optimasi portofolio saham dengan lexicographic

OPTIMASI PORTOFOLIO SAHAM DENGAN LEXICOGRAPHIC
GOAL PROGRAMMING PADA BURSA EFEK INDONESIA
Safitri Ana Nuraini, Endang Wahyu H.
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia
Email: [email protected]
Abstrak. Portofolio saham merupakan gabungan atau kombinasi dari beberapa saham. Sebuah portofolio optimal dapat
dibentuk dengan memenuhi beberapa kriteria yaitu optimasi jumlah dana yang tersedia untuk diinvestasikan, memaksimalkan
expected return, dan meminimalkan risiko, baik risiko sistematis maupun risiko tidak sistematis. Salah satu model yang dapat
digunakan untuk memecahkan permasalahan optimasi adalah lexicographic goal programming. Lexicographic goal
programming merupakan pengembangan dari model goal programming di mana tujuan-tujuan yang ingin dicapai memiliki
tingkat prioritas atau tingkat kebutuhan yang berbeda. Lexicographic goal programming dapat memberikan solusi optimal
dalam pembentukan portofolio saham dengan memberikan variabel keputusan yaitu proporsi dana
yang diinvestasikan
untuk saham i pada sektor j secara optimal. Di dalam skripsi ini dianalisis 20 saham teraktif pada Bursa Efek Indonesia
periode bulan September 2012 sehingga dihasilkan 11 saham terpilih dengan total proporsi dana yang diinvestasikan adalah
satu. Dihasilkan pula expected return yang maksimal karena nilainya lebih besar dari pada expected return pasar. Selain itu
juga dihasilkan risiko yang minimal karena pada risiko tidak sistematis syarat diversifikasi atau penyebaran alokasi dana
telah terpenuhi, dan pada risiko sistematis telah dihasilkan koefisien risiko Beta portofolio lebih kecil dari pada koefisien
risiko Beta pasar.
Kata Kunci: koefisien risiko Beta, lexicographic goal programming, portofolio saham, return.
1. PENDAHULUAN
Portofolio merupakan gabungan atau kombinasi dari beberapa aset, baik berupa aset finansial
maupun aset riil yang dimiliki oleh investor (Halim, 2003). Dalam pembuatan portofolio timbul
sebuah permasalahan, dengan bermacam saham yang ada diharapkan dapat dibentuk sebuah
kombinasi dari saham-saham tersebut sehingga didapatkan hasil yang optimal. Lexicographic goal
programming merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan
optimasi. Nirmala (2011) telah melakukan kajian tentang lexicographic goal programming pada
optimasi penyebaran polisi lalu lintas, sedangkan pada skripsi ini dikaji tentang lexicographic goal
programming untuk menyelesaikan permasalahan multi-objective pada model optimasi portofolio
saham. Lexicographic goal programming memberikan solusi optimal dari beberapa tujuan dengan
meminimumkan jumlah penyimpangan atau deviasi dari tujuan-tujuan yang memiliki tingkat prioritas
berbeda terhadap masing-masing nilai tujuan atau goal yang dikehendaki (Ignizio, 1985).
2. METODOLOGI
Solusi optimal dari metode ini pertama-tama didapat dengan menetapkan indeks, variabel,
dan parameter yang digunakan. Kemudian menetapkan tujuan dan prioritas yang ingin dicapai.
Setelah itu melakukan perumusan fungsi kendala. Kemudian dilakukan minimasi fungsi tujuan
tanpa memperhatikan bobot dengan input berupa data pada fungsi tujuan dan fungsi kendala
dengan menggunakan software LINGO sehingga dihasilkan output berupa nilai bobot untuk
setiap prioritas. Bobot tersebut kemudian dimasukkan ke dalam fungsi tujuan dan dilakukan
minimasi fungsi tujuan dengan penambahan bobot dengan menggunakan software LINGO
sehingga dihasilkan output berupa variabel keputusan dan unit deviasi yang kelebihan dan
kekurangan sehingga hasil yang optimal dapat dicapai.
3. ASUMSI DAN NOTASI
Batasan-batasan masalah yang menjadi asumsi dasar dalam skripsi ini yaitu sebagai berikut.
1. Portofolio dibentuk dari sekuritas berupa saham.
2. Kriteria yang diperhatikan dalam pembentukan portofolio adalah jumlah dana yang akan
diinvestasikan, tingkat keuntungan, dan tingkat risiko.
