Permukaan - Wono Setya Budhi

Permukaan
Pemetaan Gauss dan Bentuk Dasar Pertama
Wono Setya Budhi
Februari, 2014
KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB
Permukaan
N
1 / 24
Pemetaan Gauss
1
Misalkan M permukaan reguler, fungsi
n :M → Σ
P 7 → n (P )
dengan n (P ) adalah vektor normal dari permukaan M, dan Σ
adalah permukaan bola satuan.
Example
Permukaan
N
2 / 24
Pemetaan Gauss
Misalkan M permukaan reguler, fungsi
1
n :M → Σ
P 7 → n (P )
dengan n (P ) adalah vektor normal dari permukaan M, dan Σ
adalah permukaan bola satuan.
Example
1
Jika M bidang, maka n adalah konstan.
Permukaan
N
2 / 24
Pemetaan Gauss
Misalkan M permukaan reguler, fungsi
1
n :M → Σ
P 7 → n (P )
dengan n (P ) adalah vektor normal dari permukaan M, dan Σ
adalah permukaan bola satuan.
Example
1
Jika M bidang, maka n adalah konstan.
2
Jika M merupakan selinder, maka hasil pemetaan itu adalah
suatu ekuator.
Permukaan
N
2 / 24
Pemetaan Gauss
Misalkan M permukaan reguler, fungsi
1
n :M → Σ
P 7 → n (P )
dengan n (P ) adalah vektor normal dari permukaan M, dan Σ
adalah permukaan bola satuan.
Example
1
Jika M bidang, maka n adalah konstan.
2
Jika M merupakan selinder, maka hasil pemetaan itu adalah
suatu ekuator.
3
Jika M permukaan bola satuan, maka hasil pemetaan n adalah
seluruh permukaan bola.
Permukaan
N
2 / 24
Pemetaan Gauss
Example
Jika z = x 2 − y 2 atau x (u, v ) = u, v , u 2 − v 2 . Selanjutnya
xu = (1, 0, 2u ) dan xv = (0, 1, −2v )
Permukaan
N
3 / 24
Pemetaan Gauss
Example
Jika z = x 2 − y 2 atau x (u, v ) = u, v , u 2 − v 2 . Selanjutnya
xu = (1, 0, 2u ) dan xv = (0, 1, −2v )
Kemudian,
−2u
2v
1
n= √
,√
,√
4u 2 + 4v 2 + 1
4u 2 + 4v 2 + 1
4u 2 + 4v 2 + 1
Permukaan
N
3 / 24
Pemetaan Gauss
Example
Jika z = x 2 − y 2 atau x (u, v ) = u, v , u 2 − v 2 . Selanjutnya
xu = (1, 0, 2u ) dan xv = (0, 1, −2v )
Kemudian,
−2u
2v
1
n= √
,√
,√
4u 2 + 4v 2 + 1
4u 2 + 4v 2 + 1
4u 2 + 4v 2 + 1
1.0
0.8
1.0
0.6
0.4
0.5
0.2
-1.0
0.0
Permukaan
-0.5
N
0.0
-0.5
3 / 24
Memahami Bentuk Permukaan
Kita akan mempelajari bentuk dari permukaan
1
Permukaan
N
4 / 24
Memahami Bentuk Permukaan
1
Kita akan mempelajari bentuk dari permukaan
2
Khususnya kelengkungan?
Permukaan
N
4 / 24
Memahami Bentuk Permukaan
1
Kita akan mempelajari bentuk dari permukaan
2
Khususnya kelengkungan?
3
Tentu lebih rumit dibandingkan lengkungan.
Permukaan
N
4 / 24
Turunan Berarah
1
Misalkan f : M → R, tentu saja ini juga berlaku untuk M = R2
Permukaan
N
5 / 24
Turunan Berarah
1
Misalkan f : M → R, tentu saja ini juga berlaku untuk M = R2
2
Kemudian, misalkan V ∈ Tp (M ) vektor di bidang singgung.
Permukaan
N
5 / 24
Turunan Berarah
1
Misalkan f : M → R, tentu saja ini juga berlaku untuk M = R2
2
Kemudian, misalkan V ∈ Tp (M ) vektor di bidang singgung.
