BAB III SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS

BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS
Persamaan umum aljabar sistem Linier dengan n persamaan dan n yang tidak diketahui
dapat ditulis dalam bentuk :
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…….+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 +…….+ a3nxn = b3
.
.
an1x1 + an2x2 + an3x3 +…….+ annxn = bn
Jika matriks x , b dan A ditulis sebagai berikut :
⎡ a11
⎛ x1 ⎞
⎛ b1 ⎞
⎢a
⎜ ⎟
⎜ ⎟
x = ⎜ x 2 ⎟, b = ⎜ b2 ⎟, A = ⎢ 21
⎢ .
⎜ x ⎟
⎜ b ⎟
⎢
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎣a n1
a12
a 22
.
an2
.... a1n ⎤
.... a 2 n ⎥⎥
.
. ⎥
⎥
.... a nn ⎦
maka sistem persamaan linier tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Ax = b
dengan catatan bahwa matriks A adalah “Non Singulars”, yang berarti bahwa jika
matriks A dan b diketahui maka akan didapatkan matriks x. Sebagai catatan, agar
didapatkan hasil yang optimal, maka usahakan menyusun matrik dalam keadaan diagonal
dominan. Adapun syarat diagonal dominan adalah :
n
a ii ≥ ∑ aij , i = 1,2,3,....n → i ≠ j
j =1
3.1 Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling lama dan banyak
digunakan dalam penyelesain sistem persamaan linier. Prosedur penyelesaian dari metode
ini adalah mengurangi sistem persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian sehingga
salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bialangan yang tak
diketahui dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak
diketahui baru. Bentuk segitiga diselesaikan dengan penambahan dan pengurangan dari
beberapa persamaan, setelah persamaan tersebut dikalikan dengan suatu faktor (konstan).
Untuk lebih mengetahui secara jelas mengenai metode ini, maka akan digunakan
contoh soal sebagai berikut :
Contoh Soal 1 :
x1 + 4x2 – x3 + x4 = 2……………….(1)
x1 - 2x2 – 3x3 + x4 = 4……………….(2)
4x1 - x2 + 2x3 - x4 = 2……………….(3)
x2
- x4 = 0……………….(4)
Persamaan no.3 mempunyai konstanta untuk x1 yang paling besar dibandingkan
konstanta pada variabel x1 yang lain.
Kemudian tentukan faktor pengali yang tepat agar dapat mengeliminasi x1 pada
(1),(2),(3),(4), maka pers.(1),(2),(4) menjadi :
17
3
5
3
x 2 − x 3 + x 4 = .........(1' )
4
2
4
2
7
7
5
7
− x 2 − x 3 + x 4 = ........(2' )
4
2
4
2
x 2 − x 4 = 0............................(4' )
Langkah selanjutnya adalah mengeliminasi variabel x2 dan dengan melihat bahwa
koefisien dari x2 yang terbesar adalah pada persamaan (1’), maka persamaan (1’) dipakai
sebagai pedoman pivot yaitu :
−
70
30
70
x3 + x4 =
17
17
17
Dengan menambahkan perkalian faktor yang sesuai pada persamaan (2’) dan (4’) untuk
menghilangkan variabel x2 maka didapatkan :
17
3
5
3
x 2 − x3 + x 4 =
4
2
4
2
(2”)
6
73
6
x3 − x 4 = −
17
17
17
(4”)
Dari pers.di atas terlihat bahwa faktor x3 terbesar pada pers.2”. Dengan cara yang sama
pers.tersebut ditambahkan dengan faktor pengali yang sesuai untuk menghilangkan
variabel x3 pada pers.4”,maka didapat :
−
29
x4 = 0
7
(4’’’)
Setelah disusun kembali didapatkan :
4 x1 − 2 x 2 + 2 x 3 − x 4 = 2
17
3
5
3
x 2 − x3 + x 4 =
4
2
4
2
70
30
70
−
x3 +
x4 =
17
17
17
29
−
x4 = 0
7
Untuk menyelesaikan urutan pers.tsb maka harus dimulai dari pers(4”’),(2”),(1’) dan
kemudian (3) didapat : x4 = 0, x3 = -1, x2 = 0, x1 = 1
Contoh Eliminasi Gauss 2 :
8x2 + 2x3 = -7
3x1 + 5x2 + 2x3 = 8
6x1 + 2x2 + 8x3 = 26
Penyelesaian :
1. Pers.simultant tersebut disusun sesuai pivotnya :
3x1 + 5x2 + 2x3 = 8
(1)
8x2 + 2x3 = -7
(2)
6x1 + 2x2 + 8x3 = 26
(3)
2. Mengeliminasi x1 pada persamaan (2) dan (3)
3x1 + 5x2 + 2x3 = 8
(1)
8x2 + 2x3 = -7
(2)
-8x2 + 4x3 = 10
(3)
3. Mengeliminasi x2 pada pers.(3’)
3x1 + 5x2 + 2x3 = 8 (1)
8x2 + 2x3 = -7 (2)
6x3 = 3 (3)
