keL 2 Operasi ALjabar 1334KB Apr 25 2011 02

Kumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan
Pembahasannya
Nama : Ayu Dwi Asnantia
Nim : 09320042
Soal Pilihan Ganda !!
1. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ....
a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
2. Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, maka
hasil tambah dua bilangan itu adalah ....
a. 9
b. 7
c. 5
d. 6
e. 2
1 1 1

 maka
6 12 x
a. 2
b. 3
3. Jika
x = ...
c. 4
d. 6
e. 1
4. Jika a + b = 1, dan a2 + b2 = 5, maka a3 + b3 = …
a. 6
b. 24
c. 8
d. 22
5.
Hasil dari
5
a.
4
16
e. 26
log ( 21  6 6 - 5  24 ) adalah …
5
5
6
b.
c.
d.
6
8
8
e.
10
8
6. Diketahui x + y = 12 dan x 3  y 3 = 432. Nilai dari x 2  y 2 adalah…
a. 260 b. 350
c. 360
d. 340
7. Hasil pemfaktoran dari x2 + 12x – 864 adalah …
a. (x+36)(x - 24)
b. (x – 36)(x+24)
c. (x+36)(x + 24)
d. (x – 36)(x – 24)
e. (36x + 1)(24x - 1)
8. Jika
2ab
ac
1
bc
1 1 1
 1,
 , dan
 2 , maka
   ...
ab
ac 7
cb
a c b
a. 4
9.
b.
15
4
c.
20
4
Jika a : b = 2 : 5 maka nilai
a. 
10
21
b. 
7
21
d.
19
4
e.
17
4
a
a2
= ...
 2
a  b a  b2
c. 
19
21
d. 
17
21
e. 
21
21
10. Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang Besar dan Kecil
ditimbang, beratnya adalah 2,6 kg. Jika yang Besar dan Sedang ditimbang, beratnya
adalah 3 kg, dan jika yang Sedang dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2 kg. Berat
ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah ....
a. 4 kg
b. 4,2 kg
c. 3,8 kg
d. 4,6 kg
e.5 kg
Soal Isian !!
1
1
1
 8 dan xy 
 38 maka nilai y   ...
x
y
xy
12. Misalkan a dan b adalah dua bilangan tertentu. Jika a2 + (a + b) = a(b – a) + x, maka x =
... .
13. Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto Undip. Jika
seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah
siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di
gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP !
30
1
14. Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika

1
7
a
1
b
c
maka 7a + b - c = …
11. Jika x 
15. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh 600 siswa disusun dalam x baris. Tiap
barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka
tiap barisnya berkurang 6 siswa. Tentukan banyaknya baris sebelum diubah?
16. Bilangan x, y, z adalah tiga bua bilangan genap berurutan dengan x < y< z. Jika a =
( z  x)( y  x)
, maka a yang memenuhi adalah ...
( z  y)
17. Jika 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, Tentukan nilai dari 64 .x + 0,5y =…
18. Diketahui (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, maka nilai (2x + y) : (3x + 10y) adalah .....
19. Untuk nilai x dan y yang memenuhi system persamaan 7x – 3y +2 = 49x – 3y +1 dan 9x – y +1
= 243x – y , maka nilai x – y = …
20. Bentuk sederhana dari ( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1) adalah …
Kunci Jawaban Pilihan Ganda
1. Diketahui : a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3
Ditanya : a + b + c =…??
Jawab :
b+c=2
a+b=1–
c–a =1
c=1+a
c+a=3
1+a+a=3
b+c=2
2a = 2
b+2=2
a =1
b=0
c=2
sehingga a + b + c = 1 + 0 + 2 = 3 (B)
2. Misal, dua bilangan itu x dan y. Maka x – y = 2 dan x² - y² = 6.
x=2+y
x² - y² = 6
(2 + y)² - y² = 6
4 + 4y + y² - y² = 6
4y – 2 = 0
4y = 2
y=½
x=2+y
x = 2 + ½ = 2½
x + y = 2½ + ½ = 3
Jadi, hasil tambah dua bilangan itu adalah 3 (D)
3.
1 1 1

