Hubungan Fasor untuk R, L dan C

*
By. Risa Farrid Christianti, S.T.,M.T.
*


Fasor tegangan dan arus pada resistor
Perhatikan Gambar 1 dibawah ini
Gambar 1.a. Dalam daerah waktu
Gambar 1.b. Dalam daerah frekuensi

Kita mulai dari persamaan daerah waktu, lalu buat kedua
arus dan tegangan menjadi kuantitas kompleks 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , setelah
menekan di seluruh persamaan, maka didapatkan hubungan
yg diinginkan antara tegangan fasor dan arus fasor.

Pada rangkaian R, gambar 1.a, dapat diperoleh persamaan :
v(t) = Ri(t) …………………(1)

Sekarang kita pakai tegangan kompleks :
Vme j (t  )  Vm cos(t   )  jVm sin(t   ) …….(2)

Untuk arus kompleks :
I me j (t  )  I m cos(t   )  jI m sin(t   ) …..(3)


Sehingga dari persamaan (2) dan (3) didapatkan :
Vme j (t  )  RI me j (t  ) …………..(4)
Dengan membagi seluruh ruas dengan
maka didapatkan :

Vme j  RI me j
e
jt
…………..(5)
Persamaan (5) dalam bentuk polar,
Vm  RI
.…………(6)

Persamaan (6) hanya merupakan bentuk fasor tegangan
umum dan fasor arus umum V dan I, jadi :
V = RI

………….(7)
Jadi hubungan tegangan arus di dalam bentuk fasor sebuah
tahanan mempunyai bentuk yang sama seperti hubungan
tegangan dan arus daerah waktu. (Lihat Gambar 1.b)

Contoh :
Jika sebuah tegangan
v  8 cos(100t  50 )
0
melintasi tahanan 4 Ohm, maka carilah arus pada daerah
waktu dan fasor (frekuensi)?
jawab :
arus (daerah waktu) :
v(t ) 8 cos(100t  500 )
i(t ) 

 2 cos(100t  500 )
R
4
Dalam bentuk fasor, tegangan menjadi :
8  50
Sehingga arus dalam bentuk fasor adalah :
V 8  500
I 
 2  500 A
R
4
0
V
A


Fasor tegangan dan arus pada induktor
Perhatikan Gambar 2.a dan 2.b dibawah ini.
Gambar 2.a. daerah waktu
Gambar 2.b. daerah frekuensi

Kita bisa mendapatkan persamaan tegangan untuk Gambar
2.a pada daerah waktu :
di(t )
v(t )  L
dt …………(8)

Subtitusikan persamaan (2) dan (3) pada persamaan (8),
sehingga didapatkan :
Vm e j (t  )

d ( I m e j (t  ) )
L
……………….(9)
dt
Dari hasil turunan persamaan (9), didapat
Vme j (t  )  jLI me j (t  ) ……………(10)

Dengan menekan
e
jt
, maka didapatkan :
Vme j  jLI me j ………….(11)


Maka didapatkan hubungan fasor yang diinginkan sbb:
V  jLI
…………………(12)
Untuk sudut dari faktor jL besarnya tepat +90 derajat,
jadi dapat disimpulkan bahwa arus (I) harus tertinggal dari
V sebesar 90 derajat dalam sebuah induktor.

Contoh soal
Jika diberikan sebuah tegangan fasor
8  500 Volt
dengan frekuensi  = 100 rad/s kepada sebuah induktor 4H.
Maka arus fasornya adalah :
jawab :
V
8  50 0
I

  j 0,02  50 0 A
j L
j.100.4
arus diatas dalam bentuk imajiner, maka bentuk riilnya
adalah :
I  0,02  1400 A
Jika kita nyatakan arus fasor diatas ke dalam ungkapan arus
domain waktu, maka :
i(t )  0,02 cos(100t  1400 ) A


Fasor tegangan dan arus pada kapasitor
Perhatikanlah Gambar 3.a dan 3.b dibawah ini.
Gambar 3.a. daerah waktu
Gambar 3.b. daerah frekuensi

Pada Gambar 3.a, kita mendapatkan persamaan sbb :
dv(t )
i(t )  C
dt

………………(13)
Sekali lagi, dengan mengambil v(t) dan i(t) sebagai
kuantitas komplek (2) dan (3), dengan mengambil turunan
jt ,maka persamaan
yang ditunjukkan, serta menekan
fasor dari I didapatkan sbb:
e
I  jCV ………………(14)

Jadi, dapat dilihat bahwa arus (I) mendahului tegangan V
sebesar 90 derajat.

Contoh soal
0
Jika sebuah tegangan fasor 8  50 Volt, diberikan pada
kapasitor 4 F dan  = 100 rad/s, maka arus fasornya adalah
…………………………
Jawab:
I  jCV
I  j.100.4.(8  50 0 )  j 400(8  50 0 )
 40090 0.(8  50 0 )
 400.8 90 0 - 50 0
 320040 0 A
Persamaan arus dalam domain waktunya adalah :
i (t )  3200 cos(100t  400 ) A

Rangkuman hubungan fasor tegangan dan arus pada
tahanan, induktor dan kapasitor
Komponen
Pers. daerah
waktu
Pers. daerah
frekuensi
Tahanan
v = Ri
V = RI
Induktor
v = L di/dt
V = jLI
Kapasitor
i = C dv/dt
I = jCV
*

Hubungan arus dan tegangan untuk ketiga elemen pasif (R,
L, dan C) adalah sbb:
V  RI

V  jLI
V 
I
jC
Jika ketiga persamaan diatas kita tuliskan kedalam
perbandingan fasor tegangan dan arus maka:
V
R
I
V
 jL
I
V
1

I
jC

Kita dapatkan bahwa untuk L dan C adalah fungsi sederhana
dari harga elemen dan juga frekuensinya.

