PROGRAM LINIER – METODE GRAFIK

PROGRAM LINIER – METODE GRAFIK





Program Linier merupakan suatu model umum yang dapat
digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumbersumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk
memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan
dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan
sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas.
Contoh: Masalah alokasi fasilitas produksi, alokasi SDM,
penjadwalan produksi, sistem distribusi, dan sebagainya.
Istilah “Program” berarti memilih serangkaian tindakan/
perencanaan untuk memecahkan masalah dalam membantu
manajer mengambil keputusan.
Istilah “Linier” memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis
dalam model merupakan fungsi linier.

Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan merupakan fungsi yang menggambarkan tujuan di dalam
permasalahan PL yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal
sumberdaya-sumberdaya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal.

Fungsi Batasan
Fungsi Batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan
kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai
kegiatan.

Variabel Keputusan
Variabel Keputusan merupakan variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat.

Pembatas Tanda
Pembatas Tanda merupakan pembatas yang menjelaskan apakah variabel
keputusannya diasumsikan hanya berharga non-negatif atau hanya boleh positif
atau negatif.
Perusahaan mainan anak-anak memproduksi 2 jenis mainan terbuat dari kayu,
yaitu mobil dan motor. Mobil dijual dengan harga Rp.27.000/lusin yang setiap
lusinnya memerlukan material sebesar Rp. 10.000 dan biaya tenaga kerja RP.
14.000. Motor dijual dengan harga Rp.21.000/lusin yang setiap lusinnya
memerlukan material sebesar Rp. 9.000 dan biaya tenaga kerja RP. 10.000. Untuk
pembuatan mainan ini, memerlukan 2 kelompok tenaga kerja, tukang kayu dan
tukang poles. Setiap lusin mainan mobil memerlukan 1 jam pekerjaan kayu dan 2
jam pemolesan. Sedangkan setiap lusin mainan motor memerlukan 1 jam
pekerjaan kayu dan 1 jam pemolesan. Meskipun setiap minggunya perusahaan ini
dapat memenuhi seluruh material yang diperlukan, namun jam kerja yang tersedia
hanya 80 jam untuk pekerjaan kayu dan 100 jam untuk pemolesan.
Dari pengamatan selama ini, permintaan pasar untuk mainan motor tidak
terbatas, namun permintaan pasar untuk mainan mobil tidak lebih dari 40 lusin per
minggu.
Bagaimana formulasi model dari persoalan di atas untuk mengetahui berapa lusin
jenis mainan masing-masing harus diproduksi setiap minggunya agar diperoleh
keuntungan maksimum?
Variabel Keputusan : banyaknya mainan yang harus dibuat
 x1 : mobil dan x2 : motor
 Fungsi Tujuan : maksimumkan keuntungan
 Keuntungan = Pendapatan – Biaya
 Pendapatan = 27 x1 + 21 x2
 Biaya Material = 10 x1 + 9 x2
 Biaya Tenaga Kerja = 14x1 + 10 x2
 Keuntungan = (27x1 + 21 x2)-(10 x1 + 9 x2)-(14x1 + 10 x2) = 3x1 + 2x2
 Sehingga Fungsi Tujuan Z = 3x1 + 2x2




Pembatas
 Pembatas 1: waktu pemolesan tidak lebih dari 100 jam atau 2 x1 + x2  100
 Pembatas 2: waktu pekerjaan kayu tidak lebih dari 80 jam atau x1 + x2  80
 Pembatas 3: mainan mobil yang dibuat tidak lebih dari 40 buah atau x1  40
Pembatas Tanda; pembatas untuk variabel-variabel keputusan. Kedua
mainan harus dibuat atau nilainya masing-masing harus non-negatif. Jadi x1 
0 dan x2  0.
Model Matematika:
Maksimumkan
: Z = 3x1 + 2x2
dengan batasan
: 2 x1 + x2  100
x1 + x2  80
x1  40
x1  0
x2  0
Kegiatan
Pemakaian Sumber Per-unit
Kegiatan (Keluaran)
Kapasitas
Sumber
Sumber
1
2
3
….
n
1
a11
a12
a13
….
a1n
b1
2
a21
a22
a23
….
a2n
b2
3
a31
a32
a33
….
a3n
b3
…
…
…
…
…
…
m
am1
am2
am3
….
amn
bm
ΔZ Pertambahan Tiap Unit
C1
C2
C3
….
Cn
Tingkat Kegiatan
X1
X2
X3
….
Xn

Fungsi tujuan:
 Maksimumkan Z = C1X1+ C2X2+ C3X3+ ….+ CnXn

Batasan :
1. a11X11+ a12X2 + a13X3 + ….+ a1nXn
2. a21X11+ a22X2 + a33X3 + ….+ a2nXn
≤ b1
≤ b1
…..
m. am1X11+ am2X2 + am3X3 + ….+ amnXn
dan
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, ………. Xn ≥ 0
≤ bm

Proportionality
Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau
fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding
(proportional) dengan perubahan tingkat kegiatan

Additivity
Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi,
atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai
tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu
kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi
bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain

