(eoq) probabilistik

MENGUKUR TINGKAT KEAKURATAN PENGGUNAAN
PENDEKATAN SEBARAN NORMAL PADA MODEL ECONOMIC
ORDER QUANTITY (EOQ) PROBABILISTIK: MODEL (q, r)
Reni Setiawati
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email : [email protected]
Abstrak. Model Economic Order Quantity (EOQ) dengan permintaan probabilistik atau model (q,r) digunakan untuk
menentukan kapan memesan pada reorder point tertentu (r) dan berapa quantity ordered (q) yang akan dipesan untuk
meminimumkan total biaya (total cost). Penggunaan pendekatan normal sering digunakan pada kasus persediaan, padahal
perilaku permintaan bersifat diskrit (cacah) dan peluang terjadi permintaan kecil, sehingga dapat dikatakan bahwa perilaku
permintaan mengikuti proses sebaran Poisson. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui seberapa akurat penggunaan
sebaran normal pada kasus persediaan, yaitu dengan membangkitkan data menyebar Poisson berdasarkan jumlah permintaan
yang bersifat diskrit. Kemudian sistem sediaan dianalisis menggunakan dua pendekatan, yaitu pendekatan sebaran normal
dan sebaran poisson. Berdasarkan hasil analisis model EOQ probabilistik menunjukkan bahwa pendekatan sebaran Poisson
memberikan total biaya persediaan lebih kecil daripada pendekatan sebaran normal. Hal ini membuktikan bahwa penggunaan
pendekatan sebaran normal kurang tepat bila digunakan pada kasus persediaan untuk meminimumkan biaya persediaan
khususnya pada model Economic Order Quantity (EOQ) probabilistik.
Kata Kunci: persediaan, EOQ probabilistik, normal, poisson.
1.
PENDAHULUAN
EOQ probabilistik merupakan suatu kebijakan untuk meminimumkan total biaya persediaan.
Ketika perilaku permintaan acak dan tenggang waktu pesanan datang tidak sama dengan nol, model
EOQ yang tepat digunakan adalah Model (q, r). q adalah jumlah barang pesan setiap kali pesan dan r
adalah nilai sediaan saat pemesanan kembali (reorder point). Winston (1994) dan Siswanto (2007)
berpendapat bahwa perilaku permintaan diasumsikan bersebaran normal, sehingga tenggang waktu
pesanan datang juga akan menyebar normal. Namun, jumlah permintaan bersifat diskrit, yang kurang
tepat jika diasumsikan menyebar secara normal yang bersifat kontinyu. Karena permintaan bersifat
diskrit (cacah) dan peluang terjadi permintaan kecil, sehingga dapat diasumsikan bahwa permintaan
mengikuti proses sebaran poisson. Oleh karena itu, pada penelitian ini ingin diketahui seberapa akurat
penggunaan sebaran normal pada kasus pesediaan ketika permintaan menyebar Poisson. Pada
penelitian ini, analisis akan dilakukan berdasarkan hasil simulasi, yaitu membangkitkan data menyebar
poisson berdasarkan jumlah permintaan yang bersifa diskrit. Kemudian akan dianalisis menggunakan
dua pendekatan, yaitu pendekatan sebaran normal dan sebaran poisson. Dari kedua pendekatan akan
dilihat mana yang menghasilkan reorder point (r) dan quantity order (q) yang meminimumkan total
biaya persediaan.
2.
TINJAUAN TEORI
2.1.
Economic Order Quantity (EOQ) Probabilistik: Model (q, r)
Model Economic Order Quantity (EOQ) probabilistik: model (q, r) digunakan untuk
menentukan kapan memesan pada reorder point (r) dan berapa quantity order (q) yang akan dipesan
untuk meminimumkan total biaya (total cost). Beberapa definisi yang dibutuhkan dalam model ini,
yaitu (Winston, 1994):
1)
K = ordering cost, adalah biaya pemesanan setiap kali pesan;
2)
h = holding cost/ unit/year, adalah biaya penyimpanan tiap unit barang per tahun;
3)
L = lead time, adalah tenggang waktu antara pemesanan sampai barang pesanan datang;
4)
q = quantity ordered, adalah jumlah barang pesanan setiap pemesanan;
5)
D = peubah acak dengan fungsi peluang tertentu yang menyatakan permintaan pertahun dengan
rata-rata E(D), ragam var(D) dan standart deviasi σD .
a.