Perbandingan tegangan dan arus adalah yang disebut
impedansi dengan simbol Z.

Impedansi adalah sebuah kuantitas kompleks yang
berdimensi ohm, impedansi bukanlah fasor yang bisa
ditransformasikan ke daerah waktu.

Contoh :
Jika diketahui  = 10^4 rad/s, dengan induktor sebesar
5 mH yang tersusun seri dengan kapasitor sebesar 100 uF, maka
impedansi total dari rangkaian seri L-C adalah:
jawab:
Z L  jL  j50
1
ZC 
  j1
jC
Impedansi seri adalah :
Z eq  j 50  j1  j 49 

Jika rangkaian L-C di atas di rangkai secara paralel, maka
impedansi ekivalennya adalah:
( j50)( j1) 50
Z eq 

  j1,02
j50  j1
j 49

Bilangan kompleks atau kuantitas yang menyatakan
impedansi dapat dinyatakan baik dalam bentuk polar
maupun bentuk rectangular.

Dalam bentuk polar, misalkan impedansinya adalah 100  60
maka artinya bahwa impedansi ini memiliki magnitudo =
100 dan sudut fase -600.

Impedansi yang sama 100  60 0, bila dinyatakan dalam
bentuk rectangular , maka 50 – j86,6. Ini bisa dikatakan
bahwa impedansi ini mempunyai komponen penahan /
resistansi sebesar 50 Ohm, dan komponen reaktif /
reaktansi sebesar -86,6

Komponen penahan/ resistansi adalah bagian riil impedansi
sedangkan komponen reaktif adalah bagian imajiner dari
impedansi.

Secara umum, bentuk impedansi dalam bentuk rectangular
adalah :
Z = R + jX

Sedangkan dalam bentuk polar adalah :
Z = |Z| 
dengan :
| Z | R 2  X 2
X
  tan
R
1
*


Admitansi merupakan kebalikan dari impedansi.

Kita definisikan admitansi sebagai Y
Sebagai kebalikan impedansi, admitansi menawarkan
beberapa hal yang memudahkan didalam analisis keadaan
mantap sinusoida dari rangkaian RLC.
,

=
Persamaan diatas tidak mengatakan bahwa bagian riil
admitansi sama dg kebalikan riil impedansi
I
Y
V
1
Y
Z
Y
1
1
 G  jB 
Z
R  jX
1
1
Y   G  jB 
Z
R  jX
Dengan :
G = konduktansi
B = suseptansi
Satuan Y, G dan B semua dalam mho (ohm
kebalik).
 Misalkan impedansi Z = 1 – j2 ohm dapat
dinyatakan dengan tahanan 1 Ohm seri
dengan kapasitansi 0,1 uF, jika  = 5
Mrad/s.
Maka rangkaian tanahan (R) seri dengan
kapasitansi mempunyai admitansi
1
1
1 1 j2
Y 

.
 0,2  j 0,4
Z 1 j2 1 j2 1 j2
 Admitansi ekivalen sebuah rangkaian pararel
adalah jumlah admitansi dari setiap cabang.
 Jadi pernyataan admitansi Y = 0,2 + j0,4 itu bisa
dinyatakan dengan konduktansi (G) 0,2 pararel
dengan suseptansi (B) 0,4.
 Konduktansi (G) 0,2 bisa didapat dari tahanan 5
Ohm.
 Suseptansi (B) 0,4 bisa didapat dari kapasitor
0,08 uF pada  = 5 Mrad/s.
 Perlu diingat bahwa Y(kapasitor) = jC
R = 1 Ohm ; C = 0,1 uF ;  =
5Mrad/s.
Maka
1
Z eq  Z R  Z C  R 
jC
1
1
Z eq  1 
 1
6
6
j.5.10 .0,1.10
j 0,5
Z eq  1  j 2
Admitansi rangkaian diatas adalah :
1
1
Y

Z eq 1  j 2
Untuk menyelesaikan admitansi diatas, maka
jadikan penyebutnya dalam bilangan riil yaitu
dengan mengalikan pembilang dan penyebut dg
conjugate penyebutnya
Y
1 1 j2
.
 0,2  j 0,4
1 j2 1 j2
Dengan :
Konduktansi (G) = 0,2
Suseptansi (B) = 0,4
 Admitansi Y = 0,2 + j0,4 bisa didapat dari
rangkaian konduktansi (G) pararel dengan
suseptansi (B)
Y = Y(resistor) + Y(kapasitor)
Y = G + JB
Dimana :
Y(kapasitor) = 1 / Zc = jwC
 Sehingga kita mendapatkan G = 0,2 mho dari
tahanan resistor R= 5 ohm.
 Kita mendapatkan suseptansi B = 0,4 dari
rumus
Y(kapasitor) = jC = jB
 Misalkan nilai C = 0,08 uF dan  = 5 Mrad/s,
maka dengan nilai ini kita dapat mendapatkan
B = 0,4
*