Vektor Doc. - WordPress.com

MODUL TIPE B
KALKULUS “ VEKTOR ”
Disusun untuk memenuhi tugas Kalkulus Lanjut semester 3
Dosen Pengampu: Ibu Rizky Esti, S.Pd, M.Pd
Disusun Oleh
Moh. Arifin
13310206
Kelas 3F
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS PGRI SEMARANG
2014
1
Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti perpindahan
(displacement ), kecepatan, gaya dan percepatan.
Secara grafis, vector di gambarkan oleh sebuah anak panah OP ( Gambar 1 ) yang
mendefinisikan arahnya, sedangkan besarnya dinyatakan oleh panjang anak panah. Ujung
pangkal O dari anak panah di sebut titik asal atau titik pangkal vektor dan ujung kepala P di
sebut titik terminal atau terminus.
Secara analitis, vector dilambangkan oleh sebuah huruf dengan anak panah di atasnya,
seperti 𝐴⃗ dalam gambar.1 dan besarnya dinyatakan oleh | 𝐴⃗ | . Dalam karya cetakan tebal seperti
A, di pergunakan untuk menyatakan vektor 𝐴⃗ sedangkan | 𝐴⃗ | atau A menyatakan besarnya.
P
O
Gambar.1
Skalar adalah Besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang,
waktu, suhu, dan sebarang bilanagan riil. Scalar dinyatakan oleh huruf – huruf biasa seperti
dalam aljabar elementer. Operasi – operasi dengan scalar mengikuti aturan – aturan yang sama
seperti halnya pada aljabar elementer.
2
Operasi pada Vektor
Hukum Segitiga
v
u
u+ v
v
u + v adalah vector yang menghubungkan pangkal u dengan kepala v
Hukum jajar genjang
u
u+v
v
v
u + v adalah vector yang sepangkal dengan u dan yang berimpit dengan diagonal jajaran
genjang yang sisinya u dan v
3
Contoh soal
1.
Dari gambar di atas , carilah vector dan resultannya !
Jawab :
Misal :
Solusi 1
Vector u dan 2v
Resultan w = u + 2v
Misal :
Solusi 2
Vektor 2u dan v
Resultan w = 2u + v
Misal :
Solusi 3
Vektor u dan v
Resultan w = u + v
4
2.
Dari gambar di atas , carilah vector dan resultannya !
Misal :
Solusi 1
Vector u dan v
Resultan w = u + v
Misal :
Solusi 2
Vektor 2u dan v
Resultan w = 2u + v
Misal :
Solusi 3
Vektor u dan 2v
Resultan w = u + 2v
5
Pendekatan Aljabar terhadap Vektor
Untuk vector u yang diketahui di bidang kita pilih sebagai perwakilannya anak panah
yang pangkalnya di titik asal . Panah ini secara unik di tentukan oleh koordinat – koordinat u1
dan u2 dari kepalanya; yaitu vector u secara lengkap di uraikan oleh pasangan terurut ( u1,u2 ),
Bilangan u1 dan u2 di sebut komponen.
z
( u1, u2, u3 )
y
x
Gambar 3 , kenali u dengan tripel terurut ( u1,u2,u3 )
Untuk vector di ruang tiga, generalisasinya cukup mudah. Kita nyatakan vector dengan anak
panah yang di mulai dari titik asal dan berakhir pada titik dengan koordinat u1,u2, dan u3. Dan
kita nyatakan vector ini oleh ( u1,u2,u3). Dalam bab ini, kita kembangkan sifat – sifat vector di
tiga dimensi.
