merupakan persamaan linier:
x + 3y2 = 7
3x + 2y –z +xz = 4
y – sin x = 0
x1 + 2x2 + x3 = 1
Sebuah system persamaan yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan inconsistent (tak
konsisten). Contoh :
x+y=4
2x + 2y = 6
Suatu SPL dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks :
ax  by  cz  dw
 fx  gy  hz  iw


kx  ly  mz  nw
 qx  ry  sz  tw
Jurusan Manajemen Informatika

e

j

p
 u
1
Handout Matematika Terapan 1
a

f
A= 
k

q

b
g
l
r
d

h i
, C=
m n

s t 
c
e
 x
 
 
 j
 y
 p  , and X =  z 
 
 
u
 w
 
 
A.X=C
The augmented matrix (matriks augmented) associated with the system is the matrix
[A|C], where
a

f
[A|C] = = 
k

q

b
c
g
h
l
m
r
s
e

i j
n p

t u 
d
Jika sebuah SPL mempunyai n buah persamaan dengan m bilangan yang tidak diketahui,
maka matriks koefisien (A) akan berukuran nxm, dan matriks augmented akan berukuran
n x (m+1).
Untuk menyelesaikan suatu SPL, dapat digunakan beberapa cara diantaranya:
1.
Metode Cramer
2.
Eliminasi Gauss Jordan
Metode Cramer
- Carilah determinan dari matriks A
- Bentuklah matriks-matriks baru Aj, dengan j menandakan kolom yang bersesuaian
diganti dengan matriks C, akan didapat m buah matriks Aj(sebanyak bilangan yang
tidak diketahui)
- Carilah masing-masing determinan dari matriks Aj
Aj
-
[X] =
A
Example: Consider the linear system
 x  y  2z  9

2 x  4 y  3 z  1
3 x  6 y  5 z  0

Jika kita mencari penyelesaian system linier dengan aturan Cramer, maka:
1 1 2 


A =  2 4  3
 3 6  5


9
 
dan C =  1 
 0
 
Jurusan Manajemen Informatika
2
Handout Matematika Terapan 1
1 1
2
4  3 = -1
3 6 5
|A| = 2
Dan |Aj| bisa kita dapatkan dengan mengganti kolom bersesuaian dengan C, sehingga
didapat:
9 1
2
4  3 = -1
0 6 5
|Ax| = 1
1 9
2
1  3 = -2
3 0 5
|Ay| = 2
1 1 9
|Az| = 2
4 1 = -3
3 6 0
Maka:
x
Ax
A

Ay
2
1

 2,
 1, y 
A
1
1
z
Az
A

3
3
1
Gaussian Elimination (Eliminasi Gaussian)
- Bentuklah matriks augmented dari SPL
- Gunakan OBE (Operasi Baris Elementer) untuk mengubah matriks augmented
menjadi sebuah matriks upper triangular
- Matriks baru yang dihasilkan merupakan SPL baru yang harus diselesaikan
menggunakan metode substitusi
Example. Consider the linear system
 x  y  2z  9

2 x  4 y  3 z  1
3 x  6 y  5 z  0

Tambahkan –2x persamaan. I ke
Persamaan II
x  y  2z
9
2 y  7 z  17
3x  6 y  5 z  0
Tambahkan –3x persamaan. I ke
Persamaan III
Jurusan Manajemen Informatika
 1 1 2 9