3. Saham yang akan dianalisis pada skripsi ini adalah 20 saham teraktif yang ada di Bursa Efek
Indonesia periode tanggal 3 September 2012 sampai dengan 28 September 2012.
i, j
Notasi yang digunakan dalam formulasi model adalah sebagai berikut:
: jumlah unit deviasi yang kekurangan dan kelebihan,
: bobot yang diberikan pada variabel simpangan,
: tingkat prioritas yang diberikan pada variabel simpangan,
: indeks untuk saham dan sektor,
: proporsi dana yang akan diinvestasikan untuk saham perusahaan i pada sektor j,
: jumlah saham dalam sektor j,
,
: expected return untuk saham i pada sektor j,
: koefisien risiko Beta untuk saham i pada sektor j.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Menurut Sharma, dkk. (2005) persaman fungsi tujuan dari model lexicographic goal
programming adalah:
Minimasi
∑
untuk k=1,2,...,K.
Sedangkan tujuan-tujuan yang akan dicapai dalam optimasi portofolio saham dengan lexicographic
goal programming berdasarkan urutan prioritasnya adalah sebagai berikut:
: memanfaatkan dengan optimal jumlah dana yang tersedia untuk berinvestasi.
Prioritas 1 (
: memaksimalkan expected return.
Prioritas 2 (
: meminimalkan risiko.
Prioritas 3 (
Sedangkan variabel keputusannya adalah mendapatkan proporsi dana (
yang akan diinvestasikan
untuk saham i pada sektor j. Fungsi kendala dalam optimasi portofolio saham adalah:
4.1. Total dana yang diinvestasikan
Pada umumnya investor menginginkan semua dana yang dimiliki terinvestasi semua. Jadi total
dana yang diinvestasikan adalah 100% atau 1. Agar proporsi dana ( ) memenuhi sasaran maka
dijumlahkan dengan proporsi dana yang kurang dari sasaran dan dikurangi dengan proporsi dana yang
melebihi sasaran sebagai berikut:
∑∑
4.2. Expected return
Pada umumnya investor menginginkan tingkat keuntungan yang maksimum. Tingkat return
yang diharapkan (expected return) dari portofolio diasumsikan minimal sama dengan tingkat expected
return pasar. Expected return pasar selama periode bulan September adalah 0.001935. Agar fungsi
tujuan terpenuhi maka dijumlahkan dengan expected return yang kurang dari sasaran dan dikurangi
dengan expected return yang melebihi sasaran atau dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑∑
4.3. Risiko
4.3.1 Risiko sistematis
Tujuan yang diharapkan adalah koefisien risiko Beta portofolio yang dibentuk lebih besar dari
nol dan kurang dari sama dengan koefisien risiko Beta pasar (β = 1). Agar fungsi tujuan terpenuhi
maka dijumlahkan dengan koefisien risiko Beta yang kurang dari sasaran dan dikurangi dengan
koefisien risiko Beta yang melebihi sasaran atau dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑∑
∑∑
101
4.3.2
Risiko tidak sistematis
Diversifikasi atau penyebaran investasi dilakukan untuk mengurangi risiko tidak sistematis dari
portofolio. Untuk memeratakan jumlah dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham
diberikan batasan alokasi dana pada setiap saham dan pada setiap sektor.
a. Batasan alokasi dana untuk saham
Batasan dana yang diinvestasikan pada setiap saham untuk Bursa Efek Indonesia adalah
maksimal 0.1. Agar fungsi tujuan terpenuhi maka dijumlahkan dengan proporsi dana yang kurang dari
sasaran dan dikurangi dengan proporsi dana yang melebihi sasaran atau dinyatakan sebagai berikut:
b. Batasan alokasi dana untuk sektor
Batasan dana yang diinvestasikan pada setiap sektor untuk Bursa Efek Indonesia adalah berkisar
antara 0.05 sampai dengan 0.4. Agar fungsi tujuan terpenuhi maka dijumlahkan dengan proporsi dana
yang kurang dari sasaran dan dikurangi dengan proporsi dana yang melebihi sasaran atau dinyatakan
sebagai berikut:
∑
∑
4.4 Perhitungan
Pertama-tama dihitung fungsi tujuan pada software LINGO dengan prioritas untuk semua tujuan
dianggap sama sehingga didapatkan nilai bobot yang dilihat dari kisaran koefisien fungsi tujuan
(objective coefficient ranges). Kemudian bobot dimasukkan pada fungsi tujuan dan dilakukan
minimasi fungsi tujuan kembali dengan penambahan bobot. Fungsi tujuan optimasi portofolio saham
dan bobot yang diberikan untuk setiap prioritas ditunjukkan pada Tabel 1 sebagai berikut:
Tabel 1. Fungsi Tujuan
Prioritas
Tujuan
Minimasi
Minimasi
Minimasi
+
Bobot (w)
1
2
3
Data yang digunakan adalah data olahan berupa expected return dan koefisien risiko Beta dari 20
saham teraktif pada Bursa Efek Indonesia yang ditunjukkan pada Lampiran 1. Hasil optimal portofolio
saham dengan lexicographic goal programming ditunjukkan pada Tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Saham Terpilih Beserta Proporsi Dana
Variabel
Keputusan
Perusahaan
Bakrie Sumatera Plantation Tbk.