Bila D mengikuti proses sebaran normal (D~N(µ,σ2))
E(D) = µ
Var(D) = σ2
97
Jika X adalah peubah acak yang menyatakan permintaan selama lead time (X=LD),
maka X merupakan peubah acak kontinyu yang memiliki fungsi kepekatan peluang f(x)
dengan rata-rata E(X), ragam Var(X) dan simpangan baku σₓ. Jika permintaan pada waktu
yang berbeda saling bebas, maka jumlah permintaan selama lead time akan mempunyai
bentuk:
(
b.
)
f(X=x) =
, untuk − ∞ < x < + ∞
√
E(X) = L×µ = L×E(D)
σX
= σD × L
Apabila D diasumsikan menyebar normal, maka X juga akan menyebar normal,
X~N(Lµ,L2σ2);
Jika D mengikuti proses sebaran Poisson (D~Poisson(λ))
E(D) = λ
Var(D) = λ
Apabila X adalah peubah acak yang menyatakan permintaan selama lead time,
maka X merupakan peubah acak diskrit yang memiliki fungsi kepekatan peluang f(x)
dengan rata-rata E(X), ragam Var(X) dan simpangan baku σₓ. Jika permintaan pada waktu
yang berbeda saling bebas, maka jumlah permintaan selama lead time akan mempunyai
bentuk:
6)
f(X=x) =
, X = 0,1,2,3....
E(X) = L×λ = L×E(D)
σX
= σD × √
Bila D diasumsikan menyebar poisson, maka X juga akan menyebar Poisson,
X~Poisson(Lλ).
cB = biaya yang muncul setiap unit permintaan yang tidak terpenuhi;
2.2.
Biaya pada EOQ Probabilistik
Pemilihan r dan q berperan penting bagi penyeimbang antara terjadinya biaya penyimpanan
ataupun biaya stockout yang mempengaruhi total biaya. Winston (1994) berpendapat bahwa total
biaya dapat didefinisikan sebagai berikut:
Pada total biaya tersebut semua komponen biaya menggunakan nilai harapan karena sifat jumlah
permintaan diasumsikan probabilistik dengan sebaran peluang tertentu.
2.3.
Nilai Harapan Biaya Pemesanan per Tahun
Jika setiap kali dilakukan pemesanan membutuhkan biaya sebesar K, maka nilai harapan biaya
pemesanan per tahun adalah biaya pemesanan setiap kali pesan dikali nilai harapan jumlah pemesanan
per tahun (Winston, 1994)
E(biaya pemesanan per tahun) =
2.4.
(1)
Nilai Harapan Biaya Penyimpanan per Tahun
Nilai harapan biaya penyimpanan per tahun adalah biaya penyimpanan per unit per tahun dikali
nilai harapan banyaknya penyimpanan per tahun (Winston, 1994):
E (biaya penyimpanan per tahun)
(
)
(
)
(2)
2.5.
Nilai Harapan Biaya Stockout per Tahun
Apabila Br adalah peubah acak yang menyatakan jumlah stockout atau back orders dalam satu
siklus jika reorder point adalah r dan cB adalah biaya akibat tidak terpenuhinya suatu unit barang. Jadi,
nilai harapan biaya stockout per tahun adalah nilai harapan biaya stockout per siklus dikali nilai
harapan jumlah siklus per tahun. Dari pengertian Br , E(biaya stockout per siklus)= cBE(Br). Karena
semua permintaan akhirnya akan terpenuhi, rata-rata dari E(D)/q pemesanan akan ditempatkan tiap
tahun, sehingga (Winston, 1994);
E (biaya stockout per tahun)
(3)
98
a.
Bila D mengikuti proses sebaran normal nilai harapan jumlah stockout E(Br) dirumuskan:
(
)
di mana NL(y) diperoleh sebagai berikut:
NL(y) = N(y) – (y(1-cdf(y))
b.
Bila D mengikuti proses sebaran Poisson nilai harapan jumlah stockout E(Br) dirumuskan:
∑
2.6.
∑
(
)
Total biaya per Tahun
Berdasarkan tiga komponen biaya pada persamaan (2), (3) dan (1) diperoleh total biaya
keseluruhan yang merupakan fungsi dari q dan r sebagai berikut (Winston, 1994);
(
2.7.
)
(4)
q dan r Minimum
Total biaya persediaan atau persamaan (4) minimum ketika nilai q dan r minimum. Nilai q dan r
yang minimum merupakan suatu nilai optimal. Agar mendapatkan nilai q dan r minimum, maka
persamaan (4) diturunkan secara parsial terhadap q dan r, di mana hasil turunan pertama
disamadengankan nol (Winston, 1994).