 2 4  3 1
 3 6  5 0


Tambahkan –2x baris. I ke
Baris II
1 1 2
9 


 0 2  7  17 
3 6  5 0 


Tambahkan –3x baris. I ke
Baris III
3
Handout Matematika Terapan 1
x  y  2z
9
2 y  7 z  17
3 y  11z  27
Kalikan persamaan. II dengan 1/2
x  y  2z
9
7
17
y z 
2
2
3 y  11z  27
Tambahkan –3x persamaan. II ke
Persamaan III
x  y  2z
9
7
17
y z 
2
2
3
1

z
2
2
Kalikan persamaan. III dengan -2
x  y  2z
9
7
17
y z 
2
2
z3
1 1 2
9 


 0 2  7  17 
 0 3  11  27 


Kalikan baris. II dengan 1/2
1 1
2
9 


 0 1  7 2  17 2 
 0 3  11  27 


Tambahkan –3x baris. II ke
baris III
1 1
2
9 

0 1  7
 17 
2
2

0 0  1
3 
2
2

Kalikan baris. III dengan -2
1 1
2
9 


 0 1  7 2  17 2 
0 0
1
3 

Dari sini kita mendapatkan nilai z = 3, dan dari persamaan II kita dapatkan y = 2, serta
dari persamaan I kita mendapatkan x = 1
Example. Solve the following system via gaussian elimination
2 x  3 y  z  2w  3v
4 x  4 y  z  4w  11v


2 x  5 y  2 z  2 w  v

2y  z
 4v

4

4

9
 5
The augmented matrikx is
Jurusan Manajemen Informatika
4
Handout Matematika Terapan 1
2  3 1

4  4 1
2  5  2

0 2
1

4 

4 11 4 
2 1 9 

0 4  5 
2
3
Menggunakan OBE kita berusaha untuk menemukan matriks triangularnya:
2  3 1

4  4 1
Tahap I: 
2 5 2

0 2
1

4 

4 11 4 
2 1 9 

0 4  5 
2
3
Tambahkan –2x baris I ke baris II, lalu
Tambahkan –1x baris I ke baris III
maka akan didapat :
2  3 1 2 3
4 


1 0 5  4
0 2
Tahap II: 
0  2 1 0  4 5 


0 2

1
0
4

5


Tambahkan baris II ke baris III, lalu
Tambahkan –1x baris II ke baris IV
maka akan didapat:
2  3 1

1
0 2
0 0
0

0 0
0

4 

0 5  4
0 1
1 

0  1  1 
2
3
Next we keep the first three rows. We add the last one to the third to get
2  3 1 2 3
4 


1 0 5  4
0 2
0  2 1 0  4 5 


0 2

1
0
4

5


This is a triangular matrix. Its associated system is
2 x  3 y  z  2w  3v  4

2y  z
 5v   4


v  1

Clearly we have v = 1 . set z = s and w = t, then we have
y = 2 
1
5
9 1
z v= 
 s
2
2
2 2
The first equation implies
x=2+
Jurusan Manajemen Informatika
3
1
3
y - z w  v
2
2
2
5
Handout Matematika Terapan 1
Using algebraic manipulations, we get
x=
25 5
 st
4 4
Putting all the stuff together, we have
 25 1

 s  t
 x  
   4 4

 y   9  1 s 
z

2 2
  

s
 w 

t
v 

  

1


Latihan Soal
1. Hitunglah nilai variabel keputusan dari sistem persamaan linier berikut ini dng
menggunakan aturan/kaidah Cramer, cara invers matriks, metoda Gauss dan
Metoda Gauss Yordan.
a. 2a + 3b - c = 5
a + 4b + c = 12
3a – 2b + 2c = 5
b. 7a + 6b + 4c = 170
9a + 9b – 6c = 120
5a - 6b + 5c = -60
2. Gunakan cara Cramer, cara invers matriks, metoda Gauss dan Metoda Gauss
Yordan untuk menyelesaikan persamaan linier simultan berikut
a. 2x + 3y – 2z = 30
5x + 2y – 4z = 20
6x – 2y + 2z = 30
b. 2x + 6y – 2z = 30
3x + 6y
= 45
3x – 6y + 8z = 55
3. Diketahui matriks :
 2 0  8


M  8 9 9 
 1 0  4


Tentukan ; a .Determinan M
b. Matriks kofaktor dari M
c. Invers matriks M
Jurusan Manajemen Informatika
6
Handout Matematika Terapan 1
Jurusan Manajemen Informatika
7