Divisibility
Keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap
kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. Demikian
pula dengan nilai Z yang dihasilkan

Deterministic (Certainty)
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter
yang terdapat dalam model LP (aij, bi, Cj) dapat
diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan
tepat
Perusahaan sepatu membuat 2 macam sepatu. Yang pertama merek I1,
dgn sol karet, dan merek I2 dgn sol kulit. Diperlukan 3 macam mesin.
Mesin 1 membuat sol karet, mesin 2 membuat sol kulit, dan mesin 3
membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagian atas
dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula dikerjakan di mesin 1
selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di mesin
3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1,
tetapi pertama kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di
mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari mesin 1 adalah 8
jam, mesin 2 adalah 15 jam, dan mesin 3 adalah 30 jam. Sumbangan
terhadap laba setiap lusin sepatu merek I1 = Rp 30.000,00 sedang merek
I2 = Rp 50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin
sebaiknya sepatu merek I1 dan merek I2 yang dibuat agar bisa
I1
(X1)
I2
(X2)
Kapasitas
Maksimum
1
2
0
8
2
0
3
15
3
6
5
30
3
5
Merek
Mesin
Sumbangan laba


Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2
Batasan (constrain)
(1) 2X1
8
(2)
3X2
 15
(3) 6X1 + 5X2
 30
Fungsi batasan dari 2 X1  8
X2
2X1 = 8
2X1  8 dan X1
 0, X2  0
0
4
X1
Gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-batasan:
X1  0, X2  0 dan 2X1  8
X2
2X1 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Fungsi batasan:
2 X1  8; 3X2  15;
6X1 + 5X2  30; X1  0 dan
X2  0
6
D5
C
3X2 = 15
Daerah
Feasible
B
0
A
4
5
X1
X2
2X1 = 8
6X1 + 5X2 = 30
3X1 + 5X2 = 20
10 = 3X1 + 5X2
6
D
5
4
C
3X2 = 15
Daerah
Feasible
B
0
Menggambar fungsi tujuan
A
4 5
X1
X2
2X1 = 8
Titik C:
6X1 + 5X2 = 30
Titik D:
Pada titik ini nilai
X2 = 5; X1 = 0
Nilai Z = 3(0) + 5(5) = 25
X2 = 5. Substitusikan batasan (3),
maka 6X1 + 5(5) = 30.
Jadi nilai X1 = (30 –25)/6 = 5/6.
Nilai Z = 3(5/6) + 5(5) = 27,5
6
D
5
C
3X2 = 15
Titik A:
Daerah
Feasible
Titik B:
X1 = 4. Substitusikan batasan
(3), maka 6(4) + 5X2 = 30.
Jadi nilai X2 = (30 –24)/5 = 6/5.
Nilai Z = 3(4) + 5(6/5) =18
Pada titik ini nilai
X1 = 4; X2 = 0
Nilai Z = 3(4) + 0 = 12
B
0
Membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif
Z = 3X1 + 5X2
A
4
5
X1
X2
2X2 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Contoh :
Batasan ketiga (6X1 + 5X2 
30) diubah ketidaksamaannya
menjadi 6X1 + 5X2  30
6
5
3X2 = 15
B
C
Daerah
Feasible
A
0
4
5
X1
X2
2X2 = 8
6X1 + 5X2 = 30
Contoh :
Batasan ketiga (6X1 + 5X2 
30) diubah ketidaksamaannya
menjadi 6X1 + 5X2 = 30
6
C
B
3X2 = 15
4
2
A
0
4
5
X1
Selesaikan soal-soal dengan Metode Grafik:
1. Max Z = 2 X1 + X2
Fungsi Kendala :
a. X1 + 2 X2 ≤ 80
b. 3X1 + 2 X2 ≤ 120
c. 2X1 ≤ 360 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
2. Max Z = 2 X1 + 3X2
Fungsi Kendala :
a. 5X1 + 6X2 ≤ 60
b. X1 + 2X2 ≤ 16
c. X1 ≤ 10
d. X2 ≤ 6, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
3. Max Z = 2 X1 - 7X2
Fungsi Kendala :
a. -2X1 + 3X2 = 3
b. 4X2 + 5X2 ≥ 16
c. 6X1 + 7X2 ≤ 3
d. 4X1 + 8X2 ≥ 5, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
4. Min F = 22 X1 + 6 X2
Fungsi Kendala :
a. 11X1 + 3X2 ≥ 33
b. 8X1 + 5X2 ≤ 40
c. 7X1 + 10X2 ≤ 70 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
5. Min Z = 20 X + 30 Y
Fungsi Kendala:
a). 2 X + Y ≥ 10
d). X - 8 Y ≤ 0
b). X + 2 Y ≤ 14
e). X ≤ 8
c). X + 4 Y ≥ 12 dan X ≥ 0, Y ≥ 0
6. Min Z = 6X1 + 8 X2
Fungsi Kendala:
a). 3X1 + X2 ≥ 4
b). 5X1 + 2X2 ≤ 10
c). X1 + 2X2 = 3 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0