BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep

BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi
sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang
dibahas dalam tulisan ini seperti peluang,peubah acak, bayes, likelihood, dan distribusi
weibull.
2.1. Peluang
Definisi 1
Eksperimen-eksperimen yang memiliki karakteristik tersebut, selanjutnya disebut
eksperimen acak. Kemudian, himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen
acak disebut ruang sampel (sample space) dan diberi lambang S.
(Djauhari, 1990: 3)
Contoh 1:
Misalkan kita melakukan eksperimen, melantunkan sebuah dadu, dan setelah jatuh ke
tanah, kita amati bagian atasnya. Hasilnya yang mungkin dari eksperimen ini bisa muncul
1,2,3,4,5,ataupun 6. Jika dianggap bahwa eksperimen tersebut dapat dilakukan berulangulang pada kondisi yang sama, maka eksperimen tersebut merupakan eksperimen acak.
Ruang sampelnya S = {1,2,3,4,5,6}.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
(Walpole, 1986 : 4)
Contoh 2:
Misalkan A = {t | 0 ≤ t < 5} himpunan bagian ruang sampel S = {t | t ≥ 0}, t menyatakan
umur (dalam tahun) suatu komponen mesin tertentu dan A menyatakan kejadian bahwa
komponen akan rusak sebelum akhir tahun ke lima.
Definisi 3
Koleksi himpunan A ≠
yang tertutup terhadap komplemen dan irisan hingga disebut
lapangan.
(Djauhari, 1990: 16)
Definisi 4
Koleksi himpunan A ≠
yang tertutup terhadap komplemen dan irisan terbilang disebut
lapangan sigma.
(Djauhari, 1990: 16)
Definisi 5
Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak dan A suatu lapangan sigma yang
terdiri atas himpunan bagian dari S. Peluang adalah fungsi P dari A pada [0, 1] yang
bersifat:
i. P(A) ≥ 0 untuk setiap A di A
ii. P(S) = 1
iii.
, untuk setiap
… di A dimana
bila
i≠j.
(Djauhari, 1990: 17)
Universitas Sumatera Utara
Teorema 1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama,
dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian
A adalah
Keterangan:
P(A)
= peluang kejadian A
n(A)
= banyaknya harapan muncul A
N
= banyaknya kejadian
(Walpole, 1986: 17)
2.2. Peubah Acak
Definisi 6
Diketahui S adalah ruang sampel. Fungsi X dari S ke R dinamakan peubah acak. Jelajah
(range) dari X yakni
= {x|x = X(c), c di S}dinamakan ruang peubah acak X atau ruang
dari X.
(Djauhari, 1990: 28)
2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (f.k.p)
F.k.p. dari Peubah Acak Diskrit
Definisi 7
Misalkan A ruang dari peubah acak diskrit X. Jadi A terbilang. Fungsi f dari A ke dalam
R yang bersifat:
i. f(x) ≥ 0, untuk setiap x di A
Universitas Sumatera Utara
ii.
=1
dinamakan fungsi kepadatan peluang (f.k.p.) dari peubah acak diskrit X. Jika peubah acak
X diskrit dengan f.k.p f(x), maka peluang suatu A diberikan oleh:
P(X = x) = f(x)
(Djauhari, 1990: 41)
Definisi 8
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random X dengan distribusi peluang f(x)
dinyatakan oleh
F(x) = P(X ≤ x) =
(Walpole, 1986: 38)
2.2.2 F.k.p. dari Peubah Acak Kontinu
Definisi 9
Misalkan A ruang peubah acak kontinu X. Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:
i. f(x) ≥ 0, untuk setiap x
ii.
dinamakan f.k.p. dari peubah acak kontinu X.
Jika peubah acak kontinu X memiliki f.k.p. f(x) = 0 maka peluang suatu peristiwa A
diberikan oleh
P(A) =
(Djauhari, 1990: 42)
Definisi 10
Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x)
diberikan oleh
Universitas Sumatera Utara
F(x) = P(X ≤ x) =
(Walpole, 1986: 44)
2.3 Ekspektasi Matematik
Definisi 11
Misalkan u(x) suatu fungsi dari X. Besaran
(jika ada), dinamakan ekspektasi matematik atau nilai harapan dari u(x).
(Djauhari, 1990: 66)
2.4 Pendekatan Bayes Untuk Menentukan Estimator
Bila dalam pendekatan klasik estimator yang diperoleh hanya berdasarkan pada informasi
sampel, dalam pendekatan Bayes di samping informasi sampel juga diperlukan informasi
tentang parameter.
Definisi 12
Suatu informasi pada ruang parameter disebut informasi prior. Informasi ini dipandang
sebagai distribusi peluang pada ruang parameter yang disebut distribusi prior.
(Soejoeti, 1988: 129)
Universitas Sumatera Utara
Definisi 13
Distribusi bersyarat θ jika diberikan observasi sampel X disebut distribusi posterior θ dari
diberikan X dan dinyatakan dengan (
).