Vektor – vector u = ( u1,u2,u3) dan v = ( v1, v2, v3 ) adalah sama jika dan hanya jika komponen
yang berpadan sama ; yakni u1 = v1, u2 = v2, dan u3 = v3. Untuk mengalikan vector u dengan
6
skalar c, kita kalikan masing – masing komponen dengan c; yakni Notasi –u menunjukkan vector
( -1 )u = ( -u1, -u2, -u3 ). Vektor dengan semua komponen sama dengan nol di sebut vector nol;
yakni 0 = ( 0,0,0 ). Jumlah vector u dan v adalah
u + v = ( u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3 )
Vektor u – v di definisikan menjadi :
u – v = u + (-1)v = ( u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3 )
Tiga vector khas di ruang tiga adalah i = ( 1,0,0 ), j = ( 0,1,0 ),dan k = ( 0,0,1 ). Ini disebut
vector satuan baku atau vector basis. Setiap vector u = ( u1,u2,u3 ) dapat di tuliskan dalam bentuk
i , j , dan k sebagai berikut :
u = ( u1,u2,u3 ) = u1i + u2j + u3k
Magnitude vector adalah panjang anak panah yang menyatakannya. Jika panah mulai dari titik
asal dan berakhir pada ( u1,u2,u3 ), maka panjangnya dapat di tentukan dengan rumus jarak :
ǁuǁ = √𝑢1 2 + 𝑢2 2 + 𝑢3 2
Teorema A
Untuk sebarang vector u, v, dan w dan sebarang scalar a dan b, berlaku hubungan berikut.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
7
u+v
(u+v)+w
u+0
u + (-u)
a (bu)
a(u+v)
(a+b)u
1u
ǁauǁ
= v+u
= u+(v+w)
=0+u=u
=0
= (ab) u
= au + av
= au +bu
=u
= |a| ǁuǁ
Bukti :
1. u + v = v + u
Misal u = < u1, u2 >
v = < v1, v2 >
v + u = < v1, v2 > + < u1, u2 >
= < ( v1 + u1 ) , ( v2 + u2 ) >
= < ( u1 + v1 ) , ( u2 + v2 ) >
= < u1, u2 > + < v1, v2 >
=u+v
2. ( u + v ) + w = u + ( v + w )
Misal u = < u1, u2, u3 >
v = < v1, v2, v3 >
w = < w1,w2, w3>
u + ( v + w ) = < u1, u2, u3 > + ( < v1, v2, v3 > + < w1, w2, w3 > )
= < u1, u2, u3 > + < ( v1 + w1), (v2 + w2 ), (v3 +w3) >
= < ( u1 + v1 + w1 ), ( u2 + v2 +w2 ), ( u3 + v3 + w3 ) >
= < (u1 + v1 ), ( u2 + v2 ), ( u3 + v3 ) ] + [ ( w1, w2, w3 ) >
=(u+v)+w
Teorema yang lain di buktikan sebagai latihan
Contoh soal :
1. Misalkan vector u + v = < 5, 2, -3 >
Tentukan u dan v !
Misal :
- Solusi 1 :
u = < 8, -2, 6 >
v = < -3, 4, -9 >
Sehingga u + v = < 8, -2, 6 > + < -3, 4, -9> = < 5, 2, -3 >
Jadi, terbukti.
Misal :
-
8
Solusi 2 :
u = < 2, 6, -6 >
v = < 3, - 4, 3 >
Sehingga u + v = < 2, 6, -6 > + < 3, - 4, 3 > = < 5, 2, -3 >
Jadi, terbukti.
Misal :
- Solusi 3 :
u = < 1, 1, -5 >
v = < 4, 1, 2 >
Sehingga u + v = < 1, 1, -5 > + < 4, 1, 2 > = < 5, 2, -3 >
Jadi, terbukti.
2. Diketahui vector ( u - v ) - w = < 9, 8, 4 > , jika u = < 12, 4, 1 >
Tentukan v dan w !
Misal :
- Solusi 1
v = < 2, - 1, -2 >
w = < 1, -3, -1 >
Sehingga ( u – v ) – w = ( < 12, 4, 1 > - < 2, -1, -2 > ) - < 1, -3, -1 >
Jadi, terbukti.
Misal :
-
Solusi 2
v = < 0,-2, -3 >
w = < 3, -2, 0 >
Sehingga ( u – v ) – w = ( < 12, 4, 1 > - < 0, -2, -3 > ) - < 3, -2, 0 >
Jadi, terbukti.