3
Turunan berarah fungsi f di P dengan arah V adalah
d f (α (t ))
DV f ( P ) =
dt t =0
dengan α (0) = P dan α0 (0) = V
Permukaan
N
5 / 24
Turunan Berarah
1
Misalkan f : M → R, tentu saja ini juga berlaku untuk M = R2
2
Kemudian, misalkan V ∈ Tp (M ) vektor di bidang singgung.
3
Turunan berarah fungsi f di P dengan arah V adalah
d f (α (t ))
DV f ( P ) =
dt t =0
dengan α (0) = P dan α0 (0) = V
4
Di R2 , kita mengetahui bahwa
DV f ( P ) = ∇ f ( P ) · V
Permukaan
N
5 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TP M
vektor satuan.
Permukaan
N
6 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
2
Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TP M
vektor satuan.
Kemudian, misalkan α adalah lengkungan hasil perpotongan antara
permukaan M dan bidang yang dibangun oleh V dan n.
Permukaan
N
6 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TP M
vektor satuan.
2
Kemudian, misalkan α adalah lengkungan hasil perpotongan antara
permukaan M dan bidang yang dibangun oleh V dan n.
3
Misalkan pula α diparameterisasi dengan panjang lengkungan.
Permukaan
N
6 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TP M
vektor satuan.
2
Kemudian, misalkan α adalah lengkungan hasil perpotongan antara
permukaan M dan bidang yang dibangun oleh V dan n.
3
Misalkan pula α diparameterisasi dengan panjang lengkungan.
4
Dalam hal ini α (0) = P dan α0 (0) = V
Permukaan
N
6 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Misalkan M permukaan dan P ∈ M. Misalkan pula V ∈ TP M
vektor satuan.
2
Kemudian, misalkan α adalah lengkungan hasil perpotongan antara
permukaan M dan bidang yang dibangun oleh V dan n.
3
Misalkan pula α diparameterisasi dengan panjang lengkungan.
4
Dalam hal ini α (0) = P dan α0 (0) = V
5
Perhatikan bahwa normal utamanya tentu ±n (P )
Permukaan
N
6 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Permukaan
N
7 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Dengan demikian kelengkungan κ (P ) dapat dihitung sebagai
±κ (P ) = κN · n = T0 (0) · n (P )
Permukaan
N
8 / 24
Kelengkungan Permukaan
1
Dengan demikian kelengkungan κ (P ) dapat dihitung sebagai
±κ (P ) = κN · n = T0 (0) · n (P )
2
Selanjutnya, karena n (α (s )) · T (s ) = 0, maka
n (P ) · T0 (0) + n0 (α (0)) · T (0) = 0, maka
±κ (P ) = −T (0) · n0 (α (0))
= − V · DV n ( P ) = − DV n ( P ) · V
Permukaan
N
8 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
Permukaan
N
9 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
2
Pemetaan
SP : TP M → TP M
didefinisikan sebagai SP (V) = −DV n (P ) merupakan pemetaan
linear, dan
Permukaan
N
9 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
2
Pemetaan
SP : TP M → TP M
didefinisikan sebagai SP (V) = −DV n (P ) merupakan pemetaan
linear, dan
3
merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TP M
berlaku
SP (U) · V = U · SP (V)
Permukaan
N
9 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
2
Pemetaan
SP : TP M → TP M
didefinisikan sebagai SP (V) = −DV n (P ) merupakan pemetaan
linear, dan
3
4
merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TP M
berlaku
SP (U) · V = U · SP (V)
Pemetaan S disebut sebagai shape operators.
Permukaan
N
9 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
Proof.
Permukaan
N
10 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
Proof.
1
Misalkan α lengkungan dengan α (0) = P dan α0 (0) = V.
Dalam hal ini n ◦ α (t ) = n (α (t )) merupakan vektor yang
konstan.
Permukaan
N
10 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
Proof.
1
2
Misalkan α lengkungan dengan α (0) = P dan α0 (0) = V.
Dalam hal ini n ◦ α (t ) = n (α (t )) merupakan vektor yang
konstan.
Dengan demikian
DV n ( P ) · n ( P ) = ( n ◦ α ) 0 ( 0 ) · ( n ◦ α ) ( 0 )
=0
Permukaan
N
10 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Untuk V ∈ TP M, turunan berarah DV n (P ) ∈ TP M.