4. Dari pers.(3”) didapat x3 = ½ dan selanjutnya dengan langkah mundur ke pers.
(2’) dan (1) didapat :
8x2 + 2(½) = -7 → x2 = -1
3x1 + 5(-1) + 2(½) =8 → x1 = 4
3.2 Lu Decomposition
Dalam persamaan linier dengan n yang tidak diketahui kita dapat menulis dalam
bentuk matriks
[A] {x} = [b]
(1)
Dengan metode faktorisasi LU maka matriks [A] dapat ditulis sebagai berikut :
[A] = [L] [u]
(2)
Subtansi (2) ke dalam (1),maka :
[A] {x} = [L] [u] {x} = [b]
(3)
Jika pada pers.(3) ditulis :
[L] {y} = [b]
maka :
[u] {x} = [y]
(4)
(5)
Contoh Soal :
(lihat pers.Linier Gauss 2)
⎡3 5 2⎤ ⎡ 1
[A] = ⎢⎢0 8 2⎥⎥ = ⎢⎢m21
⎢⎣6 2 8⎥⎦ ⎢⎣m31
0
1
m32
0⎤ ⎡u11
0⎥⎥ ⎢⎢ 0
1⎥⎦ ⎢⎣ 0
u12
u 22
0
u13 ⎤
u 23 ⎥⎥
u 33 ⎥⎦
Dari persamaan perkalian matriks tersebut didapat :
a11 = 3 = u11
a12 = 5 = u12
a13 = 2 = u12
a21 = 0 = m21u11
a22 = 8 = m21u12 + u22
a23 = 2 = m21u13 + u23
m21= 0
u22 = 8
u23 = 2
Dengan cara yang sama didapat ;
m31 = 2
m32 = -1
u33 = 6
Jadi faktorisasi menjadi ;
⎡3 5 2⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡3 5 2⎤
⎢0 8 2⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⎢0 8 2⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣6 2 8⎥⎦ ⎢⎣2 − 1 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 6⎥⎦
Pertama-tama kita selesaikan dulu pers.sebagai berikut :
[L] {y} = {b}
⎡1 0 0⎤ ⎧ y1 ⎫ ⎧ 8 ⎫ ⎧ y1 ⎫ ⎧ 8 ⎫
⎢0 1 0⎥ ⎪ y ⎪ = ⎪− 7⎪ ⇒ ⎪ y ⎪ = ⎪− 7⎪
⎢
⎥ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬
⎢⎣2 − 1 1⎥⎦ ⎪⎩ y 3 ⎪⎭ ⎪⎩ 26 ⎪⎭ ⎪⎩ y 3 ⎪⎭ ⎪⎩ 3 ⎪⎭
Selanjutnya kita hitung {x} dengan persamaan :
[u]{x} = {y}
⎧ ⎫
⎡3 5 2⎤ ⎧ x1 ⎫ ⎧ 8 ⎫ ⎧ x1 ⎫ ⎪ 4 ⎪
⎢0 8 2⎥ ⎪ x ⎪ = ⎪− 7⎪ ⇒ ⎪ x ⎪ = ⎪− 1⎪
⎢
⎥ ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ 2 ⎬ ⎨ 1 ⎬
⎢⎣0 2 6⎥⎦ ⎪⎩ x 3 ⎪⎭ ⎪⎩ 3 ⎪⎭ ⎪⎩ x 3 ⎪⎭ ⎪ ⎪
⎪⎩ 2 ⎪⎭