Misal :
-
9
Solusi 3
v = < 1, 0, -1 >
w = < 2, -4, -2 >
Sehingga ( u – v ) – w = ( < 12, 4, 1 > - < 1, 0, -1 > ) - < 2, -4, -2 >
Jadi, terbukti.
Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang satu di sebut Vektor satuan.
𝑣
u = ǁ𝑣ǁ
1. Misalkan u adalah vector satuan yaitu < 5, 4 >. Carilah v dan ǁ v ǁ
Penyelesaian :
Misal :
Solusi 1
v = < 20, 16 > dan ǁ v ǁ = 4
Sehingga vector satuan u =
<20,16>
4
= < 5, 4 >
Jadi, terbukti.
Misal :
Solusi 2
v = < 30, 24 > dan ǁ v ǁ = 6
Sehingga vector satuan u =
<30,24>
6
= < 5, 4 >
Jadi, terbukti.
Misal :
Solusi 3
v = < 25, 20 > dan ǁ v ǁ = 5
Sehingga vector satuan u =
<25,20>
5
= < 5, 4 >
Jadi, terbukti.
2. Misalkan v = < 12, 6 >. Carilah u dan ǁ v ǁ
Misal :
Solusi 1
u = < 6, 3 > dan ǁ v ǁ = 2
Sehingga u . ǁ v ǁ = < 6, 3 > . 2 = < 12, 6 >
Jadi, terbukti.
Misal :
Solusi 2
u = < 4, 2 > dan ǁ v ǁ = 3
Sehingga u . ǁ v ǁ = < 4, 2 > . 3 = < 12, 6 >
Jadi, terbukti.
Misal :
Solusi 3
u = < 2, 1 > dan ǁ v ǁ = 6
Sehingga u . ǁ v ǁ = < 2, 1 > . 6 = < 12, 6 >
Jadi, terbukti.
10
Latihan
1.
Dari gambar di atas, carilah vector dan resultannya !
2. u adalah vector satuan yaitu < 6, 7 > . Tentukan v dan ǁ v ǁ
3. Misalkan vector ( u - v ) + w = < 5, 4, 6 >
Tentukan u, v dan w !
11
Jawaban :
1. Solusi 1
Vektor u dan v
Resultan w = u + v
Solusi 2
Vektor u dan 2v
Resultan w = u + 2v
Solusi 3
Vektor 2u dan v
Resultan w = 2u + v
2. Solusi 1
v = < 18, 21 >
ǁvǁ=3
𝑣
Sehingga u = ǁ 𝑣 ǁ =
<18,21>
3
= < 6, 7 >. Jadi, terbukti.
Solusi 2
v = < 30, 35 >
ǁvǁ=5
𝑣
Sehingga u = ǁ 𝑣 ǁ =
<30,35>
5
= < 6, 7 >. Jadi, terbukti.
Solusi 3
v = < 24, 28 >
ǁvǁ=4
𝑣
Sehingga u = ǁ 𝑣 ǁ =
<24,28>
4
= < 6, 7 >. Jadi, terbukti.
3. Solusi 1
u = < 6, 4, 8 >
v = < 4, 2, 5 >
w = < 3, 2, 3 >
Sehingga, ( u – v ) + w = (< 6, 4, 8 > - < 4, 2, 5 >) + < 3, 2, 3 > = < 5, 4, 6 >
Jadi, terbukti.
Solusi 2
u = < 10, 7, 5 >
v = < 5, 4, 1 >
w= < 5, 1, 2 >
Sehingga, ( u – v ) + w = (< 10, 7, 5 > - < 5, 4, 1 >) + < 5, 1, 2 > = < 5, 4, 6 >
Jadi, terbukti.
12
Solusi 3
u = < 9, 8, 5 >
v = < 4, 4, 1 >
w = < 1, 2, 2 >
Sehingga, ( u – v ) + w = (< 9, 8, 5 > - < 4, 4, 1 >) + < 1, 2, 2 > = < 5, 4, 6 >
Jadi, terbukti.
13