Proof.
1
2
Misalkan α lengkungan dengan α (0) = P dan α0 (0) = V.
Dalam hal ini n ◦ α (t ) = n (α (t )) merupakan vektor yang
konstan.
Dengan demikian
DV n ( P ) · n ( P ) = ( n ◦ α ) 0 ( 0 ) · ( n ◦ α ) ( 0 )
=0
Permukaan
N
10 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Pemetaan
SP : TP M → TP M
didefinisikan sebagai SP (V) = −DV n (P ) merupakan pemetaan
linear, dan
Proof.
Permukaan
N
11 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
Pemetaan
SP : TP M → TP M
didefinisikan sebagai SP (V) = −DV n (P ) merupakan pemetaan
linear, dan
Proof.
1
Sifat linear muncul karena turunan bersifat linear.
Permukaan
N
11 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TP M
berlaku SP (U) · V = U · SP (V)
Proof.
Permukaan
N
12 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TP M
berlaku SP (U) · V = U · SP (V)
Proof.
1
Pertama, kita menggunakan kurva koordinat yaitu u, v
Permukaan
N
12 / 24
Kelengkungan Permukaan
Theorem
1
merupakan pemetaan simetri, yaitu untuk setiap U, V ∈ TP M
berlaku SP (U) · V = U · SP (V)
Proof.
1
2
Pertama, kita menggunakan kurva koordinat yaitu u, v
Khususnya, n · xv = 0, maka (n · xv )u = 0 dan
nu · xv + n · xvu = 0. Perhatikan bahwa xu = −Dxu n. Jadi
SP (xu ) · xv = −Dxu n (P ) · xv
= −nu · xv = n · xvu
Permukaan
N
12 / 24
Kelengkungan Permukaan
Proof.
1
Khususnya, n · xv = 0, maka (n · xv )u = 0 dan
nu · xv + n · xvu = 0. Perhatikan bahwa xu = −Dxu n. Jadi
SP (xu ) · xv = −Dxu n (P ) · xv
= −nu · xv = n · xvu
Permukaan
N
13 / 24
Kelengkungan Permukaan
Proof.
1
Khususnya, n · xv = 0, maka (n · xv )u = 0 dan
nu · xv + n · xvu = 0. Perhatikan bahwa xu = −Dxu n. Jadi
SP (xu ) · xv = −Dxu n (P ) · xv
= −nu · xv = n · xvu
2
Serupa dengan di atas
SP (xv ) · xu = −Dxv n (P ) · xu
= −nv · xu = n · xuv
Permukaan
N
13 / 24
Kelengkungan Permukaan
Proof.
1
Khususnya, n · xv = 0, maka (n · xv )u = 0 dan
nu · xv + n · xvu = 0. Perhatikan bahwa xu = −Dxu n. Jadi
SP (xu ) · xv = −Dxu n (P ) · xv
= −nu · xv = n · xvu
2
Serupa dengan di atas
SP (xv ) · xu = −Dxv n (P ) · xu
= −nv · xu = n · xuv
3
Jika fungsi x ∈ C 2 , maka keduanya sama.
Permukaan
N
13 / 24
Kelengkungan Permukaan
Proof.
1
Setelah basis berlaku, misalkan U = axu + bxv dan
V = cxu + dxv , maka
SP (U) · V = (aSP (xu ) + bSP (xv )) · (cxu + dxv )
= acSP (xu ) · xv + . . .
= acxu · SP (xv )
Permukaan
N
14 / 24
Kelengkungan Permukaan
Proof.
1
Setelah basis berlaku, misalkan U = axu + bxv dan
V = cxu + dxv , maka
SP (U) · V = (aSP (xu ) + bSP (xv )) · (cxu + dxv )
= acSP (xu ) · xv + . . .
= acxu · SP (xv )
2
Terakhir, itu sama dengan U · SP (V).
Permukaan
N
14 / 24
Kelengkungan Permukaan
Example
1
Jika SP = O, maka M merupakan bidang.
Permukaan
N
15 / 24
Kelengkungan Permukaan
Example
1
Jika SP = O, maka M merupakan bidang.