(Soejoeti, 1988)
Dalam menentukan distribusi posterior, khususnya untuk kasus kontinu kadang
diperlukan perhitungan integral yang tidak mudah, yaitu apabila fungsi matematikanya
tidak sederhana, salah satu cara mengatasi kesulitan ini adalah dengan menggunakan
distribusi prior sekawan.
Definisi 14
Misalkan F adalah klas dari distribusi peluang dengan fkp f(x ; θ). Klas P dari distribusi
prior disebut distribusi keluarga sekawan untuk F jika distribusi posterior berada dalam P
untuk semua f
F, semua prior dalam P dan semua x
X.
Tiga sifat yang merupakan sifat yang disenangi bagi keluarga prior sekawan adalah :
1. Secara matematik dapat ditelusuri, yaitu cukup mudah untuk menentukan
distribusi posterior dari distribusi prior dan fungsi likelihood yang dipunyai,
menghasilkan distribusi posterior yang juga anggota sekawan yang sama,
sehingga tidak sulit menggunakan teorema Bayes berturut-turut, serta mudah
dihitung nilai harapannya.
2. Keluasannya, yaitu keluarga distribusi sekawan meliputi distribusi dengan
parameter-parameter yang berbeda, sehingga mewakili berbagai macam informasi
prior yang berbeda.
3. Mudah diinterpretasikan, yaitu keluarga distribusi sekawan dapatdengan mudah
diinterpretasikan oleh orang yang mempunyai informasi prior tersebut.
(Soejoeti, 1988: 4.7)
Universitas Sumatera Utara
Definisi 15
Misalkan
…,
sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ).
…,
Statistik
dikatakan cukup (sufien) untuk θ apabila untuk semua
…,
θ dan semua hasil yang mungkin, fungsi probabilitas
jika diketahui w
tidak tergantung pada θ , baik dalam fungsi itu sendiri atau dalam wilayah fungsi itu.
Untuk menentukan statistik cukup biasanya tidak menggunakan definisi 15, tetapi
lebih mudah mengerjakannya dengan kriteria Fisher-Neyman.
(Soejoeti, 1990)
Teorema 2 (Kriteria Fisher-Neyman)
Misalkan
…,
…,
bersama
…,
sampel random dari fungsi probabilitas f(x;θ). Statistik
dikatakan cukup untuk θ jika dan hanya jika fungsi probabilitas
terurai menjadi hasil kali fungsi probabilitas W dan suatu
fungsi lain yang hanya tergantung pada θ. Yakni W cukup jika dan hanya jika
(Soejoeti, 1990)
Teorema 3
Jika T adalah statistik cukup untuk θ dengan fungsi kepadatan peluang g(t;θ) maka (θ|x)
= (θ|t) =
, dengan
distribusi prior untuk
dan m(t) fungsi probabilitas
marginal untuk t.
(Berger, 1980: 93)
2.5 Konsep Dasar Distribusi Waktu Hidup
Fungsi-fungsi pada distribusi waktu hidup merupakan suatu fungsi yang menggunakan
variabel random. Waktu hidup adalah interval waktu yang diamati dari suatu individu saat
pertama kali masuk ke dalam pengamatan hingga keluar dari pengamatan. Misalnya
Universitas Sumatera Utara
interval waktu sampai rusaknya suatu barang produksi, matinya suatu makhluk hidup,
kambuhnya suatu penyakit atau sampai terjangkitnya suatu penyakit. Variabel random
non negatif waktu hidup biasanya dinotasikan dengan huruf “T”, dan akan membentuk
suatu distribusi.
Distribusi dari waktu hidup dapat disajikan oleh tiga fungsi berikut.
2.6 Fungsi Densitas Peluang (f.d.p.) f(t)
Fungsi densitas peluang adalah probabilitas kegagalan suatu individu pada suatu interval
yang kecil (t, t + t) persatuan waktu. Fungsi densitas peluang (f.d.p) dinyatakan dengan
f(t).
... (2.1)
Fungsi distribusi kumulatif pada waktu t untuk suatu individu adalah probabilitas bahwa
suatu individu mengalami kegagalan sebelum waktu t atau pada interval waktu [0, ].
… (2.2)
2.7 Fungsi Survivor S(t)
Fungsi survivor adalah peluang suatu individu bertahan hidup lebih dari waktu t
dengan t > 0. Fungsi survivor dinyatakan dengan S(t).
… (2.3)
Mengacu pada ilustrasi di depan:
S(t) = P[individu hidup lebih lama dari waktu t]
Universitas Sumatera Utara
Dalam beberapa hal, khususnya yang mencakup tahan hidup dari komponen-komponen
industri, S(t) ditentukan sebagai fungsi reliabilitas. S(t) merupakan fungsi kontinu
menurun secara kontinu dengan S(0) = 1, artinya peluang suatu individu bertahan hidup
lebih lama dari waktu nol adalah 1 dan S( ) = lim S(t) = 0, artinya peluang suatu
individu bertahan hidup pada waktu yang tak terhingga adalah 0.