Energi Mega Persada Tbk.
Bumi Resources Tbk.
Jaya Pari Steel Tbk.
Astra International Tbk.
Indofood Sukses Makmur Tbk.
Alam Sutera Realty Tbk.
Sarana Menara Nusantara Tbk.
Bank Mandiri Tbk.
Sugih Energy Tbk.
AGIS Tbk.
Proporsi
Dana
0.1
0.05
0.1
0.05
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
1
Proporsi Dana
Dalam Sektor
0.1
2
0.15
3
4
5
6
7
8
0.05
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
9
0.2
Sektor
5. KESIMPULAN
Dari hasil perhitungan dengan menggunakan software LINGO, terpilih 11 saham yang
102
kemudian dibentuk menjadi sebuah portofolio yang optimal. Saham tersebut adalah perusahaan Bakrie
Sumatera Plantation Tbk, Bumi Resources Tbk, Astra International Tbk, Indofood Sukses Makmur
Tbk, Alam Sutera Realty Tbk, Sarana Menara Nusantara Tbk, Bank Mandiri Tbk, Sugih Energy Tbk,
dan AGIS Tbk dengan proporsi dana 0.1. Selain itu juga terpilih saham perusahaan Energi Mega
Persada Tbk, dan Jaya Pari Steel Tbk dengan proporsi dana 0.05.
Tujuan mengoptimalkan jumlah dana telah tercapai karena total proporsi dana yang
diinvestasikan adalah satu. Tujuan memaksimalkan expected return telah tercapai karena expected
return dari portofolio yang terbentuk adalah 0.003758, lebih besar dari pada expected return pasar
yaitu 0.001935. Syarat diversifikasi telah dipenuhi karena semua proporsi dana untuk saham kurang
dari 0.1 dan semua proporsi dana untuk sektor berkisar antara 0.05 sampai dengan 0.4. Koefisien
risiko Beta portofolio yaitu 0.623684, lebih kecil dari pada koefisien risiko Beta pasar yaitu satu.
Dikarenakan semua fungsi tujuan telah terpenuhi, jadi dapat disimpulkan bahwa model lexicographic
goal programming dapat membantu dalam pembentukan portofolio saham pada Bursa Efek Indonesia.
DAFTAR PUSTAKA
Halim, A., (2003), Analisis Investasi, Erlangga, Jakarta.
Ignizio, J.P., (1985), Introduction to Linear Goal Programming, Sage Publications Inc, USA.
Nirmala, K., (2011), Model Lexicographic Goal Programming Untuk Optimasi Penyebaran Polisi
Lalu Lintas (Studi Kasus: Penyebaran Polisi di Polresta Malang Kota), Skripsi, Universitas
Brawijaya, Malang. Indonesia.
Sharma, H.P. dan Sharma, D.K., (2005), A Multi-Objective Decision Making Approach for Mutual
Fund Portfolio, Journal of Business & Economic Research, 3(10).
LAMPIRAN
Lampiran 1. Expected Return dan Koefisien Risiko Beta
Perusahaan
Bakrie Sumatera Plantation Tbk.
BW Plantation Tbk.
Energi Mega Persada Tbk.
Bumi Resources Tbk.
Semen Gresik Tbk.
Jaya Pari Steel Tbk.
Astra International Tbk.
Ricky Putra Globalindo Tbk.
Indofood Sukses Makmur Tbk.
Gudang Garam Tbk.
Unilever Indonesia Tbk.
Bakrieland Development Tbk.
Alam Sutera Realty Tbk.
XL Axiata Tbk.
Trada Maritime Tbk.
Sarana Menara Nusantara Tbk.
Bank Rakyat Indonesia Tbk.
Bank Mandiri Tbk.
Sugih Energy Tbk.
AGIS Tbk.
Expected Return
0.001599
0.004597
0.000115
0.002699
0.007907
0.006695
0.002912
0.001777
0.008183
-0.003727
-0.002339
0.002126
0.005178
-0.003831
-0.001804
-0.004317
0.003162
0.001674
-0.000759
0.017007
Koefisien Risiko Beta
0.285391
-0.26361
0.232311
0.342997
1.952003
0.514541
0.84958
1.634872
0.628569
0.874269
0.957098
1.916153
0.565688
0.363694
0.961347
0.797919
0.88952
0.465907
1.817867
0.143767
Data olahan dari sumber: Pojok Bursa Efek Indonesia Universitas Brawijaya.
103