2
Jika M merupakan bola, maka SP = − 1a IP
Permukaan
N
15 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Misalkan T : R2 → R2 merupakan transformasi linear, dan
mempunyai basis {e1 , e2 }.
Permukaan
N
16 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
2
Misalkan T : R2 → R2 merupakan transformasi linear, dan
mempunyai basis {e1 , e2 }.
Matriks transformasi dicari dari
T (e1 ) = ae1 + be2
T (e2 ) = ce1 + de2
a c
maka matriks penyajian [T ] =
b d
Permukaan
N
16 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
2
Misalkan T : R2 → R2 merupakan transformasi linear, dan
mempunyai basis {e1 , e2 }.
Matriks transformasi dicari dari
T (e1 ) = ae1 + be2
T (e2 ) = ce1 + de2
a c
maka matriks penyajian [T ] =
b d
3
Dengan a = T (e1 ) · e1 dan b = T (e1 ) · e2 jika {e1 , e2 } basis
orthonormal.
Permukaan
N
16 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
2
Misalkan T : R2 → R2 merupakan transformasi linear, dan
mempunyai basis {e1 , e2 }.
Matriks transformasi dicari dari
T (e1 ) = ae1 + be2
T (e2 ) = ce1 + de2
a c
maka matriks penyajian [T ] =
b d
3
4
Dengan a = T (e1 ) · e1 dan b = T (e1 ) · e2 jika {e1 , e2 } basis
orthonormal.
Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikan
IIP (U, V) = SP (U) · V
Permukaan
N
16 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikan
IIP (U, V) = SP (U) · V
Permukaan
N
17 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikan
IIP (U, V) = SP (U) · V
2
Jika
IIP (V, V) = SP (V) · V
= − DV n ( P ) · V
= − (n ◦ α ) 0 (0) · T (0)
= (n ◦ α ) (0 ) · T0 (0 )
= n (P ) · κN = ±κ
Permukaan
N
17 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikan
IIP (U, V) = SP (U) · V
Permukaan
N
18 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Untuk Operator SP , kita akan mendefinisikan
IIP (U, V) = SP (U) · V
2
Jika
IIP (V, V) = SP (V) · V
= − DV n ( P ) · V
= − (n ◦ α ) 0 (0) · T (0)
= (n ◦ α ) (0 ) · T0 (0 )
= n (P ) · κN = ±κ
Permukaan
N
18 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Misalkan matriksnya
l
m
m
n
, maka
l = IIP (xu , xu ) = −Dxu n · xu = xu u · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
Permukaan
N
19 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Misalkan matriksnya
l
m
m
n
, maka
l = IIP (xu , xu ) = −Dxu n · xu = xu u · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
2
Selanjutnya, jika diketahui matriks di atas, maka U = axu + bxv
dan V = cxu + dxv , maka
IIP (U, V) = IIP (axu + bxv , cxu + dxv )
= acIIP (xu , xu ) + (ad + bc ) IIP (xu , xv ) + bdIIP (xv , xv )
jika {xu , xv } orthonormal!
Permukaan
N
19 / 24
Mencari Matriks Penyajian Operator S
1
Misalkan matriksnya
l
m
m
n
, maka
l = IIP (xu , xu ) = −Dxu n · xu = xu u · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
m = IIP (xu , xv ) = −Dxu n · xv = xuv · n
2
Selanjutnya, jika diketahui matriks di atas, maka U = axu + bxv
dan V = cxu + dxv , maka
IIP (U, V) = IIP (axu + bxv , cxu + dxv )
= acIIP (xu , xu ) + (ad + bc ) IIP (xu , xv ) + bdIIP (xv , xv )
jika {xu , xv } orthonormal!
3
Bagaimana jika tidak orthonormal?
Permukaan
N
19 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
Karena S merupakan operator simetri, maka S akan mempunyai
dua nilai eigen real, dan disebuts ebagai kelengkungan utama
(principal curvatures) dari M di titik P.
Permukaan
N
20 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
Karena S merupakan operator simetri, maka S akan mempunyai
dua nilai eigen real, dan disebuts ebagai kelengkungan utama
(principal curvatures) dari M di titik P.
Vektor eigen yang berkaitan disebut arah utama (principal
directions)
Permukaan
N
20 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
Karena S merupakan operator simetri, maka S akan mempunyai
dua nilai eigen real, dan disebuts ebagai kelengkungan utama
(principal curvatures) dari M di titik P.