 maka x = ...
6 12 x
2 1
3 1 1


 
12 12 12 4 x
x = 4,
4 = 2 (A)
4. Diketahui : a + b = 1, dan a2 + b2 = 5, maka a3 + b3 = ...
a=1–b
a2 + b2 = 5
(1 – b )² + b² = 5
1 – 2b + b² + b² = 5
2b² - 2b – 4 = 0
b² - b – 2 = 0
(b – 2 ) (b + 1) = 0
b=2 atau b= – 1
b=2
a=1–2=–1
(– 1)³ + 2³ = – 1 + 8 = 7
b= –1
a=1+2=3
3³ + (– 1)³ = 27 – 1 = 26
jadi, a3 + b3 = 7 atau a3 + b3 = 26 (E)
5.
6.
7.
8.
9.
log ( 21  2.3 6 - 5  2 6 )
= 16log [( 21 2 3.6 - 5  2 6 )]
= 16log [ √18 + √3 – (√3 - √2) ]
= 16log [ 3√2 + √3 – (√3 - √2) ]
= 16log 4√2 = 24 log 2 5/2
5 1
5
= . . 2log 2 = (C)
2 4
8
3
3
Diketahui : x + y = 12 dan x  y = 432
x = 12 – y
( 12 – y )3 + y3 =432
1728 +3.122.y + 3.y2.12 – y3 + y3= 432
36y2 + 432y +1296 = 0
y2 + 12y + 36 = 0
( y + 6 ) (y + 6 ) = 0
y=–6
x = 18
2
2
2
2
=
18
+
(-6)
=
324 + 36 = 360 ( C )
x y
2
x + 12x – 864 = (x + 36) (x – 24) (A)
Diketahui : 1/a + 1/b = 2, 1/a + 1/c = 7, dan 1/b + 1/c = ½.
1 1 1
   (2+7+1/2)/2 = 19/4 (D)
a c b
2 4
1
1
a
a2
1
1


=
=
=
 2

2
2
5
25
b
3
21
a b a b
b
1
1
1
1 2
2
4
a
a
4  14
10

=
21
21
16
10
21
10. Misal, Ayam Besar =B ; Ayam Sedang =S ; Ayam Kecil = K
Diketahui :
B + K = 2,6 kg
………….(1)
B + S = 3 kg
………….(2)
S + K = 2 kg
………….(3)
Ditanya :
Berat ketiga ayam ?
Jawab : eliminasi persamaan (2) dan (3)
B + S = 3 kg
S + K = 2 kg –
B–K=1
B = 1 + K ………(4)
Masukkan persamaan (4) ke dalam persamaan (1)
B + K = 2,6 kg
1 + K + K = 2,6 kg
2K = 1,6 kg
K = 0,8 kg
Jawaban (A) 
B + K = 2,6 kg
B + S = 3 kg
B = 2,6 kg – 0,8 kg
S = 3kg – 1,8 kg
B = 1,8 kg
S = 1,2 kg
Sehingga Jumlah ketiga ayam tersebut yaitu B + S + K = 1,8 kg + 1,2 kg + 0,8 kg = 3,8
kg (B)
Kunci Jawaban Soal ISian !!
13. Misalkan x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa. Dari soal diperoleh :
x – 1= (y - 1)/7 dan x = (y – 2)/5
Sistem persamaan linear yang terbentuk
7x – y = 6
5x – y = -2
Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua, didapat
2x = 8  x = 4  y = 22.
Dengan demikian, SMA : SMP = (22-4) : 4 = 18 : 4 = 9 : 2
Jawaban : 9 : 2.
30 abc  a  c
30
1