(5)
Persamaan (5) memerlukan metode numerik untuk mendapatkan penyelesaiannya, akan tetapi secara
umum nilai q yang meminimumkan persamaan (4) dan memenuhi persamaan (5) dapat didekati
dengan (Winston, 1994);
√
(6)
Agar memperoleh nilai r minimum, diasumsikan bahwa
merupakan jumlah pesanan per
tahun yang meminiumkan total biaya persediaan. Penentuan nilai r minimum dari kedua komponen
biaya ini menggunakan pendekatan analisis marjinal.
2.8.
Back Order Case
Apabila diasumsikan jumlah pemesanan yang meminimumkan biaya, q* dapat didekati dengan
persamaan (6), maka reorder point yang meminimumkan biaya, r*, adalah (Winston, 1994);
(7)
Namun bila,
(8)
maka persamaan (8) tidak akan mempunyai penyelesaian. Ini disebabkan biaya penyimpanan relatif
lebih besar dibanding biaya stockout. Andaikan hasil dari persamaan (7) adalah α, maka dengan
standarisasi persamaan (7) akan berlaku:
a.
Bila D mengikuti proses sebaran normal
(9)
b.
Bila D mengikut proses sebaran Poisson
∑
(10)
*
Kemudian, dengan melihat invers dari peluang Poisson akan diperoleh nilai dari r −1, sehingga
akan didapatkan nilai dari r*.
Jika q* adalah jumlah pemesanan optimal yang dapat meminimumkan biaya, maka q* dapat
didekati dengan persamaan (6). Oleh karena itu, r* yang dapat meminimumkan biaya dapat didekati
dengan persamaan (9) untuk D yang menyebar normal,sedangkan untuk D yang menyebar Poisson r*
didekati dengan persamaan (10).
99
2.9.
Lost Sale Case
Untuk kasus lost sale case besarnya peluang X lebih dari sama dengan r* didekati dengan
persamaan (Winston, 1994);
(11)
Persamaan (11) terbentuk karena nilai harapan persediaan dalam kasus lost sale adalah nilai harapan
persediaan pada kasus back order dan nilai harapan stockout per siklus. Dari persamaan (7) dan (11)
dapat dilihat bahwa ruas kanan persamaan (11) lebih kecil dari pada ruas kanan persamaan (7),
sehingga asumsi penjualan yang hilang akan mengakibatkan peluang stockout lebih rendah dan nilai
reorder point lebih besar dari asumsi back order.
3.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari hasil analisi EOQ probabilistik ketika permintaan menyebar Poisson yang telah dilakukan,
secara singkat dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil perbandingan analisis EOQ probabilistik
Karakteristik
Anailisis Data
Anailisis Data
Perbandingan
Menggunakan
Menggunakan
Sebaran Normal
Sebaran Poisson
Rata-rata q*
470
470
Rata-rata r*
25
19
Rata-rata Total biaya
Rp29.440,74
Rp29.204,68
Berdasarkan Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa rata-rata total biaya yang dianalisis
menggunakan sebaran Poisson lebih kecil dari pada rata-rata total biaya yang dianalisis menggunakan
sebaran normal. Meskipun selisih rata-rata total biaya masing-masing pendekatan tidak berbeda jauh.
Namun r* masing-masing pendekatan sangat berbeda, yang mana r* sangat berpengaruh pada tingkat
persediaan di mana pemesanan kembali harus dilakukan. Hal ini membuktikan bahwa penggunaan
pendekatan sebaran normal kurang akurat bila digunakan pada kasus persediaan untuk
meminimumkan biaya persediaan khususnya pada model Economic Order Quantity (EOQ)
probabilistik: model (q, r).
4.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis model EOQ probabilistik ketika permintaan menyebar Poisson
diketahui rata-rata total biaya sistem persediaan menggunakan sebaran normal sebesar Rp29.440,74
dan untuk sebaran Poisson sebesar Rp29.204,68. Perbedaan nilai total biaya antara analisis
dipengaruhi oleh peluang untuk menentukan titik pemesanan ulang agar besarnya biaya penyimpanan
dan stockout seimbang. Dari analisis yang dilakukan, pendekatan sebaran Poisson memberikan total
biaya persediaan lebih kecil daripada pendekatan sebaran normal. Hal ini membuktikan bahwa
penggunaan pendekatan sebaran normal kurang tepat bila digunakan pada kasus persediaan untuk
meminimumkan biaya persediaan khususnya pada model Economic Order Quantity (EOQ)
probabilistik: model (q, r).
DAFTAR PUSTAKA
Siswanto, (2007), Operation Reserch, (Jilid 2), Erlangga, Jakarta.
Winston, W.L., (1994), Operation Research: Applications and Algorithms, (3rd Edition), Wadsworth,
Inc., USA.
100