Vektor eigen yang berkaitan disebut arah utama (principal
directions)
Suatu garis disebut garis kelengkungan jika vektor singgungnya
pada setiap titik adalah mempunyai arah utama.
Permukaan
N
20 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Theorem
Misalkan e1 dan e2 vektor satuan sebagai arah utama (vektor
eigen) dan k1 dan k2 kelengkungan utama (nilai eigen).
Perhatikan {e1 , e2 } saling tegak lurus.
Proof.
Permukaan
N
21 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Theorem
Misalkan e1 dan e2 vektor satuan sebagai arah utama (vektor
eigen) dan k1 dan k2 kelengkungan utama (nilai eigen).
Perhatikan {e1 , e2 } saling tegak lurus.
Misalkan V = cos θ e1 + sin θ e2 untuk θ ∈ [0, 2π ), maka
IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ
Proof.
Permukaan
N
21 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Theorem
Misalkan e1 dan e2 vektor satuan sebagai arah utama (vektor
eigen) dan k1 dan k2 kelengkungan utama (nilai eigen).
Perhatikan {e1 , e2 } saling tegak lurus.
Misalkan V = cos θ e1 + sin θ e2 untuk θ ∈ [0, 2π ), maka
IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ
Proof.
1
Kita cukup menghitung
IIP (V, V) = IIP (cos θ e1 + sin θ e2 , cos θ e1 + sin θ e2 )
= IIP (e1 , e1 ) cos2 θ + IIP (e2 , e2 ) sin2 θ
Permukaan
N
21 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
1
Jika k1 ≥ k2 , maka
k2 ≤ IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ ≤ k1
Permukaan
N
22 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
1
Jika k1 ≥ k2 , maka
k2 ≤ IIP (V, V) = k1 cos2 θ + k2 sin2 θ ≤ k1
2
Hal ini dapat dilihat sebagai berikut
k1 cos2 θ + k2 sin2 θ = k1 1 − sin2 θ + k2 sin2 θ
= k1 + (k2 − k1 ) sin2 θ ≤ k1
Permukaan
N
22 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
1
Hasil kali dari kelengkungan utama disebut kelengkungan Gauss
K = k1 k2
Permukaan
N
23 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
1
Hasil kali dari kelengkungan utama disebut kelengkungan Gauss
K = k1 k2
2
Rata-rata dari kelengkungan utama disebut kelengkungan
k2
rata-rata H = k1 +
= 21
2
Permukaan
N
23 / 24
Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari S
Definition
1
Hasil kali dari kelengkungan utama disebut kelengkungan Gauss
K = k1 k2
2
Rata-rata dari kelengkungan utama disebut kelengkungan
k2
rata-rata H = k1 +
= 21
2
3
Suatu permukaan disebut permukaan minimal jika H = 0 dan
disebut rata-rata K = 0.
Permukaan
N
23 / 24
Interpretasi dari Kelengkungan Gauss
1
Misalkan S : R2 → R2 , dan ω ⊂ R2 , maka S (ω )
Permukaan
N
24 / 24
Interpretasi dari Kelengkungan Gauss
1
Misalkan S : R2 → R2 , dan ω ⊂ R2 , maka S (ω )
2
Ukuran luas
Luas S (ω ) = det [S ] Luas ω
= λ1 λ2 Luas ω
Permukaan
N
24 / 24
Interpretasi dari Kelengkungan Gauss
1
Misalkan S : R2 → R2 , dan ω ⊂ R2 , maka S (ω )
2
Ukuran luas
Luas S (ω ) = det [S ] Luas ω
= λ1 λ2 Luas ω
3
Jika perlu dilakukan ditambahkan nilai mutlak.
Permukaan
N
24 / 24
Interpretasi dari Kelengkungan Gauss
1
Misalkan S : R2 → R2 , dan ω ⊂ R2 , maka S (ω )
2
Ukuran luas
Luas S (ω ) = det [S ] Luas ω
= λ1 λ2 Luas ω
3
Jika perlu dilakukan ditambahkan nilai mutlak.
4
Untuk shape operator, maka S (ω ) ⊂ S 2 bola satuan.
Permukaan
N
24 / 24