2.8 Fungsi Hazard h(t)
Fungsi hazard adalah suatu fungsi yang menunjukkan tingkat kegagalan atau resiko
dalam interval (t, t + Dt) dan diketahui bahwa individu tersebut telah bertahan hidup
selama waktu t.
Fungsi hazard dinyatakan dengan:
fungsi hazard dapat pula dinyatakan oleh dua buah fungsi yaitu fungsi survivor dan fungsi
densitas peluang
… (2.4)
Teorema 4
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T
0, dan f(t) merupakan
f.d.p serta S(t) merupakan fungsi survivor, maka
Universitas Sumatera Utara
Bukti:
Dari (2.2) dan (2.3) maka
sehingga,
Teorema 5
Jika T variabel random yang menyatakan waktu hidup dimana T
0 dan S(t) merupakan
fungsi survivor dan h(r) menyatakan fungsi hazard maka
Bukti.
Berdasarkan teorema 4 diketahui bahwa
.
dan persamaan (2.4)
dengan menggunakan salah satu sifat S(t) bahwa S(0) = 1, maka
Jadi
Universitas Sumatera Utara
Akibat Teorema 5
Berdasarkan teorema 4 dan teorema 5, f(t) dapat dinyatakan dalam h(t) sebagai
Bukti:
Keterangan:
f(t)
= fungsi densitas peluang
F(t)
= fungsi distribusi kumulatif peluang
h(t)
= fungsi kegagalan (Hazard)
S(t)
= fungsi kehandalan (Survivor)
t
= waktu
Dari teorema 4 dan teorema 5 serta akibat dari teorema 5 di atas, dapat dilihat
bahwa ketiga fungsi pada distribusi waktu hidup yaitu f(t), S(t), dan h(t) saling
berhubungan satu dengan yang lainnya.
2.9 Sampel Lengkap
Dalam uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua komponen
yang diuji telah mati atau gagal. Cara seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dapat
dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji.
(Lawless, 1982: 231)
Universitas Sumatera Utara
2.10 Distribusi Weibull
Definisi 16
F.k.p untuk waktu kegagalan T berdistribusi Weibull dengan parameter θ dinyatakan
sebagai
(Sinha, 1979: 136)
Penerapan distribusi Weibull pada analisis uji hidup antara lain dilakukan oleh Kao
(1959) dengan menerapkan distribusi Weibull dalam uji hidup tabung elektron, kemudian
Leiblain dan Zeln (1956) melakukan penelitian penerapan distribusi ini dalam bidang
rekayasa (Zanzawi, 1996:7). Selanjutnya banyak peneliti yang mengembangkannya
antara lain Thomas dan Wilson (1972).(Lawless, 1982:145), Pandey dan Malik (1989).
2.11 Prinsip Dasar Metode Maksimum Likelihood
Menurut William W. Hines dan Douglas C. Montgomery (1990: 268), sebuah metode
yang paling baik untuk memperoleh sebuah estimator yang tunggal adalah metode
maksimum likelihood. Karena secara konsep prosedur metode maksimum likelihood
sangat sederhana dan metode ini lebih umum digunakan untuk mengestimasi parameterparameter distribusi waktu hidup.
Definisi 17
Misalkan x variabel random dengan p.d.f f(x;θ), dimana parameter θ tidak diketahui.
Misalkan
…,
menjadi nilai yang diobservasi di dalam suatu sampel random
yang besarnya n. Maka fungsi likelihood sampel tersebut adalah
L(θ) = f( ;θ). f( ;θ). …. f(
;θ)
(Hines, 1990: 268)
Universitas Sumatera Utara
merupakan nilai maksimum likelihood estimator atau dengan kata lain maksimum
likelihood adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood. Fungsi likelihood lebih
cocok apabila dikerjakan dengan menggunakan natural logaritma dan dinotasikan dengan
ln L(θ).
2.12 Fungsi Gamma
Definisi 18
Fungsi gamma dengan notasi Γ (n) didefinisikan sebagai berikut:
Γ
Ekspansikan hanya berlaku untuk n>0, dan integral adalah konvergen. Fungsi gamma
banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.
Teorema 6
Γ
Bukti:
Γ
Γ
Γ
Γ
Universitas Sumatera Utara
2.13 Fungsi Beta
Definisi 19
Fungsi beta dengan notasi B(m,n) didefinisikan sebagai:
dimana m>0 dan n>0
Fungsi beta banyak membantu dalam memecahkan persoalan-persoalan integral.
Teorema 7
Hubungan fungsi gamma dengan fungsi beta.
Bukti:
Misalkan :
θ
θ sinθ dθ
Untuk
Universitas Sumatera Utara