14. Diketahui
maka

1
7
bc  1
7
a
1
b
c
atau 30(bc + 1) = 7(abc + a + c).
Hal ini berarti 7 habis membagi 30(bc + 1). Karena 7 tidak habis membagi 30 maka 7
habis membagi bc + 1, atau bc = 6.
Ada dua kemungkinan yang dihasilkan :
b = 2 dan c = 3. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
 30 = 6a + a + 3
 a = 27/7 (tidak mungkin)
b = 3 dan c = 2. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c)
 30 = 6a + a + 2
 a=4
Jadi 7a + b - c = 7.4 + 3 – 2 = 29.
Jika x adalah bilangan bulat positif dan
2a + x = b
x+b =a
a+b =c
nilai terbesar yang mungkin dari a + b + c = ? Jelaskan jawaban anda.
Solusi :
Misalkan
2a + x = b
............................................................... (1)
x+b =a
............................................................... (2)
a+b =c
............................................................... (3)
Perhatikan peersaman (1) dan (2). Dengan metode substitusi, didapat 2a + x = a – x
sehingga a = -2x. Hal ini berakibat b = -3x dan c = -5x.
Jadi a + b + c = -2x – 3x – 5x = -10x. Diketahui x adalah bilangan bulat positif, maka
nilai terbesar a + b + c = -10x = -10.
Jawaban : -10
15. Diketahui xy = 600 dan (x+5)(y-6) = 600.
(x+5)(y-6) = 600  (x+5)(600/x-6) = 600
 (x+25)(x-20) = 0
 x = -25 atau x = 20.
Jawaban : 20
16. karena x, y , dan z adalah bilangan genap berurutan dengan x < y < z, maka y dan z dapat
dinyatakan sebagai berikut :
y=x+2
;
z=x+4
dari sini diperoleh :
( z  x)( y  x)
( x  4  x)( x  2  x) 4.2
a=
=
=
=4
2
( z  y)
( x  4  ( x  2))
17. Eliminasi kedua persamaan, yaitu 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, sehingga akan mendapat
x = 4 dan y = 10.
64 .x + 0,5y = 8x + 0,5y = (8.4) + (0,5.10) = 32 +5 =37
18. (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, sehingga didapat 2x - 3y = 3x + 6y. Kemudian kumpulkan
variable yang sejenis, maka kita dapatkan 2x-3x = 6y+3y. Jadi x = -9y.
Nilai (2x + y) : (3x + 10y) = ( 2. (-9y))+ y) : ( 3(-9y) + 10y)
= ( -17y) : (-17y) = 1
19. 7x – 3y +2 = 49x – 3y +1 dan 9x – y +1 = 243x – y
7x – 3y +2 = 72(x – 3y +1) dan 32(x – y +1) = 35(x – y)
x – 3y + 2 = 2x – 6y + 2 dan 2x – 2y + 2 = 5x – 5y
x – 3y = 0 …….(i) dan 3x – 3y = 2 …..(ii)
dari (i) dan (ii)
3x – x =2
1
x = 1 dan y =
3
2
jadi, x – y =
3
20. ( 8x3 + 8x2 + 4x + 1 ) ( 8x3 – 8x2 + 4x – 1) = 64x6 – 64x5 + 32x4 – 8x3 + 64x5 –
64x4 +
32x3 – 8x2 + 32x4 – 32x3 + 16x2 – 4x
+ 8x3 – 8x2 + 4x – 1
= 64x6 – 1
Nama
Nim
: Rizki Resti Ari
: 09320002
1. Cari semua bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan
Jawab :
2. Bila
, carilah nilai dari
!
Jawab :
Salah satu cara menjawab soal diatas dapat dilakukan sebagai berikut :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
!
3. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kali kedua bilangan itu adalah -7
Hitung :
a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itu
b. Jumlah kebalikan kedua bilangan itu
c. Jumlah pangkat 4 kedua bilangan itu
Jawab :
Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = 21 dan xy = -7
a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itu = x2 + y2
x2 + y2 = (x + y)(x + y) – 2(xy)
= (21)(21)-2(-7)
= 441 + 14 => 455
b. Jumlah kebalikan kedua bilangan itu =
c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan itu= x4 + y4
x4 + y4 = (x2 + y2)( x2 + y2) - 2 x2 y2
= (455)(455)-2(-7)2
= 207025 – 98 => 206927
4. Bilangan x2 – 3x + 1 = 0, Carilah nilai dari
Jawab :
Pandang x2 – 3x + 1 = 0 =>
(i)
!
(ii)
(iii)
5. Jika 3 + 5x = 28, maka nilai x adalah…………..
a. 20
b. 3,5
c. 5
d. 6,2
e. 125
Jawab :
Jika 3 + 5x = 28, maka 5x = 28 – 3 = 25. Sehingga x =
Jadi nilai x = 5 => (c) (Hamiyah : 3, 2008)
6. Jika x = 5 dan y = x + 3 dan z = 3y + 1, nilai z adalah………………
a. 7
b. 25
c. 12
d. 46
e. 19
Jawab :
Jika x = 5 dan y = x + 3, maka y = 5 + 3 = 8
Jika y = 8 dan z = 3y + 1, maka z = 3(8) + 1
= 24 + 1 = 25
Jadi nilai z = 25 => (b) (Hamiyah : 157, 2008)
7. Jika x = 12 dan y = -6, maka nilai dari
a. 3
adalah………………….
b. 7
c.
d. 5
e.
Jawab :
Jika x = 12 dan y = -6, maka
=>jadi jawabannya ( c ) (Hamiyah : 182, 2008)
8. Panjang tiga sisi segitiga adalah 7, x + 4 dan 2x + 1. Keliling segitiga itu adalah 36.
Berapa sisi terpanjang dari segitiga itu?
a. 7
b. 12
c. 17
d. 15
e. 16
Jawab :
Jika keliling segitiga itu adalah 36, maka 7 + (x + 4) + (2x + 1) = 36 atau
3x + 12 = 36 => 3x = 24 dimana x = 8
Jadi, panjang tiga sisi segitiga itu adalah
a. 7
b. 8 + 4 = 12
c. 2(8) + 1 = 17
Dimana yang paling panjang adalah 17 ( c ) (Hamiyah : 219, 2008)
9. Kebalikan dari
a.
b.
c.
d.
adalah (
+ 1). Berapakah nilai dari x ?
e.
Jawab :
Jika kebalikan
adalah (
+ 1), maka
+1=
=
x=
=> ( c )
(Hamiyah : 259, 2008)
10. Jika x = -3, maka nilai dari 3x2 + 2x adalah…………..
a. 81
b. 75
c. -33
d. 21
e. -24
Jawab :
Dengan mengganti x = -3, diperoleh 3x2 + 2x = 3(-3)2 + 2(-3)
= 3(9) – 6
= 21 => ( d )
(Hamiyah : 277, 2008)
SUMBER :
1. Sukino.2009.Mastro Olimpiade Matematika SMP. Erlangga: Jakarta
2. Hamiyah,nur.2008.Olimpiade Matematika Untuk SMP/MTs.Cerdas Pustaka
Publisher: Jakarta
Nama
: Iswatun Arifin
Nim
: 093200
1. Berikut ini manakah yang bukan faktor dari
1
a.
d.
b.
e. Semua jawaban benar
c.
Jawaban
Jadi faktor-faktornya adalah
)
Jawabannya (e)
2. Misalkan
adalah salah satu akar dari
Berapakah nilai dari
a. -2
c. 0
b. -1
d. 1
.
?
e. Tidak bisa ditentukan
Jawaban
Diketahui
adalah salah satu akar dari
, artinya
Ditanyakan beberapa nilai dari
+
=
Jawabannya (d)
3. Empat bilanngan bulat yang beerurutan ditambahkan. Jika bilangan terkecil adalah 2m-1,
maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah
a. 8m – 10
c. 8m + 8
e. 8m + 3
b. 8m + 2
d. 8m + 10
Jawaban
Karena bilangan terkecilnya 2m-1, maka bilangan tersebut adalah 2m – 1,2m,2m + 1, 2m
+ 2. Jadi jumlah keempat bilangan tersebut adalah
(2m – 1)+(2m)+(2m + 1)+(2m + 2) = 8m + 2
Jawabannya (b)
4. Jika
dan
, maka
a. 49
c. 55
b. 52
d. 58
= ..........
e. 61
Jawaban
Jawabannya (c)
5.
Dalam Math Idol, terdapat total 5 219 000 suara yang diberikan untuk empat Idol
potensial. Pemenangnya menerima 22 000 sura lebih banyak daripada kontestan tempat
ke-2, 30 000 suara lebih banyak daripada kontestan ke-3, dan 73 000 suara lebih banyak
daripada kontestan tempat ke-4. Berapa bannyak suara yang pemenang terima?
a. 1 273 500
c. 1 306 000
b. 1 263 000
d. 1 336 000
e. 1 346 500
Jawaban
Jika masing-masing banyaknya suara dalam soal ini adalah perkalian 1000, maka kita
mempertimbangkan banyaknya ribuan suara yang masinng-masing Idol potensial terima,
dengan membuat beberapa bilangan llebih mudah untuk digunakan. Terdapat total yang
diberikan.
Anggaplah bahwa pemenangnya menerima
dan
ribu suara. Kemudian, lawannya menerima
ribu suara.
Dengan menyamakan total bilangan ribuan suara.
Oleh karena itu, pemenangnya menerima 1 336 000 suara.
Jawabannya (d)
6.
Pada diagram berikut ini, keliling persegi panjangnya adalah 56. Berapa keliling persegi
panjang tersebut?
a. 247
c. 169
b. 187
d. 135
e. 775
Jawaban
Jika keliling persegi panjangnya adalah 56 maka :
Oleh karena itu, persegi panjangnya adalah
dengan
, sehingga persegi panjang itu memiliki
l
luas daerah 17(11)=187
Jawabannya (b)
7.
Pada masing-masing baris pada tabel, jumlah dari dua bilangan pertama sama dengan
bilangan ketiga. Juga, pada masing-masing kolom pada tabel, jumlah dari dua bilangan
pertama sama dengan bilangan ketiga.
Berapa jumlah sembilan bilangan dalam tabel tersebut?
a. 18
c. -18
b. 42
d. -6
e. 24
Dengan mencoba menetapkan m = 0, maka tabel menjadi
Dari ketiga baris tersebut,
menjadi :
atau
0
4
4
8
-6
2
8
-2
6
Jumlah
atau
sehingga tabel
dari sembilan bilangan dalam table adalah 0+4+4+8+(-
6)+2+8+(-2)+6=24
Jawabannya (e)
8.
Diketahui a dan b bilangan asli yang memenuhi
Tentukan nilai
a. 50
dan
.
?
b. 75
c. 80
d. 100
e. 110
Jawaban
difaktorkan menjadi : (
Diperoleh dua persamaan yaitu
eliminasi dan subtitusi di peroleh nilai
)(
dan
dan
)
, kemudian dengan cara
Dengan demikian
Jawabannya (d)
9.
Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk
n(n  1)
, dengan n adalah bilangan
2
asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah….
a. 8
b. 9
c. 10
d. 13
Jawaban
n 1
n
(
n

1
) 1
(
1

1
)


1
2
2
n2
n
(
n

1
) 2
(
2

1
)


3
2
2
n3
n
(
n

1
) 3
(
3

1
)


6
2
2
n4
n
(
n

1
) 4
(
4

1
)


10
2
2
n5
n
(
n

1
) 5
(
5

1
)


15
2
2
n6
n
(
n

1
) 6
(
6

1
)


21
2
2
n7
n
(
n

1
) 7
(
7

1
)


28
2
2
n8
n
(
n

1
) 8
(
8

1
)


36
2
2
n9
n
(
n

1
) 9
(
9

1
)


45
2
2
n  10
n
(
n

1
) 10
(
10

1
)


55
2
2
e. 15
n  13
n
(
n

1
) 13
(
13

1
)


91
2
2
n  15
n
(
n

1
) 15
(
15

1
)


120
2
2
Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13.
Jawabannya (d)
10. Jika
a. 27
. Tentukan nilai
b. 36
Jawaban
Jawabannya (c)
c. 47
?
d. 55
e.49